培优专题04 全等三角形常添辅助线问题6大题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以6类高频辅助线为核心，构建“方法解读-模型示例-分层训练”体系，聚焦全等三角形辅助线添加的系统性方法与逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倍长中线|5题|延长中线构造全等，转化线段关系|从“中点/中线”条件出发，通过全等实现线段转移| |截长补短|5题|截长或补短构造全等，证线段和差|针对线段和差问题，通过两次全等建立等量关系| |角平分线|5题|向两边作垂线、作平行线、截等线段|利用角平分线性质，结合等腰三角形或全等转化边角| |作垂线|5题|构造直角三角形，用HL/AAS证全等|无现成直角时造直角，等腰三角形作高用三线合一| |作平行|4题|构造等腰三角形或全等，转移角/线段|通过平行实现角相等或线段平移，简化证明| |旋转类|5题|旋转图形使短边共线，证与长边相等|半角/手拉手模型中，利用旋转构造全等三角形|

专题04 全等三角形常添辅助线问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常添辅助线问题 题型1 倍长中线辅助线（高频） 题型2 截长补短辅助线（高频） 题型3 角平分线辅助线（高频） 题型4 作垂线辅助线（高频） 题型5 作平行辅助线（高频） 题型6 旋转类辅助线（手拉手、半角等）（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常添辅助线问题 ◆题型1 倍长中线辅助线 【题型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 1．（25-26八年级上·全国·周测）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 3．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 5．（25-26七年级下·江西·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． ◆题型2 截长补短辅助线 【题型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【题型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，平分，，则下列结论中错误的是（  ） A．平分 B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 8．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 10．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． ◆题型3 角平分线辅助线 方法 1：向角两边作垂线（最常用） 题型：已知角平分线，求距离、证线段相等。 做法：过平分线上一点，分别向角的两条边作垂直，得到两条垂线段相等（角平分线性质），构造 AAS 全等。 方法 2：作平行线，构造等腰三角形 过角平分线上一点作角一边的平行线，出等腰△，转化边角。 方法 3：截等线段，构造轴对称全等 在角的两边截取相等线段，连接角平分线上点，得到 SAS 全等。 11．（23-24八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，中，，平分，平分，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 13．（22-23八年级下·山东日照·开学考试）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为_____． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为______． 15．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，求划出的的面积是多少？ ◆题型4 作垂线辅助线 题型特征：没有现成直角，需要造直角；有垂直条件、等腰、证明边相等。 1. 过某顶点向对边作高，构造直角三角形全等（HL、AAS） 2. 遇到等腰三角形：作底边上的高，三线合一，直接得到全等。 16．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 17．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 18．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________． 19．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 20．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． ◆题型5 作平行辅助线 21．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 22．（2022秋·江苏·八年级专题练习） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 23．（2022秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且 ∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD 分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明． 图(1):延长DE到F使得EF=DE 图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F 图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F. 24．（2023春·全国·七年级专题练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． ◆题型6 旋转类辅助线（手拉手、半角等） 【题型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【题型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 25．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 26．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 28．（25-26七年级下·山西晋中·期末）综合与探究： 问题情境：数学课上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知中，，点是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使得，，连接． (1)特例分析：如图1，当点在线段上，且时，则________． (2)拓展探究：若，． ①如图2，当点在线段上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由． ②当点在直线上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点、分别在、上，，，，，则（　　） A．34 B．42 C．46 D．48 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，于点，已知阴影部分的面积为，，则中上的高为________． 9．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 10．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 11．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 12．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，，平分，平分，点在上，且．若，则四边形的面积为_______ ． 13．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，平分交于点，点分别为边上的点，连接，点为边上一点（点在点左侧），连接．若，，则___________． 14．（21-22八年级上·江苏南京·开学考试）如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 15．（25-26八年级上·江西上饶·期末）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 16．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      17．（24-25八年级上·重庆巴南·阶段检测）如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，若A、D、E三点共线，与交于点F，且，求的面积； (3)如图3，与的延长线交于点G，若，延长与交于点N，在上有一点M且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 18．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图①，E，F分别是正方形的边，上的动点，且满足．    (1)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在正方形中，，连接，分别交，于点M，N，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 19．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 20．（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形常添辅助线问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常添辅助线问题 题型1 倍长中线辅助线（高频） 题型2 截长补短辅助线（高频） 题型3 角平分线辅助线（高频） 题型4 作垂线辅助线（高频） 题型5 作平行辅助线（高频） 题型6 旋转类辅助线（手拉手、半角等）（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常添辅助线问题 ◆题型1 倍长中线辅助线 【题型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 1．（25-26八年级上·全国·周测）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先延长到，使，连接，证明，然后根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，则． 是的中线， ， 和中， ， ． ， ， 在中，， ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 5．（25-26七年级下·江西·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. ◆题型2 截长补短辅助线 【题型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【题型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，平分，，则下列结论中错误的是（  ） A．平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质得到，由三角形内角和定理得到，则可证明，则由角平分线的定义可推出，据此可判断A；在上截取，连接，可证明，得到，再证明，得到，据此可判断D；由全等三角形的面积相等可得，据此可判断C；可证明，但是无法证明，据此可判断B． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∵平分， ， ， ∴平分，故A结论正确，不符合题意； 如图所示，在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，，故D结论正确，不符合题意； ∵，， ， ， ∴，故C结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到，故无法得到，故B结论错误，符合题意； 故选：B． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 【答案】4 【分析】在上取一点E，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在上取一点E，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 【答案】③⑤ 【分析】由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与、分别是、上的任意点互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， 的另一个条件是， 与不一定相等， 与不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与、分别是、上的任意点矛盾，故④错误； 综上可知，正确的结论有③⑤． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 【答案】 3 【分析】在上截取，连接，利用证明和全等，得出及，再结合已知角度关系推导出，再由全等证明，最后通过线段的和差关系求解． 【详解】解：在上截取，连接，过点作于点， 是的角平分线 在和中 ， ，， 又 ， ∵， ∴ ∵ ∴ ， ． 10．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． ◆题型3 角平分线辅助线 方法 1：向角两边作垂线（最常用） 题型：已知角平分线，求距离、证线段相等。 做法：过平分线上一点，分别向角的两条边作垂直，得到两条垂线段相等（角平分线性质），构造 AAS 全等。 方法 2：作平行线，构造等腰三角形 过角平分线上一点作角一边的平行线，出等腰△，转化边角。 方法 3：截等线段，构造轴对称全等 在角的两边截取相等线段，连接角平分线上点，得到 SAS 全等。 11．（23-24八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，中，，平分，平分，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理及全等三角形的判定及性质，设，交于点，作平分，可求得，继而可得，结合角平分线可证明，，再利用全等三角形的性质即可求解，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：设，交于点，作平分， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 则， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，同理， ∴，， ∴， 故选：C． 12．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 13．（22-23八年级下·山东日照·开学考试）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为_____． 【答案】6 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为______． 【答案】14 【分析】延长到M，作于H．首先证明，推出，再证明，得到，然后问题可求解． 【详解】解：延长到M，作于点，则，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，求划出的的面积是多少？ 【答案】[类比解答]； [拓展延伸]，证明如下： 如图3，延长、交于点， 则，                       ， ， ， ， 又， ，            ， 由[问题情境]可知，，， ； [实际应用]的面积是10 【分析】[类比解答]延长交于点，由[问题情境]可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； [拓展延伸]延长、交于点，证，得，再由[问题情境]可知，，即可得出结论； [实际应用]延长交于，由[问题情境]可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】解：[类比解答] 如图2，延长交于点， ∵平分，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：； [拓展延伸]略 [实际应用] 如图4，延长交于， 由[问题情境]可知，， ∴，， ， ∵， ， ， 答：的面积是10． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． ◆题型4 作垂线辅助线 题型特征：没有现成直角，需要造直角；有垂直条件、等腰、证明边相等。 1. 过某顶点向对边作高，构造直角三角形全等（HL、AAS） 2. 遇到等腰三角形：作底边上的高，三线合一，直接得到全等。 16．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 17．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 18．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________． 【答案】8 【分析】由线段CD的长求的面积，故过B作CD的垂线，则由三角形面积公式可知：，再由题中的和等腰直角三角形ABC，即可求证，最后由即可求解． 【详解】解：过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线． 19．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (2)图②：，图③： 【分析】（1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【详解】（1）略 （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 20．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． ◆题型5 作平行辅助线 21．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见详解 【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AC， ∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DE， ∵， ∴DE=CE， 又∵∠EMD=∠CME， ∴∆EMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 22．（2022秋·江苏·八年级专题练习） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 23．（2022秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且 ∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD 分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明． 图(1):延长DE到F使得EF=DE 图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F 图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F. 【答案】选择（1）（3）证明，证明见解析 【分析】如图(1)延长DE到F使得EF=DE,证明△DCE≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F,得到△ABE≌△FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论, 【详解】如图(1)延长DE到F使得EF=DE 在△DCE和△FBE中, ∴△DCE≌△ FBE（SAS) ∴∠CDE=∠F,BF=DC ∵∠BAE=∠CDE ∴BF=AB ∴AB= CD 如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F 在△ABE和△FCE中 ∴△ABE≌△ FCE(AAS), ∴AB=FC ∵∠BAE=∠CDE ∴∠F=∠CDE ∴CD=CF ∴AB=CD 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明 24．（2023春·全国·七年级专题练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 【答案】(1)DM=EM．理由见详解； (2)成立，理由见详解； (3)MD=ME． 【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论； 【详解】（1）解：DM=EM； 证明：过点E作EF//AB交BC于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ， ∴△DBM≌△EFM， ∴DM=EM． （2）解：成立； 证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ∴△DBM≌△EFM； ∴DM=EM； （3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF ∴△DBM∽△EFM， ∴BD：EF=DM：ME， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠F=∠ABC， ∴∠F=∠C， ∴EF=EC， ∴BD：EC=DM：ME=1：2， ∴MD=ME． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键． ◆题型6 旋转类辅助线（手拉手、半角等） 【题型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【题型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 25．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 26．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 27．（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 28．（25-26七年级下·山西晋中·期末）综合与探究： 问题情境：数学课上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知中，，点是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使得，，连接． (1)特例分析：如图1，当点在线段上，且时，则________． (2)拓展探究：若，． ①如图2，当点在线段上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由． ②当点在直线上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)； (2)①解：，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ， ，，， ； ②或． 【分析】（1）证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； （2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； ②分别讨论当点M在线段上移动时，当点M在线段的延长线上移动时，当点M在线段的反向延长线上移动时，三种情况即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①略； ②解：当点M在线段上移动时，，证明见小问①； 当点M在线段的延长线上时，如图1，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在射线的反向延长线上时，如图2，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）略 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，，求出的长，再结合B点距地面的高度求出点E距地面的高度，由此即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵B处距地面， ∴D处距地面， ∴点E距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点C到地面的高度等于点E到地面的高度， ∴点C到地面的距离是． 2．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 3．（21-22八年级上·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 4．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点、分别在、上，，，，，则（　　） A．34 B．42 C．46 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，过点D作于点F，先根据等腰三角形三线合一的性质得，，再根据角平分线的性质得，然后证明、，得、，再根据，求得，由得，最后由可得答案． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，同角的补角相等，延长交于点，证明，所以，，所以，然后通过同角的补角相等得，然后根据等腰三角形的性质求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与互补，与互补， ∴， ∴， 故选：． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由得到是解题的关键． 延长交于点E，则可知为等腰三角形，则，可得出．即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，延长至点，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，证明，求出的面积，根据等积转化结合三角形的中线，进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则， ∵为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ，即； ∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，于点，已知阴影部分的面积为，，则中上的高为________． 【答案】 【分析】延长交于，过点作于点，证明，利用三角形中线的性质可得，再利用三角形的面积公式求得的长即可． 【详解】解：延长交于，过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， 解得， 又∵， 即， ∴， ∴中上的高为． 9．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，根据，即可求解． 【详解】解∶， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ ． 10．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：如图，过作交的延长线于，   ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，，平分，平分，点在上，且．若，则四边形的面积为_______ ． 【答案】 【分析】连接，证明，，得到，进而可得，则可求. 【详解】解：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 即：. 13．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，平分交于点，点分别为边上的点，连接，点为边上一点（点在点左侧），连接．若，，则___________． 【答案】4 【分析】首先利用角平分线的定义和已知角相等，通过“角边角”判定，从而得到；其次利用三角形内角和定理及平角定义，结合已知角相等推导出，再利用“角角边”判定，得到及；最后结合线段的和差关系及等量代换求出的长． 【详解】解：平分， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ，，， ∵， ∴， 又， ． 14．（21-22八年级上·江苏南京·开学考试）如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 【答案】 【分析】延长交于点E，证明，得到，，，可证明得到，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分 ∴ 又∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·江西上饶·期末）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 【答案】（1）；； （2）．理由如下： 如图1，延长至点，使，连接， 由（1）得， ． ， ， 即． ， ． ． 在和中 ， ． ， ． （3）①证明：如图2，延长，交于点． ， ． ， ， ， ． 在和中 ， ． ， ． 在和中 ， ． ，即， ， ； ②42 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段中点的性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点得出，证明，然后利用三角形的三边关系进行求解即可； （2）延长至点，使，连接，借助（1）的结论，证明，得出相等的边，再证明，得出，即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明和，得出相等的边和角，然后利用角的和差得出，即可得出结论； ②根据全等三角形得出相等的边，得出，然后求出其它三角形面积即可． 【详解】解：（1）在中，若，，延长至点，使，连接． 是边上的中线， ． 在和中 ， ． 在中，由三角形三边关系可得 ，即， ， 故答案为：；； （2）略 （3）①略 ②， 由①可知，． ， ． ， ， ． 16．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 17．（24-25八年级上·重庆巴南·阶段检测）如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，若A、D、E三点共线，与交于点F，且，求的面积； (3)如图3，与的延长线交于点G，若，延长与交于点N，在上有一点M且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）如图2中，过点作于．证明，推出，，求出，可得结论． （3）如图3中，结论：．如图过点作交的延长线于．证明，，利用全等三角形的性质，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， ∵，都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中，过点作于． ∵， ∴， ， ，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ； （3）解：．证明如下： 如图过点作交的延长线于，则，， ， ， ∵， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ． 18．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图①，E，F分别是正方形的边，上的动点，且满足．    (1)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在正方形中，，连接，分别交，于点M，N，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． （1）如图①将顺时针旋转，得到，由旋转的性质可知：，，接下来在证明，然后依据证明即可解决问题； （2）将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明，得到，最后再由证明即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图①将顺时针旋转，得到， 由旋转的性质可知：，，， 四边形为正方形， ． 又， ． ． ． 在和中， ， ∴， ， ； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图所示：将逆时针旋转得，   四边形为正方形， ，， 由旋转的性质可知：，，，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， 在和中， ， ∴， ． 又， ． 19．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【答案】(1) (2)解：（1）中结论不成立，应为，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (3)6 (4)所有满足条件的的长为或或 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）同（1）思路求解即可； （3）根据求出，则．过点A作，交的延长线于点E，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （4）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到．若以点、、为顶点的三角形与全等，分点B，F均在点C上方，和点B，F均在点C下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）略 （3）解：∵与均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 过点A作，交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点B，F均在点C上方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． ②若点B，F均在点C下方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 21．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $