精品解析：河北省廊坊市大城县2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026～2027学年度 九年级第一学期教学效果反馈（一） 数学（人教版） 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷或答题卡的相应位置． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程用配方法化为的形式，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A. 1 B. 4 C. D. 1或4 5. 命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（ ） A. 14 B. 12 C. 8 D. 6 9. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 10. 若实数，满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如果函数是关于x的二次函数，则________． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是__________． 15. 设计师以的图形为灵感设计杯子如图所示，若，则杯子的高_____． 16. 如图，分别过点（、2、…、）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 20. 已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … （1）_____________； （2）求该二次函数的表达式； （3）y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 21. 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求实心球运动路线所在抛物线的表达式； （2）若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 22. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是_______________； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 23. 小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． （1）如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿方向平移个单位长度，点是平移后的抛物线上的一动点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度 九年级第一学期教学效果反馈（一） 数学（人教版） 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷或答题卡的相应位置． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 2. 将方程用配方法化为的形式，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 3. 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意，平移得到的抛物线的解析式为． 4. 根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A. 1 B. 4 C. D. 1或4 【答案】D 【解析】 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 5. 命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反例需满足且二次函数与轴无交点，先排除不符合的选项，再验证剩余选项的判别式． 【详解】解：要说明命题为假命题，反例需满足，且二次函数与轴无交点， ∵ 命题的条件为， ∴ 、均不满足条件，故B、D，不符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴无交点，符合反例要求； 故A符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴有一个交点，不符合反例要求，故C不符合题意． 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象及性质，求出二次函数图象的对称轴，分别计算各点横坐标到对称轴的距离，由开口向上可得离对称轴越远的点的纵坐标越大，据此判断即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，，在二次函数的图象上， 且，图象开口向上， ∴． 7. 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 8. 我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（ ） A. 14 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新运算的定义求出与之间的关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵当时，， 当时，， ∴的最大值是8． 9. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 10. 若实数，满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据其中一个根为另一个根的2倍，分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得，． 关于的一元二次方程的其中一个根为另一个根的2倍， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 12. 如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，连接，设，根据，求得点的坐标，进而求得菱形的边长，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】过点作轴交轴于点，连接， ∵ ∴ ∴，， ∵抛物线经过顶点 ∴设， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴, ∵菱形， ∴， 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴菱形的面积为 故选：A． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 15. 设计师以的图形为灵感设计杯子如图所示，若，则杯子的高_____． 【答案】11 【解析】 【分析】将二次函数化简为顶点式，得出，再由二次函数的对称性得出点A的横坐标为，代入函数解析式确定，结合图形求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴点A的横坐标为， 当时，， ∴， ∴， 则杯子的高为11． 故答案为：11． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 16. 如图，分别过点（、2、…、）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的纵坐标与的纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵； ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 20. 已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … （1）_____________； （2）求该二次函数的表达式； （3）y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，利用二次函数的对称性质即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将二次函数解析式的顶点式，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由表格可知，当时，；当时，． 对于二次函数，两点纵坐标相同，则这两点关于对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为直线． 因为点和关于直线对称， 所以； 【小问2详解】 解：设二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为， 即． 【小问3详解】 解：由（2）知，， 其二次项系数，函数图象开口向上，对称轴直线． 根据二次函数的性质，在对称轴左侧，函数值随自变量的增大而减小， 所以当随的增大而减小时，的取值范围是． 21. 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求实心球运动路线所在抛物线的表达式； （2）若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【答案】（1）； （2）小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 略． 22. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是_______________； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据倒方程的定义即可解题； （2）将代入其倒方程即可； （3）将代入其倒方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程中，，，， ∴它的倒方程是； 【小问2详解】 解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是：， 是一元二次方程的倒方程的解， ∴将代入方程， 得， 解得； 【小问3详解】 解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是， 是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴将代入方程， 得， ． 23. 小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． （1）如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 【答案】（1）①② （2）解：当时，养蜂场的面积不能达到， 理由如下： 设时，养蜂场的面积达到， 则， 解得，， ∴，即， ， 方程无实数解， 当时，养蜂场的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）①设的长度为，根据矩形的周长公式可得； ②如果围成的养蜂场面积为，可列方程，解方程即可求出的长度； （2）设时，，养蜂场的面积达到，可列方程，一元二次方程根的判别式，所以方程无实数解，即可得到答案． 【小问1详解】 ①解：设的长度为， 四边形是矩形， ， 根据题意得，； ②解：围成的养蜂场面积为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则的长为米． 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿方向平移个单位长度，点是平移后的抛物线上的一动点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）延长交轴于点，待定系数法求出，，设点的坐标是，则，，，得到，，表示出，由此即可得出答案； （3）由平移的性质得出，分两种情况：当点在直线上方时；当点在直线下方时；分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， 把，带入，得： ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长交轴于点 ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴， 设点的坐标是 ∵轴 ∴，， ∴， ∴ ∴，； 【小问3详解】 解：， ∵抛物线沿方向平移个单位长度 ∴抛物线向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 ∴ 当点在直线上方时： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴联立， ∴（舍），， ∴； 当点在直线下方时： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴联立， ∴（舍），， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数的平移、解直角三角形的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $