29.3 弧长和扇形面积 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.3 弧长和扇形面积 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个扇形的面积是，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　） A．22 B．22π C．24 D．24π 3．若将一个圆分割成三个扇形，它们的面积比为，则最小的扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则点旋转经过的路线长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D．π 6．如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（　　） A．30π B．60π C．65π D．90π 7．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面圆半径是（   ） A． B． C． D．1 8．若某圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r，那么圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 9．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 10．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（    ） A．60° B．90° C．120° D．135° 二、填空题 11．如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为______．（结果保留π） 12．如图，中，，，以为直径作半圆，交，于点D，E．若，则的长为_________（结果保留） 13．如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 14．如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为__________． 15．工地上有一个圆锥形沙堆，沙堆的底面周长是18.84米，高3米．把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺厚度________米．（π取3.14） 三、解答题 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 17．如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，的半径为6，连接，．    (1)求； (2)连接，试判断和有什么特殊位置关系，并说明理由． 18．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 19．在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 20．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C A C B C C C 1．【答案】B 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；直接使用扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得：扇形弧长为， 故选B． 2．【答案】C 【知识点】求扇形半径 【分析】根据扇形的面积公式求出半径，扇形的面积公式． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】求圆心角 【分析】将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由三个圆心角的度数比为，可求出最小的圆心角度数． 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为， ∵它们的面积之比为， ∴三个圆心角的度数比为， ∴最小扇形的圆心角度数为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为． 4．【答案】C 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了求弧长，旋转的性质；根据旋转的性质可得点旋转经过的路线为为半径圆心角为的弧，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：依题意 ∴点旋转经过的路线长是， 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】正多边形的内角问题、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键． 根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和为， ∴正五边形每个内角度数为， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥侧面积 【分析】根据勾股定理可求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为． ∴圆锥的侧面积． 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键． 7．【答案】B 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，利用了圆的周长公式，弧长公式求解．用到的等量关系为：圆锥侧面展开图的弧长=底面周长． 【详解】解：设底面半径为R，则底面周长， 半圆的弧长， ∴． 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】求圆锥的高 【分析】设圆锥母线长为R，由题意易得圆锥的母线长为，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：设圆锥母线长为R，由题意得： ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r， ∴根据圆锥侧面展开图的弧长和圆锥底面圆的周长相等可得：， ∴， ∴圆锥的高为； 故选C． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算公式，熟练掌握圆锥的特征及弧长计算公式是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 10．【答案】C 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为2， ∴圆锥的底面周长为4π， ∵圆锥的高是8， ∴圆锥的母线长为， 设扇形的圆心角为n°， ∴， 解得n=120． 答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 11．【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接，，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理求出，由等弧所对的圆周角相等得出，由等边对等角得出，再由三角形内角和定理求出，证明，由全等三角形的性质得出，得出半径等于9，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴则的长为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，等弧所对的圆周角相等，求弧长，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 13．【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了求扇形面积．求出分针的旋转度数，再根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：分针旋转了：， 所以该分针扫过的面积是． 故答案为：． 14．【答案】/ 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 15．【答案】0.1 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】先根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，再利用圆锥的体积公式计算出沙堆的总体积，沙子变形后体积不变，再根据长方体体积公式求出所铺沙子的厚度． 【详解】解：圆锥底面半径：（米）， 圆锥形沙堆的体积：（立方米）， 铺路后沙子形成长方体，体积不变，设厚度为， 由长方体体积公式得：（米）． 16．【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2) 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 点旋转到点的过程中线段扫过的面积为： ． 17．【答案】(1) (2) ，理由如下，连接，    由题意可得，点A，O，D共线，即为的直径， ∴， ∴． 【知识点】求扇形面积、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及直径所对的圆周角为，扇形的面积，掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键. （1）由正六边形的性质解得，，再根据扇形面积公式解答； （2）由直径所对的圆周角为解答； 【详解】（1）解：连接，    ∵正六边形为的内接正六边形， ∴， ∴， ∴； （2）略 18．【答案】 蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【分析】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】略 19．【答案】（1）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；；； 【知识点】求扇形面积、求弧长 【分析】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，解题关键是熟练运用扇形面积和弧长的计算公式． （1）这只狗的最大活动区域是半径为的圆的面积，这个区域的边缘的长是半径为的圆的周长； （2）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长； （3）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长；小结：根据弧长和扇形的面积公式即可填空． 【详解】解：（1），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； 小结：在半径为R的圆中，圆心角为所对的弧长的计算公式：； 在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式：． 思考：根据以上公式可知， 发现弧长与扇形的面积的关系为． 20．【答案】(1)相等； (2)； (3) 【知识点】求圆锥底面半径、求圆锥侧面展开图的圆心角、用勾股定理解三角形、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $