29.3弧长和扇形面积（分层作业，14大题型）数学新教材人教版九年级上册

分层作业 29.3 弧长和扇形面积 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 弧长计算 题型02 求扇形面积 题型03 计算圆锥的侧面积 B组 能力进阶 题型01 求半径 题型02 求圆心角 题型03 求图形运动扫过的弧长 题型04 求图形扫过的面积 题型05 不规则图形面积的计算 题型06 计算弓形面积 题型07 计算圆锥的底面半径 题型08 计算圆锥的高 题型09 计算圆锥的侧面展开图的圆心角 C组 思维拔高 题型01 圆锥的侧面上的最短路径问题 题型02 圆锥体积的计算 弧长计算题型01 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：弧长， 故选：． 2．如图，内接于，若的半径为6，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，圆周角定理，得到，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接，则：，    ∵的半径为6， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式，是解题的关键． 3．一段圆弧的弧长是分米，半径是分米，圆心角为______度．（取） 【答案】108 【分析】本题主要考查弧长公式，灵活运用弧长公式是解题的关键． 设圆心角为，利用弧长公式得，然后解方程即可． 【详解】解：设圆心角为， 根据题意得， 解得， 即圆心角为度； 故答案为：． 4．如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．    (1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； (2)在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在， 【分析】（1）设该圆锥的底面半径为r，根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列式即可得到答案； （2）连接，由垂径定理得到D为中点，E为中点．则为的中位线．得到．再求出的长，即可得到的长，结论得证； 【详解】（1）解：设该圆锥的底面半径为r， 由题意得． 解得， 即该圆锥的底面半径为1． （2）存在，的长为定值．如图，连接．    ∵，， ∴D为中点，E为中点． ∴为的中位线． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、垂径定理、三角形中位线定理的等知识，数形结合是解题的关键． 5．如图，为的直径，．动点在上且位于直线上方，连结．作点关于直线的对称点，连结．    (1)当点与点重合时，的大小为________度； (2)当时，求的长； (3)当平分线段时，求扇形的面积； (4)连接，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据轴对称的性质即可求解； （2）根据平行线的性质得出，由轴对称的性质可得，，则，得出是等边三角形，可得，进而根据弧长公式即可求解； （3）连接，则，由轴对称的性质可得，则，得出，根据扇形面积公式即可求解； （4）分在优弧时与劣弧时，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵关于对称， ∴当与点重合时， ∴的大小为度， 故答案为：． （2）当时， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）如图所示，连接，则，    ∵平分， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴ ∵， ∴， ∴， （4）解：如图所示，连接交于点，    ∴，且， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，连接交的延长线于点，同理可得，则，    在中，， ∴的长为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，求弧长，求扇形面积，勾股定理，垂径定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 求扇形面积题型02 1．计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 2．一个扇形的弧长是，面积为，则其半径为（    ） A．6 B．36 C．12 D．144 【答案】C 【分析】根据代入计算即可． 【详解】∵，弧长是，面积为， ∴， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积与弧长的关系是解题的关键． 3．2020年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为24cm的扇形纸做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面接缝处忽略不计，如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为8cm，那么这张扇形纸的面积是_____cm2（结果保留） 【答案】 【分析】根据底面圆的半径求出底面圆的周长，即为扇形的弧长，再根据扇形面积计算公式计算即可； 【详解】∵底面半径为8cm， ∴底面圆的周长， ∴扇形的面积； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，准确结合圆锥侧面展开图计算是解题的关键． 4．如图，已知扇形的面积为，点在圆周上，，则的半径为___________． 【答案】3 【分析】本题考查扇形的面积，圆周角定理，设的半径为r，先由圆周角定理得，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， ∵扇形的面积为， ∴， 解得（负值已舍去）， 即的半径为3， 故答案为：3． 5．如图，已知的直径垂直于弦于点E，连结，且． (1)若，求的长； (2)若，求扇形（阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可得，再由勾股定理可得，然后利用三角形面积公式求出，再利用垂径定理即可求解； （2）根据垂径定理可得，再由，可得，设，则，，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，扇形的面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 计算圆锥的侧面积题型03 1．圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，扇形的面积公式，理解圆锥的侧面展开图是扇形，明确扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键． 先根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，即是圆锥侧面展开图（扇形）的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥底面周长为：， 圆锥的侧面积为：． 故选：B． 2．已知一个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A．24cm2 B．15cm2 C．21cm2 D．12cm2 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出母线，再根据扇形面积公式求解. 【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为π×3×5=15π(cm2)， 故选:B． 【点睛】熟记扇形面积公式,并灵活运用，圆锥的侧面积可表示为:母线长×半径×π.. 3．已知圆锥的底面半径为，它的侧面积是，则这个圆锥的母线长为______． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的底面周长是扇形的弧长，圆锥的母线为扇形的半径，根据扇形的面积公式和圆的周长公式求解即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为：，设圆锥的母线长为， 则，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算，扇形的面积公式（），圆的周长公式，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面展开图与扇形之间的关系． 4．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的表面积是________ 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．首先利用圆的面积公式即可求得侧面积，利用弧长公式求得圆锥的底面半径，得到底面面积，据此即可求得圆锥的表面积． 【详解】解：侧面积是：， 底面圆半径为：， 底面积， 故圆锥的表面积是：， 故答案为： 5．（25-26下·上海·期末）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）根据纸杯上下面圆的直径求出周长，纸杯展开之后即是扇形弧长，根据，即可求出． （2）根据素材二和素材三内容判断出和直径的大小，结合题意求出制作的纸杯底面圆形纸片的直径，进行对比即可发现素材一中该型号纸杯的底面是圆． 根据结论结合可以求出，再根据，即可求出新型号纸杯的侧面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，纸杯上口图形是圆形，直径是，底部圆形纸片，直径是， ∴，， ∵扇形圆心角， ∴，， ∴，， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知扇形中，，，， 根据题意扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面， ∴纸杯底面圆形纸片周长， ∴纸杯底面圆形纸片直径， ∵在扇形中裁剪出最大的圆， ∴根据素材二得，圆半径， ∴圆直径， ∵在扇环中裁剪出最大的圆， ∴根据素材三得，圆直径， ∵扇环为新纸杯的侧面， ∴新纸杯底面的， ∴即新纸杯底面圆形周长为， 设新纸杯底面圆形纸片直径为， ∴， ∴， ∴圆和扇环组成新的纸杯，圆和扇环组成材料一中的纸杯， ∴素材一中该型号纸杯的底面是圆． 解：由可知素材一中该型号纸杯的底面是圆，圆和扇环组成新的纸杯， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新型号纸杯的侧面积． 求半径题型01 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解得到圆的半径． 【详解】解：设此圆弧所在圆的半径为， 圆心角，弧长，弧长公式为， ，解得， 即此圆弧所在圆的半径为． 2．一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π， ∴侧面展开图的弧长为8π， 则圆锥母线长＝＝12（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·学情自测）若一个扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是___________． 【答案】 【分析】扇形面积公式(其中为圆心角度数，为扇形半径)，将已知的面积和圆心角代入公式，通过解方程求出半径． 【详解】解：设这个扇形的半径为． 已知扇形面积，圆心角， 则， 解得． 4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是__． 【答案】2 【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可； 【详解】连接OB、OC． ∵∠BOC=2∠BAC=120°，的长是， ∴=， ∴r=2． 故答案为2．    ． 【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 5．（24-25八年级下·上海·月考）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 【答案】(1) (2) 解：他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； (3) (4)； 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ； （4）解：∵，， ∴， ∵，即， 解得： ∴，即 故答案为：，． 求圆心角题型02 1．若圆锥的底面圆半径是，圆锥的侧面展开图是一个半径为扇形，则此扇形的圆心角为（     ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】根据圆锥底面圆周长等于展开图扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：设这个圆心角度数为n°， 由题意得：， 解得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求扇形圆心角度数，熟知圆锥底面圆周长等于展开图扇形的弧长是解题的关键． 2．（25-26九年级下·四川南充·学情诊断）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心． 连接，， 在与中 ， ， ，， ， ， ， 即所对的圆心角的大小是． 3．如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的，那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是______度． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，圆的周长等知识，根据题意列出式子即可求得结果，正确列出式子是解题的关键． 【详解】解：圆周长即为圆的周长，此时的圆周角为， ∵一个扇形的弧长等于它所在圆周长的， ∴“最美扇形”的圆心角为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 【答案】22.5 【分析】本题考查扇形面积公式，直接代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】假设扇形的圆心角为， 扇形的面积公式为 ，其中 ，， 代入得， 解得， 故答案为：22.5． 5．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证； (3)若弧长是周长的，，求的值． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等边三角形的判定与性质即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用三角形的内角和定理即可得证； （3）过点作于点，作于点，先求出，从而可得，都是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵弧长是周长的， ∴， ∴，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴在中，， 在中，， 在中，，解得， 在中，，解得， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 求图形运动扫过的弧长题型03 1．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 2．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据题目的条件和图形可以判断点B、分别绕两个定点以边长1为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到． 【详解】解：由题意可知点从开始至结束所走过的路径为两个圆心角为120°，半径为1的扇形弧长， 所以点从开始至结束所走过的路径长度为：． 故选B． 【点睛】本题考查弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可． 3．已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过40分钟滑过的弧线长为______厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），知道分针1分钟转是解题的关键． 首先求出分针针尖经过40分钟时转过的圆心角为，代入弧长公式计算即可求解． 【详解】解：∵分针1分钟转， ∴分针针尖经过40分钟时转过的圆心角为， 分针针尖经过40分钟滑过的弧线长为：（厘米）． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)将绕点O顺时针旋转，得到．请在坐标系中画出，并写出点的坐标． (2)求点B在旋转过程中所经过的路径长． 【答案】(1) 解：如图，即为所求． ； 由图可得，点的坐标为； (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换、轨迹，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （2）利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理得，， ∴点B在旋转过程中所经过的路径长为． 5．阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）①28； ②， ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． （2）4； （3） 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得； ②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形的性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，则点的运动路径是在以为直径的圆的上，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，，最后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴， 故答案为：28． ②略 （2）如图3，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为， 故答案为：4． （3）如图4，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在点的运动过程中，始终有， 又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动， ∴点的运动路径是在以为直径的圆的上， 如图4，取的中点，连接， ∴，， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，较难的是题（3），正确找出点的运动路径是解题关键． 求图形扫过的面积题型04 1．如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可以得出扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出就可以得出扫过的图形的面积求出其值即可． 【详解】解：绕点旋转得到△， △， ，． 扫过的图形的面积， 扫过的图形的面积， 扫过的图形的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解此题的关键是找出规律． 【详解】解：由题意、、、、都是等腰直角三角形， ，，，， ，，，， ； ， ， 故选：A． 3．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均落在格点上． (1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1．在网格中画出△A1B1C1； (2)求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；(结果保留π) 【答案】(1)如图，△A1B1C1即为所求三角形； (2)扫过的图形面积为2π． 【分析】（1）先确定A、B、C三点分别绕O点旋转90°后的点的位置，再顺次连接即可得到所求图形； （2）先运用勾股定理求解出OA的长度，再求以OA为半径、圆心角为90°的扇形面积即可. 【详解】(1)略 (2)由勾股定理可知OA＝， 线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形， 则S扇形OAA1＝ 答：扫过的图形面积为2π． 【点睛】本题结合网格线考查了旋转作图以及扇形面积公式，熟记相关公式是解题的关键. 5．将一副三角板如图1摆放，已知，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当三角板旋转到时，如图2，线段扫过的面积是________； (2)在旋转过程中，与的交点为P，若为等腰三角形，求t的值； (3)当边与边分别交于点M，N时，如图3，连接，设，，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)当t为3或或12时，有两个内角相等 (3)证明：是的一个外角，是的一个外角，，，，， ，， 又，， ， ， ， 是定值． 【分析】（1）连接，先求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数，然后根据三角形外角的性质可得的度数，再根据弧长公式解答即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解； （3）根据三角形外角的性质可得，，再结合三角形内角和定理，即可求证． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意得：， ∵平分， ∴， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积是； （2）解：∵平分， ∴， 如图，当时， 此时； 如图，当时， ∵，， ∴， 此时； 如图，当时， ， 此时， 综上所述：当 t 为 3 或或 12 时，有两个内角相等； （3）略 不规则图形面积的计算题型05 1．如图，一件扇形艺术品完全打开后，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是（    ） A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积． 【详解】解：cm，cm cm =cm2． 故选：C 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，中，， 分别以三边为直径画半圆， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）是（    ）． A． B． C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出，根据两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）计算即可． 【详解】解：中，， ， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积） ， 故选：C． 3．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解5个扇形的面积和为圆心角是，半径是的扇形的面积是解题关键．先求出五边形的内角和，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：该五边形的内角和为， 扇形区域总面积是， 故选：C． 4．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，三角尺（阴影部分）的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形和圆的面积计算，熟练掌握三角形和圆的面积公式是解题关键。 先分别求出三角形的面积和圆的面积，再用三角形的面积减去圆的面积，即可得到三角尺（阴影部分）的面积。 【详解】阴影部分的面积=。 5．如图，在中，，O为线段上一点，以O为圆心，长为半径的圆与边，分别交于D，E两点， (1)求证：； (2)若O为的中点，①探究与的数量关系，并说明理由．②连结，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：延长交于点F，连接， 由题意得，是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) ①．理由如下： 如图，连接， ∵O是的中点， ∴是的直径， ∴， ∵， ∴； ② 【分析】（1）延长交于点F，连接，先根据圆内接四边形的性质得，进而得，再由得，再根据等量代换得，即可得出结论； （2）①连接，可得，依据等腰三角形的性质可得结论； ②连接，则，根据四边形为菱形，证明和为等边三角形，为等边三角形可得，再根据可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图，连接交于，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等角对等边，等腰三角形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理以及扇形面积公式等知识． 计算弓形面积题型06 1．（24-25九年级上·广西柳州·质检）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 2．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，则图中阴影部分面积为（   ） A．π–24 B．9π C．π–12 D．9π–6 【答案】A 【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，根据垂径定理求出AE、CF，再利用勾股定理列式求出OE=OF，从而得到AE=OF，OE=CF，然后利用“边角边”证明△AOE和△OCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠OCF，再求出∠AOE+∠COF=90°，然后求出∠AOB+∠COD=180°，把弧CD旋转到点D与点B重合，构建直角三角形ABC；然后根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式来求阴影部分的面积：阴影面积=半圆面积-直角三角形ABC的面积． 【详解】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F， 由垂径定理得，AE=AB=×8=4，CF=CD=×6=3， 由勾股定理得，OE===3， OF===4， ∴AE=OF，OE=CF， 在△AOE和△OCF中，， ∴△AOE≌△OCF（SAS），∴∠AOE=∠OCF， ∵∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOE+∠COF=90°， ∴∠AOB+∠COD=2（∠AOE+∠COF）=2×90°=180°， 如图2把弧CD旋转到点D与点B重合． ∴△ABC为直角三角形，且AC为圆的直径； ∵AB=8，CD=6，∴AC=10（勾股定理）， ∴阴影部分的面积=S半圆–S△ABC=π×52–×6×8=π–24； 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理和扇形的面积公式，作辅助线构造成全等三角形并求出两个阴影部分的圆心角的和等于180°，推知三角形ABC是直角三角形是解题的关键． 4．如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______ 结果保留．    【答案】## 【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点，     由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水的最大深度为． (1)求水面宽的长； (2)求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合垂径定理可得，，在中，由勾股定理求出长即可得到答案； （2）由图形可知，，在中，，则，从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意，结合圆的对称性可知，，， 在中，，， 由勾股定理可得， ； （2）解：由（1）可知，，， 在中，，则， ， 则， ． 【点睛】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，熟记圆的性质、勾股定理求线段长及扇形面积公式是解决问题的关键． 计算圆锥的底面半径题型07 1．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（        ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 2．（25-26下·上海·期末）妈妈生日前夕，小松用一张半径为的半圆形卡片制作了一个圆锥形生日帽，这个圆锥的底面半径为____． 【答案】 【详解】解：设圆锥的底面半径是r， ∵半圆的半径是， ∴半圆形卡片弧长为 ， ∴圆锥底面周长 ， 解得 cm． 3．（25-26九年级·期末）已知一个圆锥的高为12，母线长为13，则这个圆锥的底面周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理．根据圆锥的高、母线长和底面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径，再计算底面周长． 【详解】解：∵圆锥的高为12，母线长为13， ∴圆锥的底面半径是：， ∴底面周长． 故答案为：． 4．如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是______．    【答案】 【分析】先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】 （1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】 （2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】 （3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 【答案】（1）①扇形的面积为； ②不能，理由如下， 已知扇形的面积， ∴剪下后剩余的面积为， ∵扇形的半径为， ∴扇形的弧长， ∴底面圆的周长， ∴底面圆的半径， 在被剪掉的最大的一块余料中剪出一个最大的圆，设这个圆的半径为 由题意得： ∵ ∴ ∴不能从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面； （2）点O与点E的距离为，扇形的面积为 （3）扇形的面积S的取值范围 【分析】本题主要考查扇形面积、弧长公式的计算，垂径定理，圆周角定理等知识的综合，掌握其计算公式，数形结合分析是关键． （1）①根据题意得到线段是过圆心的直径，则，，是等腰直角三角形，由勾股定理得到，结合扇形面积公式即可求解； ②根据题意得到剪后剩余的面积，再算出扇形底面圆的面积，由此即可求解； （2）如图所示，过点作，连接，得到，即点共线，，，由扇形面积公式得到面积，在中，由勾股定理得到，由此得到点O与点E的距离； （3）根据（1）（2）的提示分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）①如图所示，连接， ∵， ∴线段是过圆心的直径，则，， ∵是扇形， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，则， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的面积； ②略 （2）如图所示，过点作，连接， ∴，即点是的中点， ∵是等腰直角三角形， ∴，即点共线， ∴，， ∴扇形的面积， 在中，， ∴， ∴； （3）∵剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），是等腰三角形， ∴， ∴的圆心角为，劣弧所对的圆心角为， 由（1）得到当剪出一个圆心角为的扇形时，， ∴当扇形的弦在直径外时，如图所示，连接， ∴， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积； 当扇形的弦在直径上时，如图所示，连接，且点是的中点， ∴，，， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴扇形的面积； 综上所述，扇形的面积S的取值范围． 计算圆锥的高题型08 1．四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是（  ） A．楠楠 B．晶晶 C．依依 D．笑笑 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的认识及特征．圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离，据此即可解答． 【详解】解：∵圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离， ∴正确的测量方法为 ． 故选：D 2．把一个弧长为10π cm的扇形AOC围成一个圆锥，测得母线OA＝13 cm，则圆锥的高h为(     )       A．12 cm B．10 cm C．6 cm D．5 cm 【答案】A 【分析】利用弧长求出底面圆的半径，然后运用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】设底面圆的半径为r，则：2πr＝10π，得：r＝5． 圆锥的高为：cm． 故选A． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，先根据弧长可以求出底面圆的半径，再用勾股定理求出圆锥的高． 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算以及弧长的计算，设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为8尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 4．（25-26七年级上·河南郑州·联考）把一个底面半径是5厘米的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面下降了3厘米，这个圆锥高（   ）． A．6 B．12 C．36 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积计算，有理数的混合运算等知识，先计算圆锥的体积，再计算圆锥的高即可． 【详解】解：下降3厘米的水的体积即这个圆锥的体积为： （立方厘米） 所以圆锥的高为：（厘米） 答：这个圆锥的高是36厘米． 故选C 5．（25-26下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，用一个棱长的正方体铁块切割成一个最大的圆柱体．（取3） (1)这个圆柱体的体积是多少立方厘米？ (2)如果把这个圆柱重新熔炼成一个底面半径为的圆锥，那么这个圆锥的高是多少厘米？ (3)在（2）的条件下，当正方体铁块切成圆柱体后，把铁块切割下的剩余材料，重新熔炼成一个底面半径为的新圆柱，并把这个新圆柱和圆锥垂直放入一个底面直径、高的圆柱体水槽中，水槽中原来水面高度是，圆锥直接浸没在水中，新圆柱底面与水槽底面完全接触时，这时新圆柱仍有部分露出水面，求露出部分的高度？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算圆柱的底面圆半径，再由圆柱的体积公式求解即可； （2）根据圆柱与圆锥的体积的关系求解即可； （3）先计算出水的体积，再计算出正方体剩余的材料，由此得到新圆柱的高和水面高度，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵正方体棱长为， ∴圆柱的底面圆半径为，高为， ∴圆柱的体积为； （2）解：设该圆锥的高为， 由圆锥的体积可知，，解得， 则这个圆锥的高是； （3）解：圆柱体水槽的底面圆半径为， ∴水的体积为， ∴剩余材料为， ∵新圆柱的底面半径为， ∴新圆柱的高为， 将新圆柱与圆锥放入圆柱体水槽后，新的水面高度为， ∴露出部分的高度为． 计算圆锥的侧面展开图的圆心角题型09 1．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用扇形的面积公式表示出圆锥的侧面积，则，所以，然后利用弧长公式得到，然后解n的方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°． 故选：B． 2．（25-26九年级·期末）将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的基本性质与计算，扇形的弧长公式，解决本题的关键是表面积增加的部分是两个以底面直径为底，圆锥高为高的等腰三角形的面积． 根据表面积增加的部分可求解圆锥的高，由此可求解圆锥的母线，再由圆锥的侧面展开图为扇形，即可得该扇形的弧长，设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，由扇形的弧长公式求解即可． 【详解】解：∵该圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了， 由圆锥的几何特征可知，表面积增加的是两个等腰三角形的面积， 即每个三角形的底为圆锥底面直径， 设圆锥的高为h，即三角形的高为h， ∴，解得， 又底面半径为， ∴圆锥的母线为， ∴该圆锥的侧面展开图的弧长为该底面圆的周长，即， 设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 由弧长公式可得，， 即，解得． 故选：D ． 3．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为___________度． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 4．若圆锥的底面半径，高，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是______ 度． 【答案】288 【分析】本题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长． 首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，从而得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为，圆锥高， 圆锥的母线长为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为， ， 解得． 故答案为：288． 5．已知：某中学将举办一次活动，需要若干生日帽： (1)已知每个生日帽，底面半径为，母线长为，求生日帽侧面展开图的圆心角； (2)在（1）的条件下，现从生日帽底面圆周上一点B出发，沿生日帽侧面拉一圈装饰彩带再回到点B，直接猜测彩带的最短长度是多少？ (3)本次活动还需要一些板，某广告公司利用长为、宽为的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． ①求1块板的所有无浪费裁切方案； ②需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有300块甲广告牌和420块乙广告牌，为了不造成材料的浪费，利用（1）中方案进行裁切，问：还需要购买多少块板（购买的板恰好全部用完）？ 【答案】(1) (2) (3)①有两种裁切方案：方案1：甲广告牌11块，乙广告牌1块；方案2：甲广告牌4块，乙广告牌4块；②还需要购买块板 【分析】本题考查扇形展开图，求圆心角，等边三角形的性质与判定，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组． （1）根据弧长公式得出，即可求解； （2）根据扇形展开图得出是等边三角形，则彩带的最短长度是 （3）①设一张该板裁切甲广告牌块，乙广告牌块，可得，求出非负整数解即可；②根据题意，设块板用方案1裁切，块板用方案2裁切，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：依题意 解得： （2）解：扇形展开图如图所示， 由（1）可得，又 ∴是等边三角形，则彩带的最短长度是 （3）①解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块， 根据题意得： 可得， ∵，为非负整数， ∴或 答：有以下两种裁切方案： 方案1：甲广告牌11块，乙广告牌1块； 方案2：甲广告牌4块，乙广告牌4块； ②解：， 还需要块甲广告牌，块乙广告牌， 设块板用方案1裁切，块板用方案2裁切，依题意得， 解得： （块） 答：还需要购买块板． 圆锥的侧面上的最短路径问题题型01 1．如图，有一个圆锥，高为 8 cm ，直径为 12 cm ．在圆锥的底边 B 点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部 A 处的食物，则它需要爬行的最短路程是（　　） A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm 【答案】C 【详解】如图，设圆锥底面圆的圆心为点O，连接AO、BO、AB，则由题意可知∠AOB=90°，OB=6cm，AO=8cm， ∴在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=（cm）， 即蚂蚁需爬行的最短距离为10cm. 故选C. 2．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 3．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 4．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 圆锥体积的计算题型02 1．一个圆柱体削去12立方分米后，正好削成一个与它等底等高的圆锥,这个圆锥体体积是（  ）立方分米． A．24 B．12 C．6 D．18 【答案】C 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，则削去部分的体积是这个最大圆锥的体积的2倍，由此即可解答． 【详解】圆锥的体积为：12÷2=6（立方分米）； 答：这个圆锥体体积是6立方分米． 故选C． 【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用． 2．正如我们小学学过的圆锥体积公式V=πr2hr表示圆锥的地面半径，h表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到π．祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习． 下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于，则这个圆锥的高等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设母线长为R，底面圆半径为r，根据弧长公式、扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高 【详解】解：设母线长为R，底面圆半径为r，圆锥的高为h，由于圆锥的侧面展开图是个半圆 ∴侧面展开图的弧长为：=πR， ∵底面圆的周长为：2πr， ∴πR=2πr， ∴R=2r， ∴由勾股定理可知：h=r， ∵圆锥的体积等于， ∴=πr2h， ∴r=3， ∴h=． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练运用圆锥的相关计算公式，本题属于基础中等题型． 3．（25-26下·黑龙江大庆·学情自测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 4．在直角三角形，两条直角边分别为6cm，8cm，斜边长为10cm，若分别以一边旋转一周（①结果用π表示；②你可能用到其中的一个公式，V圆柱=πr2h，V球体=，V圆锥=h） (1)如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是？ (2)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (3)如果绕着它的斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？ 【答案】(1)两个圆锥形成的几何体； (2)V圆锥=128π； (3)绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大． 【分析】（1）作斜边上的高分成两个直角三角形旋转即可； （2）确定圆锥的高与半径即可求出体积； （3）分别求出两种图形的体积，再比较即可． 【详解】（1）两个圆锥形成的几何体； （2）由题意可知：r=8，h=6 V圆锥πr2hπ×82×6＝128π， （3）①如图可知，设直角三角形斜边上的高为r可得：， 解得r， 所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为分为两个圆锥 设母线为6的圆锥高为 ，母线为8的圆锥高为， 则+=10， V圆锥πr2hπr2h1πr2h2π×（）2×10＝76.8π ②绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为： V圆锥πr2hπ×62×8＝96π， ∴76.8π＜96π， 故绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大． 【点睛】本题考查将一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形和圆锥体积计算方法，关键要弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高，一般底面半径越大体积就越大． 5．网红竹筒冰淇淋是当下旅游打卡的热门美食，采用天然规整竹筒作为容器，竹筒内部可看成空心圆柱体，下部装奶茶，顶部放置同底面圆锥形冰淇淋．已知冰淇淋完全融化后体积减少；竹筒空心部分底面直径为，竹筒内部总高；先装入奶茶，奶茶高度为．顶部放置一个和竹筒同底面的圆锥形冰淇淋，圆锥高，母线长． (1)求竹筒冰淇淋的表面积（含竹筒，结果保留）； (2)若把冰淇淋完全融化倒入竹筒奶茶中，此时液面会不会溢出？请计算说明理由； (3)为推广这款竹筒冰淇淋，商家分装成迷你试吃装．试吃装均使用同款迷你纸杯，杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是，试吃分为纯奶茶款和奶茶冰淇淋混合款，奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比（冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）．已知所有竹筒冰淇淋（奶茶冰淇淋）全部用完（无剩余），且纯奶茶试吃装的纸杯总数比混合试吃装少12个，求两款试吃纸杯各需要准备多少个？ 【答案】(1)表面积为； (2)液面不会溢出．理由： 奶茶体积：， 圆锥冰淇淋体积：， 融化后冰淇淋体积：， 竹筒总容积：， 融化后总体积：， 因此液面不会溢出． (3)纯奶茶款需要个，混合款需要个． 【分析】（1）表面积的组成部分：圆柱侧面积、圆柱下底面积、圆锥侧面积，三者无重叠且题目要求含竹筒，分别计算三部分面积后求和，用到圆柱侧面积公式、圆的面积公式、圆锥侧面积公式． （2）先计算竹筒内奶茶体积，圆锥冰淇淋的体积，融化后体积减少30%，可得融化后的冰淇淋体积；再计算竹筒内总容积，比较奶茶体积加融化后冰淇淋体积和总容积的大小即可判断是否溢出，用到圆锥体积公式 、圆柱体积公式． （3）先根据比值求出迷你纸杯的底面半径和高，计算单个迷你纸杯的容积；再计算一个竹筒冰淇淋中奶茶和未融化冰淇淋的总体积；接着设混合试吃装数量为未知数，因为纯奶茶款数量比混合款少12个，所以可表示出纯奶茶款数量，结合两款试吃装的体积占比关系，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵竹筒底面直径为， ∴半径， ∵竹筒总高，圆锥母线长， ∴竹筒冰淇淋的表面积为． （2）略 （3）解：设混合款需要x个．则纯奶茶款需要个， ∵杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是， ∴试吃装底面半径、高均为原竹筒的​， ∴试吃装底面半径，高， ∴单个体积． ∵奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比（冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）， ∴混合款每个含奶茶、冰淇淋，纯奶茶每个含奶茶，且所有材料用完， ∴，即， 解得． ∴． 答：纯奶茶款需要个，混合款需要个． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 29.3 弧长和扇形面积 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 弧长计算 题型02 求扇形面积 题型03 计算圆锥的侧面积 B组 能力进阶 题型01 求半径 题型02 求圆心角 题型03 求图形运动扫过的弧长 题型04 求图形扫过的面积 题型05 不规则图形面积的计算 题型06 计算弓形面积 题型07 计算圆锥的底面半径 题型08 计算圆锥的高 题型09 计算圆锥的侧面展开图的圆心角 C组 思维拔高 题型01 圆锥的侧面上的最短路径问题 题型02 圆锥体积的计算 弧长计算题型01 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，内接于，若的半径为6，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．一段圆弧的弧长是分米，半径是分米，圆心角为______度．（取） 4．如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．    (1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； (2)在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 5．如图，为的直径，．动点在上且位于直线上方，连结．作点关于直线的对称点，连结．    (1)当点与点重合时，的大小为________度； (2)当时，求的长； (3)当平分线段时，求扇形的面积； (4)连接，当时，直接写出线段的长． 求扇形面积题型02 1．计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 2．一个扇形的弧长是，面积为，则其半径为（    ） A．6 B．36 C．12 D．144 3．2020年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为24cm的扇形纸做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面接缝处忽略不计，如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为8cm，那么这张扇形纸的面积是_____cm2（结果保留） 4．如图，已知扇形的面积为，点在圆周上，，则的半径为___________． 5．如图，已知的直径垂直于弦于点E，连结，且． (1)若，求的长； (2)若，求扇形（阴影部分）的面积（结果保留）． 计算圆锥的侧面积题型03 1．圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知一个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A．24cm2 B．15cm2 C．21cm2 D．12cm2 3．已知圆锥的底面半径为，它的侧面积是，则这个圆锥的母线长为______． 4．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的表面积是________ 5．（25-26下·上海·期末）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 求半径题型01 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·学情自测）若一个扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是___________． 4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是__． 5．（24-25八年级下·上海·月考）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 求圆心角题型02 1．若圆锥的底面圆半径是，圆锥的侧面展开图是一个半径为扇形，则此扇形的圆心角为（     ） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．（25-26九年级下·四川南充·学情诊断）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 3．如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的，那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是______度． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 5．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证； (3)若弧长是周长的，，求的值． 求图形运动扫过的弧长题型03 1．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 2．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（    ） A． B． C．4 D． 3．已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过40分钟滑过的弧线长为______厘米（结果保留）． 4．（25-26九年级上·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)将绕点O顺时针旋转，得到．请在坐标系中画出，并写出点的坐标． (2)求点B在旋转过程中所经过的路径长． 5．阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 求图形扫过的面积题型04 1．如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 3．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均落在格点上． (1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1．在网格中画出△A1B1C1； (2)求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；(结果保留π) 5．将一副三角板如图1摆放，已知，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当三角板旋转到时，如图2，线段扫过的面积是________； (2)在旋转过程中，与的交点为P，若为等腰三角形，求t的值； (3)当边与边分别交于点M，N时，如图3，连接，设，，，证明：为定值． 不规则图形面积的计算题型05 1．如图，一件扇形艺术品完全打开后，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是（    ） A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2 2．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，中，， 分别以三边为直径画半圆， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）是（    ）． A． B． C．24 D．30 3．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，三角尺（阴影部分）的面积是______． 5．如图，在中，，O为线段上一点，以O为圆心，长为半径的圆与边，分别交于D，E两点， (1)求证：； (2)若O为的中点，①探究与的数量关系，并说明理由．②连结，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 计算弓形面积题型06 1．（24-25九年级上·广西柳州·质检）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，则图中阴影部分面积为（   ） A．π–24 B．9π C．π–12 D．9π–6 4．如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______ 结果保留．    5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水的最大深度为． (1)求水面宽的长； (2)求阴影部分面积． 计算圆锥的底面半径题型07 1．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（        ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26下·上海·期末）妈妈生日前夕，小松用一张半径为的半圆形卡片制作了一个圆锥形生日帽，这个圆锥的底面半径为____． 3．（25-26九年级·期末）已知一个圆锥的高为12，母线长为13，则这个圆锥的底面周长为________． 4．如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是______．    5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】 （1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】 （2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】 （3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 计算圆锥的高题型08 1．四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是（  ） A．楠楠 B．晶晶 C．依依 D．笑笑 2．把一个弧长为10π cm的扇形AOC围成一个圆锥，测得母线OA＝13 cm，则圆锥的高h为(     )       A．12 cm B．10 cm C．6 cm D．5 cm 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 4．（25-26七年级上·河南郑州·联考）把一个底面半径是5厘米的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面下降了3厘米，这个圆锥高（   ）． A．6 B．12 C．36 D．48 5．（25-26下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，用一个棱长的正方体铁块切割成一个最大的圆柱体．（取3） (1)这个圆柱体的体积是多少立方厘米？ (2)如果把这个圆柱重新熔炼成一个底面半径为的圆锥，那么这个圆锥的高是多少厘米？ (3)在（2）的条件下，当正方体铁块切成圆柱体后，把铁块切割下的剩余材料，重新熔炼成一个底面半径为的新圆柱，并把这个新圆柱和圆锥垂直放入一个底面直径、高的圆柱体水槽中，水槽中原来水面高度是，圆锥直接浸没在水中，新圆柱底面与水槽底面完全接触时，这时新圆柱仍有部分露出水面，求露出部分的高度？ 计算圆锥的侧面展开图的圆心角题型09 1．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级·期末）将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为___________度． 4．若圆锥的底面半径，高，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是______ 度． 5．已知：某中学将举办一次活动，需要若干生日帽： (1)已知每个生日帽，底面半径为，母线长为，求生日帽侧面展开图的圆心角； (2)在（1）的条件下，现从生日帽底面圆周上一点B出发，沿生日帽侧面拉一圈装饰彩带再回到点B，直接猜测彩带的最短长度是多少？ (3)本次活动还需要一些板，某广告公司利用长为、宽为的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． ①求1块板的所有无浪费裁切方案； ②需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有300块甲广告牌和420块乙广告牌，为了不造成材料的浪费，利用（1）中方案进行裁切，问：还需要购买多少块板（购买的板恰好全部用完）？ 圆锥的侧面上的最短路径问题题型01 1．如图，有一个圆锥，高为 8 cm ，直径为 12 cm ．在圆锥的底边 B 点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部 A 处的食物，则它需要爬行的最短路程是（　　） A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm 2．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 3．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 4．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 圆锥体积的计算题型02 1．一个圆柱体削去12立方分米后，正好削成一个与它等底等高的圆锥,这个圆锥体体积是（  ）立方分米． A．24 B．12 C．6 D．18 2．正如我们小学学过的圆锥体积公式V=πr2hr表示圆锥的地面半径，h表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到π．祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习． 下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于，则这个圆锥的高等于（　　） A． B． C． D． 3．（25-26下·黑龙江大庆·学情自测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 4．在直角三角形，两条直角边分别为6cm，8cm，斜边长为10cm，若分别以一边旋转一周（①结果用π表示；②你可能用到其中的一个公式，V圆柱=πr2h，V球体=，V圆锥=h） (1)如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是？ (2)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (3)如果绕着它的斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？ 5．网红竹筒冰淇淋是当下旅游打卡的热门美食，采用天然规整竹筒作为容器，竹筒内部可看成空心圆柱体，下部装奶茶，顶部放置同底面圆锥形冰淇淋．已知冰淇淋完全融化后体积减少；竹筒空心部分底面直径为，竹筒内部总高；先装入奶茶，奶茶高度为．顶部放置一个和竹筒同底面的圆锥形冰淇淋，圆锥高，母线长． (1)求竹筒冰淇淋的表面积（含竹筒，结果保留）； (2)若把冰淇淋完全融化倒入竹筒奶茶中，此时液面会不会溢出？请计算说明理由； (3)为推广这款竹筒冰淇淋，商家分装成迷你试吃装．试吃装均使用同款迷你纸杯，杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是，试吃分为纯奶茶款和奶茶冰淇淋混合款，奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比（冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）．已知所有竹筒冰淇淋（奶茶冰淇淋）全部用完（无剩余），且纯奶茶试吃装的纸杯总数比混合试吃装少12个，求两款试吃纸杯各需要准备多少个？ 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $