精品解析：湖南湘潭市第十二中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年下学期湘钢一中教育集团市十二中10月阶段性调研 九年级数学学科 时量：120分钟 满分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四条线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 已知，，则其比例中项的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ） A. B. 点A，O，三点在同一条直线上 C. D. 5. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 若，且对应中线比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 9. 如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则的值是______． 12. 如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 13. 邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 14. 中，E，F分别是的中点，连接，则______． 15. 若，且，则____________． 16. 如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为__________． 三、解答题（共72分） 17. 已知．解决下列问题： （1）求的值； （2）求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出点的坐标为________，的长为________． 19. 如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． （1）求证：． （2）若，点E是边的中点，求的长． 20. 如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 21. 如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． （1）请直接用含t的代数式表示的长和的长； （2）当t等于何值时，与相似？ 22. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 23. 【数学问题】如图，三角形中，，是边上的高且．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接交于E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求的长． 【问题迁移】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式=． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 （3）如图2，在三角形铁板中，，是边上的高且．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接交于E．若工人想在三角形铁板中切取一个矩形，请问的长为多少时，该矩形面积有最大值． 24. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期湘钢一中教育集团市十二中10月阶段性调研 九年级数学学科 时量：120分钟 满分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 2. 下列四条线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：、，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故选项不符合题意． D、，是成比例线段，故选项符合题意． 3. 已知，，则其比例中项的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设其比例中项的值为t，根据比例中项的概念得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：设其比例中项的值为t， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴其比例中项的值为． 4. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ） A. B. 点A，O，三点在同一条直线上 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一条直线上，， ∴， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 5. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 6. 若，且对应中线比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 7. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【解析】 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 9. 如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形对边平行且相等的性质证明，结合中点定义得出相似比，进而推导线段与的数量关系． 【详解】解： 四边形是矩形， ，， ， ， 点是边的中点， ， ， ，即， ， ， ∴． 10. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件，逐一进行判断即可. 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 12. 如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，则可得，进而可求出的长． 【详解】解：∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 13. 邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 中，E，F分别是的中点，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得到，证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 若，且，则____________． 【答案】24 【解析】 【分析】设比例系数，用表示出，代入已知等式求出，即可计算得到的值． 【详解】解：设，则，，， 将，，代入， 得， 解得， ，， ． 16. 如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明，进而证明，则，然后代值计算求出，则． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 已知．解决下列问题： （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出点的坐标为________，的长为________． 【答案】（1）如图所示即为所求 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）原点为位似中心放大2倍，坐标同乘2；再利用网格中的水平、竖直线段，借助勾股定理求出两点间线段长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限， ∴ 对应点坐标为原坐标乘． ∵， ，． 根据勾股定理得 ． 19. 如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． （1）求证：． （2）若，点E是边的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 20. 如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 即， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 21. 如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． （1）请直接用含t的代数式表示的长和的长； （2）当t等于何值时，与相似？ 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 22. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【解析】 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 23. 【数学问题】如图，三角形中，，是边上的高且．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接交于E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求的长． 【问题迁移】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式=． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 （3）如图2，在三角形铁板中，，是边上的高且．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接交于E．若工人想在三角形铁板中切取一个矩形，请问的长为多少时，该矩形面积有最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是矩形，得到，，即；设，则，证明，得到，解方程即可得到答案； （2）证明四边形是矩形，得到，，即；设，则，，证明，得到，解方程即可得到答案； （3）证明四边形是矩形，得到，，即；设，，则，证明，得到，解得，则，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，； ∵是边上的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，即； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，； ∵是边上的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，即； 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，； ∵是边上的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，即； 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴当时，该矩形面积有最大值． 24. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】（1） （2）证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $