1.4 线段垂直平分线与角平分线 题型专练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

苏科版（2024）八年级上册 1.4 线段垂直平分线与角平分线 题型专练 【题型1】作线段垂直平分线与角平分线的综合 【典例】如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，直线交于点，连接，再通过尺规作图得射线，交于点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在Rt中，，，要求通过尺规作图，把它分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则作法正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为__________． 【举一反三3】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 已知∠AOB，（1）作∠AOB的平分线；（2）作一个角等于∠AOB． 【题型2】角平分线的性质 【典例】如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是 A．20 B．25 C．30 D．35 【举一反三1】如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（　　） A．AD+BC=AB B．∠AOB=90° C．与∠CBO互余的角有2个 D．点O是CD的中点 【举一反三2】已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作为垂足，下列结论：①；②；③；，其中正确的结论有（ ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三3】如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝__________ . 【举一反三4】如图，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，∠COD＝20°，∠AOB＝140°． (1)求∠BOC的度数． (2)求∠DOE的度数． 【举一反三5】在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、、，一块含、、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 (1)把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与互余的摆法是__________ ；与互补的摆法是__________ ．（请填写图1下面对应的序号） (2)【深入探究】 (3)将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数； ②把绕着点C转动，使得边在内部（如图3所示），分别作∠ACD的平分线CF，∠ACE的平分线CG和的平分线，求的值． 【题型3】角平分线的判定 【典例】已知：；②；③；④，其中能够得到射线OM是的平分线的有（　　）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【举一反三1】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为 __________ . 【举一反三2】已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线． 【题型4】线段垂直平分线的判定 【典例】如图，已知线段AB及线段AB外一点C，要求过点C作直线CD，使直线CD⊥直线AB. 小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧； ②以点A为圆心，AC长为半径作弧，与①中的弧交于另一点D； ③作直线CD，则直线CD即为所求.小明对小欣的作法进行了证明. 证明：连接AC，AD，BC，BD. ∵BC=☆　　　　， ∴点△　　　　在线段CD的垂直平分线上(◎　　　　). ∵AC=AD， ∴点□　　　　在线段CD的垂直平分线上， ∴直线AB为线段CD的垂直平分线， ∴CD⊥AB.下列表示正确的是 （      ） A．☆表示CD B．△表示D C．◎表示线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．□表示A 【举一反三1】如图，的三条中线，，相交于点P．以下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论为（ ） A．①③ B．②③ C．③④ D．①②④ 【举一反三2】如图，，，，相交于点，若，则__________ ． 【举一反三3】如图，在中，，，，为的中点，为上一动点，连接、，则的最小值是__________ ． 【举一反三4】如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，BC=BD+AD．点D在哪条线段的垂直平分线上？证明你的结论． 【题型5】线段垂直平分线性质与判定的综合 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F.下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF∶S△AFC=AD∶FD；④若BF=2EC，则BC=AB. 正确的结论序号是 （      ）  A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【举一反三1】如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF.则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF.其中正确的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三2】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，S△DCE＝S△DBF，且∠BAD＝42°，则∠BAC的值是__________. 【举一反三4】已知：如图所示，△ABC 中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点 P 在边 AC 的垂直平分线上． 【题型6】线段垂直平分线的实际应用 【典例】如图，点D在AC的垂直平分线上，AB∥CD，若∠D＝130°，则∠BAC的度数是(　　) A．15° B．20° C．25° D．30° 【举一反三1】如图，P在线段AB的垂直平分线l上，已知PA=5，AC=3，PC=4，则线段PB的长度是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【举一反三2】如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=4cm，△ADC的周长为12cm，则△ABC的周长是（ ） A．18cm B．20cm C．19cm D．21cm 【举一反三3】已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是__________． 【举一反三4】如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________． 【举一反三5】如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系?并加以证明． 【题型7】角平分线与线段垂直平分线的综合 【典例】如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（　　） A．31° B．62° C．87° D．93° 【举一反三1】如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画两条弧（两条弧半径不等），使得两弧分别与相交于点M，P，N，Q，连接相交于点O，连接并延长，与边相交于点D. 有下列结论： ①； ②； ③； ④的面积是面积的2倍； ⑤点D既在线段的垂直平分线上，也在的平分线上. 其中正确的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，，，D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且，于M.下列说法正确的是（ ） ①；②平分；③；④. A．① ③ ④ B．② ③ ④ C．① ② ③ D．① ② ④ 【举一反三3】如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是__________. 【举一反三4】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）. 【举一反三5】如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型8】角平分线性质与判定的综合 【典例】如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l.在△ABC中，若∠BOC=125°，则∠BAC的度数为 （      ）  A．60° B．65° C．70° D．75° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，且S△ABC=42，△ABC的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是 （      ）  甲：FE=FD；乙：点F到AC的距离为2；丙：连接BF，则BF平分∠ABC. A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=2ab.其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠CAB=50°，点D在△ABC的外部，且AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥BC，交BC于点F，连接BD.若∠BCE=104°，DE=DF，则∠DBC的度数为__________ . 【举一反三4】已知：如图，点D是△ABC边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E，F为垂足，且DE=DF，再过点D作DG∥AB交BC于点G. 求证：(1)DG=BG； (2)BD垂直平分EF. 【举一反三5】如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P， (1)在图1中，分别画出点P到边AC，BC，BA的垂线段PF，PG，PH，请你判断这三条线段是否相等，并说明理由． (2)在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由． 【题型9】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典例】如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为 （      ）  A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三1】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC；其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【举一反三2】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=　.  【举一反三3】如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为 __________ . 【举一反三4】(苏科课本P39练习T2)如图，判断的外角的平分线的交点是否在的平分线上，并证明你的结论. 【举一反三5】在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E是射线AB上的动点(不与点D重合)，过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的平分线所在的直线与射线CD相交于点G. (1)如图，点E在线段AD上运动． ①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，则∠EGC＝____°. ②若∠A＝90°，求∠EGC的度数． (2)若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系． 　　 苏科版（2024）八年级上册 1.4 线段垂直平分线与角平分线 题型专练（参考答案） 【题型1】作线段垂直平分线与角平分线的综合 【典例】如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，直线交于点，连接，再通过尺规作图得射线，交于点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】中，， . 由作图可知，点D在线段的垂直平分线上， ，故选项A结论正确，不合题意； 由作图可知，平分， ，故选项B结论正确，不合题意； ，故选项C结论错误，符合题意； ， ， ， ，故选项D结论正确，不合题意； 故选：C. 【举一反三1】如图，在Rt中，，，要求通过尺规作图，把它分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则作法正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】第一个图是尺规作，则是等腰三角形，符合题意； 第二个图是尺规作的角平分线，可知，则是等腰三角形，符合题意； 第三个图形是尺规作的垂直平分线，可得，再由，可知，则是等腰三角形，符合题意； 第四个图形是尺规作的垂直平分线，可得，则是等腰三角形，符合题意． 所以符合题意的有4个． 故选：D． 【举一反三2】如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 【举一反三3】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 已知∠AOB，（1）作∠AOB的平分线；（2）作一个角等于∠AOB． 【答案】解：（1）如图，OC即为∠AOB的平分线； （2）如图，∠EFD即为所求． 【题型2】角平分线的性质 【典例】如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是 A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【解析】如图，连接，过O作于E，于F， 、分别平分和， ， 的周长是20，于D，且， ， ， . 故选：C. 【举一反三1】如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（　　） A．AD+BC=AB B．∠AOB=90° C．与∠CBO互余的角有2个 D．点O是CD的中点 【答案】C 【解析】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE，∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确； 在Rt△AOD和Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，∠AOE=∠AOD，同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，∴∠AOB=×180°=90°，故B选项结论正确； 与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误； ∵OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确． 故选C． 【举一反三2】已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作为垂足，下列结论：①；②；③；，其中正确的结论有（ ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②， ， ， ， ，故②正确； ③为的角平分线， ， ∵，， ，， 又∵， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，故③错误； ④过作于点， ∵为的角平分线，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确. ∴正确的有①②④， 故选：B. 【举一反三3】如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝__________ . 【答案】6 【解析】由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线. 因为AD是边BC上的高，所以AD⊥BC， 因为MN⊥AB，所以MD＝MN＝2. 所以AD＝4MD＝8，所以AM＝AD－MD＝6. 【举一反三4】如图，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，∠COD＝20°，∠AOB＝140°． (1)求∠BOC的度数． (2)求∠DOE的度数． 【答案】(1)∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝∠AOB＝×140°＝70°， ∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝70°﹣20°＝50°； (2)∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝×50°＝25°， ∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝25°+20°＝45°． 【举一反三5】在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、、，一块含、、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 (1)把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与互余的摆法是__________ ；与互补的摆法是__________ ．（请填写图1下面对应的序号） (2)【深入探究】 (3)将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数； ②把绕着点C转动，使得边在内部（如图3所示），分别作∠ACD的平分线CF，∠ACE的平分线CG和的平分线，求的值． 【答案】(1)① ； ④ (3)答案见解析 【解析】(1)图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与互余的摆法是①；与互补的摆法是④； 故答案为：①，④； (3)①如图2，∵平分， ∴， ∴． ②如图3，∵的平分线，的平分线和的平分线， ∴，，， ∴， ， ∴． 【题型3】角平分线的判定 【典例】已知：；②；③；④，其中能够得到射线OM是的平分线的有（　　）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】①若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故①错误； ②若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故②错误； ③∵， ∴OM在∠AOB的内部， 又∵， ∴OM是的平分线，故③正确； ④∵， ∴OM在∠AOB的内部， 但无法证明， ∴OM不一定是的平分线，故④错误， 故选：B． 【举一反三1】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为 __________ . 【答案】 【解析】作交于点， 依题得：，，， 点在的平分线上，即平分， ， 又， ， ， . 故答案为：. 【举一反三2】已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线． 【答案】证明 在Rt△PFD和Rt△PGE中，， ∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）， ∴PD=PE， ∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线． 【题型4】线段垂直平分线的判定 【典例】如图，已知线段AB及线段AB外一点C，要求过点C作直线CD，使直线CD⊥直线AB. 小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧； ②以点A为圆心，AC长为半径作弧，与①中的弧交于另一点D； ③作直线CD，则直线CD即为所求.小明对小欣的作法进行了证明. 证明：连接AC，AD，BC，BD. ∵BC=☆　　　　， ∴点△　　　　在线段CD的垂直平分线上(◎　　　　). ∵AC=AD， ∴点□　　　　在线段CD的垂直平分线上， ∴直线AB为线段CD的垂直平分线， ∴CD⊥AB.下列表示正确的是 （      ） A．☆表示CD B．△表示D C．◎表示线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．□表示A 【答案】D 【解析】由题意知，证明过程如下： 证明：连接AC，AD，BC，BD. ∵BC=BD， ∴点B在线段CD的垂直平分线上（到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上）. ∵AC=AD， ∴点A在线段CD的垂直平分线上， ∴直线AB为线段CD的垂直平分线， ∴CD⊥AB. ∴☆表示BD，△表示B，◎表示到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，□表示A. 【举一反三1】如图，的三条中线，，相交于点P．以下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论为（ ） A．①③ B．②③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【解析】∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故①符合题意； 如果， ∵是的中线， ∴垂直平分，但不一定垂直，即：， 故②不符合题意； ∵的三条中线，，相交于点， 同上可知，，，，， 则， ∴ ∴， 故③符合题意； 由上可知，，令，则， 同理，，令，则， ∴， ∵， 故④不符合题意． ∴其中，正确的结论为①③． 故选：A． 【举一反三2】如图，，，，相交于点，若，则__________ ． 【答案】 【解析】∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】如图，在中，，，，为的中点，为上一动点，连接、，则的最小值是__________ ． 【答案】12 【解析】作A关于的对称点，连接、、， ，， ∴，， 是A关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ∴，是等边三角形，， 为的中点，， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， ，即：， 的最小值是． 故答案为：． 【举一反三4】如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，BC=BD+AD．点D在哪条线段的垂直平分线上？证明你的结论． 【答案】解 点D在AC的垂直平分线上． 理由：∵BC=BD+AD，BC=BD+CD， ∴AD=CD， ∴点D在AC的垂直平分线上． 【题型5】线段垂直平分线性质与判定的综合 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F.下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF∶S△AFC=AD∶FD；④若BF=2EC，则BC=AB. 正确的结论序号是 （      ）  A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解析】∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠ABC=45°， ∴∠BAD=90°-∠ABD=45°， ∴AD=BD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ACD=90°， ∵∠EBC+∠BFD=90°， ∴∠BFD=∠ACD， ∴△BDF≌△ADC(AAS)， ∴DF=CD， ∴∠FCD=∠DFC=45°，故①正确； ∵AB≠BC，BE⊥AC， ∴AE≠EC，故②不正确； ∵==， ∴S△ABF∶S△AFC=AD∶FD，故③正确； ∵△BDF≌△ADC， ∴BF=AC， ∵BF=2EC， ∴AC=2EC， ∴E为AC的中点， ∵BE⊥AC， ∴BE为线段AC的垂直平分线， ∴BA=BC，故④正确， ∴正确结论的序号是①③④. 【举一反三1】如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF.则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF.其中正确的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB，∠ABC＝∠FBC＝∠ABF， ∵BF∥AC， ∴∠CAB＋∠ABF＝180°， ∴∠DAB＋∠ABD＝90°，即∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高，故①正确； ∵∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，∠BAD＝∠CAD， ∴△ADB△ADC(ASA)， ∴DB＝DC，即AD是△ABC的中线，故②正确； ∵BF∥AC， ∴∠CED＝∠F， 又∵∠CDE＝∠BDF， ∴△DEC△DFB(AAS)， ∴ED＝FD，故③正确； 过点D作DG⊥AB于点G，如图所示， ∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，∠AED＝∠AGD＝∠F＝90°， ∴DE＝DG＝DF， ∵AD＝AD， ∴Rt△AEDRt△AGD(HL)， ∴AE＝AG， 同理可知BF＝BG， ∵AB＝AG＋BG， ∴AB＝AE＋BF，故④正确； 综上所述，正确的个数是4. 【举一反三2】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为. 故选：. 【举一反三3】如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，S△DCE＝S△DBF，且∠BAD＝42°，则∠BAC的值是__________. 【答案】84° 【解析】如图，作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H， ∵S△BDF＝BF·DG，S△CDE＝CE·DH，CE＝BF，S△DCE＝S△DBF， ∴DG＝DH， ∵DG⊥AB，DH⊥AC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝2×42°＝84°. 【举一反三4】已知：如图所示，△ABC 中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点 P 在边 AC 的垂直平分线上． 【答案】证明 连接 AP，BP，CP． ∵点P在边AB的垂直平分线上， ∴ AP=BP．又点P在边 BC 的垂直平分线上， ∴ BP=CP． ∴ AP=CP， ∴点P在边AC的垂直平分线上． 【题型6】线段垂直平分线的实际应用 【典例】如图，点D在AC的垂直平分线上，AB∥CD，若∠D＝130°，则∠BAC的度数是(　　) A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】C 【解析】∵点D在AC的垂直平分线上， ∴AD＝CD， 作DE⊥AC交AC于点E(图略)，易证△DEA△DEC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠ADC＝130°， ∴∠DAC＝∠DCA＝25°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA＝25°. 【举一反三1】如图，P在线段AB的垂直平分线l上，已知PA=5，AC=3，PC=4，则线段PB的长度是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】∵P在线段AB的垂直平分线l上， ∴PA=PB， ∵PA=5， ∴PB=5. 【举一反三2】如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=4cm，△ADC的周长为12cm，则△ABC的周长是（ ） A．18cm B．20cm C．19cm D．21cm 【答案】B 【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，BE=AE=4cm， ∴AD+CD=BC，AB=BE+AE=8cm， ∵△ADC的周长为12cm，AC=4cm， ∴AD+CD=12-4=8，即BC=8cm， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=8+8+4=20cm.故选B． 【举一反三3】已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是__________． 【答案】∠MAN=∠MBN 【解析】如图1，∵MN垂直平分AB，∴MA=MB，AO=BO， ∠MOA=∠MOB=90°，∴Rt△MOA≌Rt△MOB，∴∠MAO=∠MBO， 同理，∠NAO=∠NBO，∴∠MAO+∠NAO=∠MBO+∠NBO，即 ∠MAN=∠MBN． 如图2，同上可知，∠MAO-∠NAO=∠MBO-∠NBO，即∠MAN=∠MBN． 【举一反三4】如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________． 【答案】6 【解析】∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE．∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴ED+DC+EC=24，①BE+BD﹣DE=12．②①-②得，DE=6． 【举一反三5】如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系?并加以证明． 【答案】解 AB+BD=DE． 理由是：∵AD⊥BC，BD=DC， ∴AB=AC．又∵点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=EC． ∵AC+CD=AB+BD， ∴EC+CD=AB+BD． 即AB+BD=EC+CD=DE． 【题型7】角平分线与线段垂直平分线的综合 【典例】如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（　　） A．31° B．62° C．87° D．93° 【答案】C 【解析】∵DE垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∴∠DBC＝∠C＝31°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝31°， ∴∠A＝180°﹣31°×3＝87°， 故选：C. 【举一反三1】如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画两条弧（两条弧半径不等），使得两弧分别与相交于点M，P，N，Q，连接相交于点O，连接并延长，与边相交于点D. 有下列结论： ①； ②； ③； ④的面积是面积的2倍； ⑤点D既在线段的垂直平分线上，也在的平分线上. 其中正确的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解析】由作图可得， ，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ， ， ， ∴平分， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵中，， ∴是等腰三角形， ∴点在线段的垂直平分线上，也在的平分线上，故⑤正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于即不一定垂直，故①错误； 综上，正确的有②③④⑤，共4个. 故选：B. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，，，D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且，于M.下列说法正确的是（ ） ①；②平分；③；④. A．① ③ ④ B．② ③ ④ C．① ② ③ D．① ② ④ 【答案】D 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确， 过D作于F，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 故②正确， ③∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③不正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 故选D. 【举一反三3】如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是__________. 【答案】42 【解析】如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OE＝OF＝OD＝4， ∵△ABC的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4， ∴S△ABC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF ＝(AB＋BC＋AC)×4 ＝×21×4 ＝42. 【举一反三4】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）. 【答案】解　如图，点P即为所求. 【举一反三5】如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点， ∴，，， ∴， ∴； (2)解：在和中，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型8】角平分线性质与判定的综合 【典例】如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l.在△ABC中，若∠BOC=125°，则∠BAC的度数为 （      ）  A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】C 【解析】如图，过点O分别作OD⊥AC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，如图， ∵直线MN∥l， ∴OD=OE=OF， ∴点O是△ABC的三个内角平分线的交点， ∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×(180°-125°)=110°， ∴∠BAC=70°. 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，且S△ABC=42，△ABC的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是 （      ）  甲：FE=FD；乙：点F到AC的距离为2；丙：连接BF，则BF平分∠ABC. A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 【答案】C 【解析】连接BF，过点F作FG⊥AC，FH⊥AB，FM⊥BC，如图. ∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线， ∴FG=FH，FG=FM， ∴FH=FM， ∴BF平分∠ABC，故丙说法正确； ∵S△ABC=S△ABF+S△ACF+S△BCF =AB·FH+AC·FG+BC·FM =(AB+BC+AC)·FG=42， ∵△ABC的周长为21， ∴AB+BC+AC=21， ∴FG=4， ∴点F到AC的距离为4，故乙说法错误； 条件不足，无法得到FE=FD，故甲说法错误. 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=2ab.其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB， ∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-∠CBA-∠CAB =180°-(180°-∠C) =90°+∠C，①错误； 如图，过点O作OG⊥AB于点G， ∵BF是∠ABC的平分线，OG⊥AB，OD⊥BC，OD=1， ∴OG=OD=1， ∵AB=4， ∴S△ABO=AB×OG=×4×1=2，②正确； 如图，在AB上取一点H，使BH=BE， ∵∠C=60°， 由①知∠AOB=90°+∠C， ∴∠AOB=90°+30°=120°， ∴∠BOE=∠AOF=60°， ∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠HBO=∠EBO， 在△HBO和△EBO中， ∴△HBO△EBO(SAS)， ∴∠BOH=∠BOE=60°， ∴∠AOH=180°-60°-60°=60°， ∴∠AOH=∠AOF， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠HAO=∠FAO， 在△HAO和△FAO中， ∴△HAO△FAO(ASA)， ∴AF=AH， ∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确； 如图，过点O作ON⊥AB于点N，OM⊥AC于点M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD=a， ∴点O在∠C的平分线上， ∴ON=OM=OD=a， ∵AB+AC+BC=2b， ∴S△ABC=×AB×ON+×AC×OM+×BC×OD=(AB+AC+BC)·a=ab，④错误. 综上，②③正确，共2个. 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠CAB=50°，点D在△ABC的外部，且AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥BC，交BC于点F，连接BD.若∠BCE=104°，DE=DF，则∠DBC的度数为__________ . 【答案】63° 【解析】如图，连接CD，过点D作DG⊥AB，交AB的延长线于点G， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，DE=DF， ∴CD平分∠BCE， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DG⊥AB， ∴DE=DG，∴DF=DG， ∴BD平分∠CBG， ∴∠ABC=∠BCE-∠CAB=104°-50°=54°， ∴∠CBG=180°-∠ABC=126°， ∴∠DBC=∠CBG=63°. 【举一反三4】已知：如图，点D是△ABC边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E，F为垂足，且DE=DF，再过点D作DG∥AB交BC于点G. 求证：(1)DG=BG； (2)BD垂直平分EF. 【答案】证明　(1)连接BD，过点G作GH⊥BD于点H，如图， ∵DE⊥AB，DF⊥BC，且DE=DF， ∴∠ABD=∠DBC. 又∵DG∥AB， ∴∠ABD=∠BDG， ∴∠BDG=∠DBC， 易证△BHG≌△DHG， ∴DG=BG. (2)连接EF，如图， 由(1)∠ABD=∠DBC，可知∠EDB=∠FDB， 在△BDE和△BDF中， ∴△BDE≌△BDF(ASA)， ∴BE=BF，DE=DF， ∴BD垂直平分EF. 【举一反三5】如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P， (1)在图1中，分别画出点P到边AC，BC，BA的垂线段PF，PG，PH，请你判断这三条线段是否相等，并说明理由． (2)在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】解 (1)所作垂线段PF，PG，PH如图所示， PF＝PG＝PH.理由如下： ∵AD平分∠CAB，PF⊥AC，PH⊥AB， ∴PF＝PH. ∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB， ∴PG＝PH.∴PF＝PG＝PH. (2)PE＝PD.理由如下： ∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，∴∠CAB＝30°. ∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝15°，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝45°. 如图，过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F，G，则∠PFE＝∠PGD＝90°. ∵∠PDG＝∠C＋∠CAD＝60°＋15°＝75°，∠PEF＝∠CAB＋∠ABE＝30°＋45°＝75°， ∴∠PEF＝∠PDG. 由(1)得PF＝PG， 在△PFE和△PGD中， ∴△PFE≌△PGD(AAS)．∴PE＝PD. 【题型9】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典例】如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为 （      ）  A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】如图，过点P作PF⊥AC于点F，PG⊥AB于点G，PH⊥BC于点H， 则PF=3， ∵△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P， ∴PG=PH=PF=3， ∴点P到AB的距离为3. 【举一反三1】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC；其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解析】(1)∵AD平分△ABC的外角∠EAC ∴∠EAD=∠DAC， ∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC， 故①正确． (2)由(1)可知AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABC=2∠ADB， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠ACB=2∠ADB， 故②正确． (3)在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180° ∴∠ADC+∠ABD=90° ∴∠ADC=90°-∠ABD， 故③正确， (4)如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC 故④错误． (5)∵∠BAC+∠ABC=∠ACF， ∴∠BAC+∠ABC=∠ACF， ∵∠BDC+∠DBC=∠ACF， ∴∠BAC+∠ABC=∠BDC+∠DBC， ∵∠DBC=∠ABC， ∴∠BAC=∠BDC，即∠BDC=∠BAC. 故⑤正确． 故答案为①②③⑤． 【举一反三2】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=　.  【答案】120° 【解析】∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴点O是三个角的平分线的交点， ∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=(180°-60°)=60°， 在△BCO中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°. 【举一反三3】如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为 __________ . 【答案】60° 【解析】∵△ABC三个内角的平分线交于点O， ∴∠ACO=∠BCO， 在△COD和△COB中， ∴△COD≌△COB， ∴∠D=∠CBO， ∵∠BAC=80°， ∴∠BAD=100°， ∴∠BAO=40°， ∴∠DAO=140°， ∵AD=AO，∴∠D=20°， ∴∠CBO=20°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCA=60°. 【举一反三4】(苏科课本P39练习T2)如图，判断的外角的平分线的交点是否在的平分线上，并证明你的结论. 【答案】解　交点在 的平分线上. 证明：如图所示，设 的平分线与 的平分线交于点 ，过点 分别作 ，则 .由角平分线性质定理的逆定理可知点 在 的平分线 上. 【举一反三5】在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E是射线AB上的动点(不与点D重合)，过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的平分线所在的直线与射线CD相交于点G. (1)如图，点E在线段AD上运动． ①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，则∠EGC＝____°. ②若∠A＝90°，求∠EGC的度数． (2)若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系． 　　 【答案】(1)①∵EF∥BC， ∴∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE. ∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF， ∴∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠DEF＝∠B. ∵∠EGC是△EFG的外角， ∴∠EGC＝∠DFE＋∠FEG＝∠ACB＋∠B. ①把∠B＝60°，∠ACB＝40°代入∠EGC＝∠ACB＋∠B， 得∠EGC＝×40°＋×60°＝50°. ②解：∵EF∥BC， ∴∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE. ∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF， ∴∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠DEF＝∠B. ∵∠EGC是△EFG的外角， ∴∠EGC＝∠DFE＋∠FEG＝∠ACB＋∠B. ∠EGC＝∠ACB＋∠B＝(∠ACB＋∠B)＝(180°－∠A)＝90°－∠A， 把∠A＝90°代入， 得∠EGC＝90°－×90°＝45°. (2)解：①如答图1，当点E在线段DB上时， 答图1 ∵EF∥BC， ∴∠BEF＝180°－∠B，∠EFG＝∠BCF. ∵CD平分∠ACB，EH平分∠BEF， ∴∠HEF＝∠BEF＝(180°－∠B)＝90°－∠B，∠BCF＝∠ACB. ∵∠HEF是△EFG的外角， ∴∠EGC＝∠HEF－∠EFG＝90°－∠B－∠ACB＝90°－(∠ACB＋∠B)＝90°－(180°－∠A)＝90°－90°＋∠A＝∠A. ②如答图2，当点E在DB的延长线上时， 答图2 ∵EF∥BC， ∴∠ABC＝∠BEF，∠BCD＝∠F. ∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF， ∴∠F＝∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠BEF＝∠ABC， ∴∠EGC＝180°－(∠FEG＋∠F)＝180°－\left( \dfrac{1}{2} ∠ABC+ \dfrac{1}{2} ∠ACB \right)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A. 综上所述，点E在射线DB上运动时， ∠EGC与∠A之间的数量关系为∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°＋∠A. 学科网（北京）股份有限公司 $