1.4 线段垂直平分线与角平分线（分层作业18题）2026-2027学年苏科版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

**基本信息** 本同步练习聚焦线段垂直平分线与角平分线，通过18题分层设计，实现从概念理解到综合应用的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|垂直平分线/角平分线单一性质|选择/填空直接考查性质（如第1/7题）| |中档|性质综合应用|结合作图与几何计算（如第4/11题）| |提升|实际情境与动态探究|含证明与开放探究（如第17/18题）|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.4 线段垂直平分线与角平分线（分层作业18题） 一、选择题 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 2．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 3．如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 5．小聪用两把宽度相同的长方形直尺摆成如下图，①号尺子落在②号尺子的边缘点，①号尺子上边缘所在直线与②号尺子下边缘所在直线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 8．如图，与关于直线l对称，连接与，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是____(填序号)． 9．如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则______. 10．如图，，平分，平分，若，则____．    11．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 12．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 三、解答题 13．如图，在中，，AB的垂直平分线EF交BC于点F，AC的垂直平分线MN交BC于点N．求的周长． 14．如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 15．如图，在中，，，，平分，交于点，求线段的长． 16．如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 17．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 18．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.4 线段垂直平分线与角平分线（分层作业18题） 一、选择题 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点． 2．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴加油站可选择的点共有四处． 故选：D． 3．如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】根据题意可得饮水点到的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 【详解】解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到的三个顶点的距离相等， ∴该饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可判断为的垂直平分线，可得，，通过周长公式进行等量代换求解． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ， ， 的周长为， ， ，即， ， 故的周长为． 5．小聪用两把宽度相同的长方形直尺摆成如下图，①号尺子落在②号尺子的边缘点，①号尺子上边缘所在直线与②号尺子下边缘所在直线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的判定得到平分，再利用角的等量关系运算求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵尺子的宽度一样， ∴， ∵，， ∴平分， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 6．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件及，可推导出且，进而得出，代入数据求解即可． 【详解】解：， ， 平分，， ， 同理，， ， 平分，， ， ， ， ， ． 二、填空题 7．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 8．如图，与关于直线l对称，连接与，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是____(填序号)． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 9．如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则______. 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用；根据题意可得平分，平分，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】，，，且， 平分，平分 ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 10．如图，，平分，平分，若，则____．    【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可． 【详解】如图，过点作于，      ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 11．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 12．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 三、解答题 13．如图，在中，，AB的垂直平分线EF交BC于点F，AC的垂直平分线MN交BC于点N．求的周长． 【答案】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，知，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分， ∴，， ∴的周长为． 14．如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 【答案】 证明：∵平分，，， ∴，， ∵在和中，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了角平分线的性质，证明三角形全等，熟练掌握角平分线的性质与三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，由于，根据可证明，从而得以证明． 【详解】略 15．如图，在中，，，，平分，交于点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；，过作于，可证，从而可得，设，则，，由勾股定理可得，即可求解；掌握性质，能把已知条件转化到中用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于， ， 平分，， ，， ， 在和中 ， （）， ， ， 设，则， ， 在中： ， 即：， 解得：， ， 故线段的长为． 16．如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 17．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 18．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）证明：如图2，于点H， 在和中， ， ∴， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，∵， ∴， 延长交的延长线于点Q， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 如图4，在线段上取点，使得， ∵， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴． 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点H，可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点Q，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得；在线段上取点，使得，求出和，可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，分别是，的高， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定和性质，关键是熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的性质解决线段或角的相等关系． 学科网（北京）股份有限公司 $