1.4 线段垂直平分线与角平分线 易错专题 训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 按错因归类的线段垂直平分线与角平分线专项突破训练，通过“典例精讲+即时巩固”强化数学思维与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |10类易错点|每类1例题+3-5巩固题|距离对象判断法、周长替换三步法、角平分线辅助线构造法等|从概念辨析（内心外心）到性质应用（周长计算、角度转换），形成“概念-推理-应用”递进链条|

苏科版2024 · 线段垂直平分线与角平分线 · 第1章 三角形 1.4线段垂直平分线与角平分线 苏科版（2024）八上易错专题 苏科版2024 第1章 三角形 第4节 班级：________________ 姓名：________________ 本专题精选易错题，不按知识点顺序排列，而是按出错原因重新归类：内心与外心混淆、周长转移替换错、半条线段当整条、等腰角度转换、概念表述不严、忘作垂线、面积比写反、垂线段最短、漏解共十类。每类先精讲一道典型例题，标注易错倾向与核心易错点，再配即时巩固练习；全部模块学完后，在文末做一次综合检测。 目录 易错点1：混淆到顶点与到三边距离相等 易错点2：周长转移时替换的线段找错 易错点3：垂足处半条线段误当整条 易错点4：两边中垂线交底边的周长陷阱 易错点5：中垂线导出等腰后角度算错 易错点6：中垂线概念与逆定理表述不严 易错点7：用角平分线性质忘作垂线 易错点8：面积法拆分时把比例写反 易错点9：求动点最小值漏用垂线段最短 易错点10：到两边距离相等的点漏数 易错点1：混淆到顶点与到三边距离相等 学习目标 · 能区分到三顶点与到三边距离相等 · 会根据情境判断作中垂线还是角平分线 · 能用交点位置解决选址类实际问题 纠错指引 读题先圈出「到什么距离相等」：到点（顶点、村庄、运动员）→ 用线段垂直平分线，三条中垂线交点到三顶点距离相等；到边（公路、直线、边）→ 用角平分线，三条角平分线交点到三边距离相等。两类情境文字很像，务必先判断距离的另一端是「点」还是「线」再落笔。 精讲例题 例题1．（2025秋•章丘区期末）·【基础】校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三条角平分线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三边的垂直平分线的交点 易错倾向标签：易看错｜易想错 【本题核心易错点】 · 把到三顶点距离相等当成到三边 · 误选三条角平分线的交点 · 忘记该用中垂线交点定位 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•西华县期末）·【基础】近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 即时巩固2．（2022秋•涟源市期末）·【基础】如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（　　） A． AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A，∠B两内角平分线的交点处 即时巩固3．（2025春•济南期末）·【基础】如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 易错点2：周长转移时替换的线段找错 学习目标 · 能用中垂线把周长转化为两边之和 · 会判断该把哪一条线段作等量替换 · 能说清替换后周长少算了哪一段 纠错指引 先标出中垂线的垂足落在哪条边上，写出相等的那两条线段再代换：△ABD 的周长＝AB+BD+DA，把 DA 换成 DC，BD+DC 才拼成整条 BC。每次代换后核对一句「是否正好拼成一条完整的边」，防止把周长写成 AB+AC 或多算一段。 精讲例题 例题2．（2023•邵阳县二模）·【基础】如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，且AB＝4，BC＝7，则△ABD的周长是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把 DA 换成 DB 拼不出 BC · 误把周长算成 AB+AC · 漏掉 BD+DC＝BC 这一步 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固4．（2023秋•凤阳县期末）·【基础】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 即时巩固5．（2021秋•安州区期末）·【基础】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（　　） A．26 B．20 C．18 D．14 即时巩固6．（2024秋•余杭区期中）·【基础】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长是　 　 ． 即时巩固7．（2024秋•浏阳市期中）·【基础】如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为12cm，则AB+AC＝　 　 cm． 即时巩固8．（2022秋•澧县期中）·【基础】如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若△ABD的周长为26cm，BC＝18cm，则AB＝　 　 cm． 易错点3：垂足处半条线段误当整条 学习目标 · 能由到垂足的长度求出整条边 · 会区分垂足分出的半段与整段 · 能把周长差值还原成完整的边 纠错指引 垂足是中点，题中给的 AD、AE 只是一半，代入前先写一步 AB＝2AD（或 AC＝2AE）。凡是「到垂足的长度」都要先乘 2 再进周长；再用 EA＝EB 把小三角形周长拼成两边之和，两步不要合并写。 精讲例题 例题3．（2024秋•凤阳县期末）·【基础】如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　） A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5 易错倾向标签：易算错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把 AD＝3 直接当成 AB 的长 · 漏乘 2 就代入周长 · 换线段后忘拼成 AC+BC 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固9．（2023秋•甘井子区期末）·【基础】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABC的周长为19cm，则△ABD的周长为（　　） A．10cm B．13cm C．16cm D．18cm 即时巩固10．（2023秋•宁江区期末）·【基础】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 　 　 cm． 即时巩固11．（2022秋•金湖县期中）·【基础】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长是18cm，AE＝3cm，则△ABD的周长是 　 　 cm． 易错点4：两边中垂线交底边的周长陷阱 学习目标 · 能证明所围三角形周长等于底边 · 会处理钝角时垂足位置外移的情形 · 能识别题中不参与计算的多余条件 纠错指引 分别写 EA＝EB、FA＝FC，再看 B、E、F、C 是否依次排在 BC 上：依次排列时周长恰好等于 BC，不必再加 EF。遇到重叠段（EG）或 ∠BAC>90° 先把点的位置画准，再决定是加还是减这一段。 精讲例题 例题4．（2025•福州校级模拟）·【基础】如图，在△ABC中，BC＝36，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F，连接AE，AF，则△AEF的周长为（　　） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 误以为周长还要加上 EF · 钝角时不重排点的顺序 · 把 BC 当成周长的一半 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固12．（2026春•和平区校级期中）·【基础】如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 即时巩固13．（2023春•大渡口区期末）·【提升】如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 即时巩固14．（2025春•姑苏区校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若BC＝15，则△AEF的周长是 　 　 ． 即时巩固15．（2023春•莱芜区期中）·【基础】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若BC＝20，则△AEF的周长是 　 　 ． 易错点5：中垂线导出等腰后角度算错 学习目标 · 能由中垂线得出等腰三角形 · 会用内角和把已知角搬到顶点 · 能避免把同一顶点的两角写混 纠错指引 见中垂线先写「DA＝DB → ∠DAB＝∠B」，把底角度数搬到顶点 A 处，再用 ∠BAC 减去它得 ∠DAC。每求出一个角就在图上标注，∠DAB 与 ∠DAC 分处 AD 两侧，标图能有效防止写混。 精讲例题 例题5．（2023•河南自主招生）·【基础】如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B＝35°，∠C＝60°，则∠DAC的度数为（　　） A．50° B．40° C．35° D．30° 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 把 ∠DAB 与 ∠DAC 写混 · 忘记 DA＝DB 得等腰 · 直接拿 ∠B 当 ∠DAC 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固16．（2023秋•江岸区期末）·【基础】如图，在△ABC中，∠B＝76°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AB+BD＝BC，则∠C的度数为（　　） A．28° B．38° C．36° D．30° 即时巩固17．（2022秋•渑池县期末）·【基础】如图，∠B＝20°，∠C＝35°，若MP和FN分别垂直平分AB和AC，则∠PAF等于（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 即时巩固18．（2023春•榆林期末）·【基础】如图，在△ABC中．∠A＝40°，∠C＝70°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠EBC的度数为 　 　 °． 即时巩固19．（2021秋•右玉县校级期末）·【基础】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　 度． 即时巩固20．（2024•西昌市一模）·【提升】如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　 ． 易错点6：中垂线概念与逆定理表述不严 学习目标 · 能完整叙述中垂线性质与逆定理 · 会检验垂直、过中点是否同时满足 · 能区分中点与到两端距离相等的点 纠错指引 判断「是不是垂直平分线」必须同时满足过中点与垂直，缺一不可；「到两端距离相等的点」在中垂线这条直线上，不一定是中点。两条线段互相垂直平分要各自都满足条件，不能由一方推出另一方。 精讲例题 例题6．（新教材同步题）·【基础】如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的有 　 　 （填序号） ①AB⊥MN； ②AD＝DB； ③MN⊥AB； ④MD＝DN； ⑤AB是MN的垂直平分线． 易错倾向标签：易看错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 误认为 AB 也垂直平分 MN · 把 MD＝DN 当成必然成立 · 只看垂直忽略过中点 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固21．（2023秋•滨城区期中）·【基础】如图所示，C，D是直线l上任意两点，AC＝BC，AD＝BD，则下列结论错误的是（　　） A．∠ACD＝∠BCD B．CD平分AB但不垂直AB C．CD垂直平分AB D．S△ACD＝S△BCD 即时巩固22．（新教材同步题）·【基础】已知线段AB及一点P，PA＝PB＝4cm，则点P在 　 　 上． 即时巩固23．（新教材同步题）·【基础】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 　 　 ；到一条线段两个端点距离相等的点，在线段的 　 　 ． 即时巩固24．（2021秋•东胜区期末）·【提升】下列叙述错误的是 　 　 ． ①角的两边越长，角度越大 ②到线段两端点距离相等的点是线段的中点 ③两点之间线段最短 ④﹣a表示负数 ⑤零是最小的有理数． 易错点7：用角平分线性质忘作垂线 学习目标 · 能主动作垂线段构造相等的距离 · 会把垂线段当作三角形的高求面积 · 能明确「距离」指的是垂线段长 纠错指引 看到角平分线，先向另一边作垂线并写出两条垂线段相等，再把这段长度当作对应边上的高。求面积时先确认底和高互相垂直，别把 CD 直接当成 AB 边上的高；辅助线不作，性质就用不上。 精讲例题 例题7．（2024春•驻马店期末）·【基础】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 不作垂线就拿斜线段当距离 · 把 CD 当成 AB 边上的高 · 面积公式里底与高配错 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固25．（2025秋•安阳县期末）·【基础】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC＝30，DE＝4，BC＝10，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 即时巩固26．（2024•田阳区一模）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝20，CD＝6，则△ABD的面积为（　　） A．80 B．60 C．20 D．10 即时巩固27．（2022秋•东莞市校级期末）·【基础】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．15 B．7.5 C．8 D．9 即时巩固28．（2025秋•南沙区期中）·【提升】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 即时巩固29．（2022春•砚山县期中）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC于E，AD＝3，DC＝4，则DE＝　 　 ． 即时巩固30．（2021秋•崂山区校级期末）·【基础】如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC＝2，则D到AB的距离是 　 　 ． 易错点8：面积法拆分时把比例写反 学习目标 · 能用三边距离相等把三角形拆成三块 · 会由三边之比直接写出面积之比 · 能用面积法反求周长或距离 纠错指引 三条角平分线交点到三边距离都等于同一个长度 r，每一小块面积＝½×对应边×r，所以面积之比就等于对应边之比，不是反比。写比例前把「小三角形—对应边」逐一对号，例如 S△ABO 对 AB，避免错位。 精讲例题 例题8．（2022秋•东阿县校级期末）·【基础】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 面积比写成边长的反比 · 忘记三条距离都相等 · 小三角形与对应边错位 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固31．（2024秋•铁岭期末）·【基础】如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的周长为24，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 即时巩固32．（2023秋•永善县期中）·【提升】如图，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是10，15，20，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　） A．3：4：5 B．5：3：2 C．2：3：4 D．4：3：2 即时巩固33．（2026春•阜新期中）·【基础】如图，△ABC的三边长分别是AB＝6，BC＝9，AC＝12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△BOC：S△AOC：S△ABO＝　 　 ． 即时巩固34．（2022秋•卧龙区校级期末）·【基础】如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为 　 　 ． 即时巩固35．（2022秋•曲靖期末）·【提升】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　 　 ． 易错点9：求动点最小值漏用垂线段最短 学习目标 · 能判断距离在何时取到最小值 · 会把最小值转化为已知垂线段 · 能说明斜线段一定大于垂线段 纠错指引 动点在一条边上滑动求最短距离，一律作垂线：垂线段最短，最小值就等于角平分线上这点到该边的距离，再用角平分线性质把它换成已知的另一条垂线段。先定「何时最小」，再算「最小是多少」。 精讲例题 例题9．（2025秋•嵩明县期中）·【基础】如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，如PH＝5，则PQ长的最小值为（　　） A．10 B．5 C．3 D．2.5 易错倾向标签：易漏解｜易想错 【本题核心易错点】 · 忽略垂直时才取到最小值 · 拿任意位置的斜线段当答案 · 忘用角平分线转移距离 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固36．（2023秋•怀仁市期末）·【基础】如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为 　 　 ． 即时巩固37．（2023秋•无为市月考）·【基础】如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，点M是OB上一个动点．若PD＝9，则点P到边OB的最小值是 　 　 ． 即时巩固38．（2020秋•麻章区期末）·【提升】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝8，点E是AB上一动点，DE的最小值为　 　 ． 易错点10：到两边距离相等的点漏数 学习目标 · 能用逆定理判断点在角平分线上 · 会把外角平分线的情形一并考虑 · 能数清满足条件的点的个数 纠错指引 「到两边距离相等」只说明点在角的平分线所在直线上。三条直线两两相交时，内部 1 处、外部还有 3 处，共 4 处；只有题目明确限定「在三角形区域内」才只取内部那一处。数点前先把三个内角和三个外角的平分线都画出来。 精讲例题 例题10．（2023秋•阿荣旗校级期中）·【基础】如图，三条直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 易错倾向标签：易漏解｜易看错 【本题核心易错点】 · 只数出三角形内部一处 · 漏掉外角平分线的交点 · 忽略题目是否限定在内部 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固39．（2022秋•长沙期末）·【基础】如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、AC、BC的距离OF＝OE＝OD，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 即时巩固40．（2022秋•林州市期末）·【基础】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 即时巩固41．（2026春•沈河区期末）·【基础】如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C．现计划修建一座油库，要求油库到这三条公路的距离都相等．若，∠A＝60°，则满足条件的油库到每条公路的距离为　 　 km． 即时巩固42．（2025秋•齐齐哈尔期中）·【基础】如图，如果点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD＝PE，若∠AOB＝40°，∠OPE＝　 　 ． 即时巩固43．（2023春•平遥县月考）·【基础】如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是 　 　 ． 即时巩固44．（2022秋•巴彦县期中）·【基础】如图，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，点D是AC上一点，连接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，则∠DBF的度数是 　 　 ． 本专题错因自查清单 ☐ 混淆到三顶点与到三边距离相等 ☐ 周长转移时替换的线段找错 ☐ 垂足处半条线段误当整条 ☐ 两边中垂线交底边时多加一段 ☐ 中垂线导出等腰后角度写混 ☐ 垂直平分只看垂直漏看过中点 ☐ 用角平分线性质忘作垂线 ☐ 面积比写成边长的反比 ☐ 求最小值漏用垂线段最短 ☐ 到两边距离相等的点漏数外部情形 过关测试（综合检测） 1．（2023秋•工业园区校级同步）·【提升】在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张方格纸中，找出格点C，使AC＝BC，则满足条件的格点C有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2024秋•歙县期末）·【提升】东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 3．（2023秋•利川市期末）·【提升】如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BM，CM交于点M，下列结论： ①∠MBC＝∠MCB； ②∠BMC＝∠MCB+∠MBC+∠A； ③∠BMC＝90°∠A； ④点M到AB，AC的距离相等． 其中，正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 4．（2025秋•阳朔县校级月考）·【基础】如图，在△ABC中，直线DE是BC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E，若AB＝5，△ABD的周长是12，则AC的长是　 　 ． 5．（2025秋•雨花台区校级月考）·【基础】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B＝64°，∠FAE＝10°，则∠C＝　 　 °． 6．（2025春•渠县校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若BC＝15，则△ADE的周长为 　 　 ． 7．（2023秋•银海区期中）·【基础】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，BC＝8cm，△ABD的周长为13cm，则AB的长是 　 　 cm． 8．（2023•开福区模拟）·【基础】如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则△BDC的周长为 　 　 ． 9．（2024秋•海州区校级期末）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　 ． 10．（2020秋•黄陂区期末）·【提升】如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．若AD＝3，BD＝2，△ADE的面积记为S1，△BDF的面积记为S2，则S1+S2＝　 　 ． 11．（2025秋•武夷山市校级期中）·【基础】在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm． （1）求BC的长； （2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长． 12．（2023春•惠安县期末）·【基础】如图，已知△ABC的边AC＝5a，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连结AE． （1）找出图中相等的线段：　 　 ；（写出一组即可） （2）若△ACE的周长为12a，求边BC． 13．（2025春•渭滨区期末）·【基础】两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 14．（2022秋•大安市期末）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10， （1）求DE的长度． （2）求△ABE的面积． 苏科版2024 · 线段垂直平分线与角平分线 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 线段垂直平分线与角平分线 · 第1章 三角形 1.4线段垂直平分线与角平分线 苏科版（2024）八上易错专题 苏科版2024 第1章 三角形 第4节 本专题精选易错题，不按知识点顺序排列，而是按出错原因重新归类：内心与外心混淆、周长转移替换错、半条线段当整条、等腰角度转换、概念表述不严、忘作垂线、面积比写反、垂线段最短、漏解共十类。每类先精讲一道典型例题，标注易错倾向与核心易错点，再配即时巩固练习；全部模块学完后，在文末做一次综合检测。 目录 易错点1：混淆到顶点与到三边距离相等 易错点2：周长转移时替换的线段找错 易错点3：垂足处半条线段误当整条 易错点4：两边中垂线交底边的周长陷阱 易错点5：中垂线导出等腰后角度算错 易错点6：中垂线概念与逆定理表述不严 易错点7：用角平分线性质忘作垂线 易错点8：面积法拆分时把比例写反 易错点9：求动点最小值漏用垂线段最短 易错点10：到两边距离相等的点漏数 易错点1：混淆到顶点与到三边距离相等 学习目标 · 能区分到三顶点与到三边距离相等 · 会根据情境判断作中垂线还是角平分线 · 能用交点位置解决选址类实际问题 纠错指引 读题先圈出「到什么距离相等」：到点（顶点、村庄、运动员）→ 用线段垂直平分线，三条中垂线交点到三顶点距离相等；到边（公路、直线、边）→ 用角平分线，三条角平分线交点到三边距离相等。两类情境文字很像，务必先判断距离的另一端是「点」还是「线」再落笔。 精讲例题 例题1．（2025秋•章丘区期末）·【基础】校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三条角平分线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三边的垂直平分线的交点 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答． 【解答】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点． 故选：D． 教学提示：把「到三个顶点」改成「到三条边」，让学生现场重新选答案，体会一字之差换定理；板书左右分栏对照写外心、内心两条结论。 易错倾向标签：易看错｜易想错 【本题核心易错点】 · 把到三顶点距离相等当成到三边 · 误选三条角平分线的交点 · 忘记该用中垂线交点定位 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•西华县期末）·【基础】近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可解答． 【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处， 故选：A． 教学提示：让学生用尺规在图上真作两条中垂线定出高铁站位置，动手过程能把「到点距离相等」固化为中垂线交点。 即时巩固2．（2022秋•涟源市期末）·【基础】如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（　　） A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A，∠B两内角平分线的交点处 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【解答】解：如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在AC，BC两边垂直平分线的交点处， 故选：C． 教学提示：围绕「把到三顶点距离相等当成到三边」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固3．（2025春•济南期末）·【基础】如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分线的交点处． 【解答】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点， 故选：B． 教学提示：与本组第一题连读，做「顶点组 / 边组」两栏归类练习；追问「度假村若要到三个村庄距离相等又该怎么选」，正反各走一遍。 易错点2：周长转移时替换的线段找错 学习目标 · 能用中垂线把周长转化为两边之和 · 会判断该把哪一条线段作等量替换 · 能说清替换后周长少算了哪一段 纠错指引 先标出中垂线的垂足落在哪条边上，写出相等的那两条线段再代换：△ABD 的周长＝AB+BD+DA，把 DA 换成 DC，BD+DC 才拼成整条 BC。每次代换后核对一句「是否正好拼成一条完整的边」，防止把周长写成 AB+AC 或多算一段。 精讲例题 例题2．（2023•邵阳县二模）·【基础】如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，且AB＝4，BC＝7，则△ABD的周长是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，然后利用等量代换可得△ABD的周长＝AB+BC，进行计算即可解答． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∵AB＝4，BC＝7， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD ＝AB+BD+CD ＝AB+BC ＝4+7 ＝11， 故选：B． 教学提示：请学生先在图上给 DA、DC 标同一记号再写周长，板书分三行写代换过程，暴露「拼不成整条边」的那一步。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把 DA 换成 DB 拼不出 BC · 误把周长算成 AB+AC · 漏掉 BD+DC＝BC 这一步 即时巩固 即时巩固4．（2023秋•凤阳县期末）·【基础】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DC，然后利用等量代换可得△ABD的周长＝AB+AC，进行计算即可解答． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∵AB＝3，AC＝5， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD ＝AB+AD+CD ＝AB+AC ＝3+5 ＝8， 故选：C． 教学提示：小组互查环节，让同伴指出对方替换的是哪条线段、少算了哪一段，比教师直接给答案更能纠正代换习惯。 即时巩固5．（2021秋•安州区期末）·【基础】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（　　） A．26 B．20 C．18 D．14 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC，BC＝2BE＝8， ∵△ABC的周长为22， ∴AB+BC+AC＝22， ∴AB+AC＝14， ∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14， 故选：D． 教学提示：围绕「把 DA 换成 DB 拼不出 BC」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固6．（2024秋•余杭区期中）·【基础】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长是　 　 ． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝8， 故答案为：8． 教学提示：围绕「把 DA 换成 DB 拼不出 BC」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固7．（2024秋•浏阳市期中）·【基础】如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为12cm，则AB+AC＝　 　 cm． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DC，然后根据三角形的周长可得AB+AD+BD＝12cm，从而可得AB+AD+DC＝12cm，进而可得AB+AC＝12cm，即可解答． 【解答】解：∵l是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∵△ABD的周长为12cm， ∴AB+AD+BD＝12cm， ∴AB+AD+DC＝12cm， ∴AB+AC＝12cm， 故答案为：12． 教学提示：围绕「把 DA 换成 DB 拼不出 BC」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固8．（2022秋•澧县期中）·【基础】如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若△ABD的周长为26cm，BC＝18cm，则AB＝　 　 cm． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得AD＝DC，从而可得BD+AD＝18cm，然后利用三角形的周长进行计算即可解答． 【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线， ∴AD＝DC， ∵BC＝18cm， ∴BD+CD＝18cm， ∴BD+AD＝18cm， ∵△ABD的周长为26cm， ∴AB＝26﹣（BD+AD）＝8（cm）， 故答案为：8． 教学提示：围绕「把 DA 换成 DB 拼不出 BC」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错点3：垂足处半条线段误当整条 学习目标 · 能由到垂足的长度求出整条边 · 会区分垂足分出的半段与整段 · 能把周长差值还原成完整的边 纠错指引 垂足是中点，题中给的 AD、AE 只是一半，代入前先写一步 AB＝2AD（或 AC＝2AE）。凡是「到垂足的长度」都要先乘 2 再进周长；再用 EA＝EB 把小三角形周长拼成两边之和，两步不要合并写。 精讲例题 例题3．（2024秋•凤阳县期末）·【基础】如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　） A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5 【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得：BD＝AD＝3，EA＝EB，AB＝2AD＝6，然后利用等量代换和三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，AD＝3， ∴BD＝AD＝3，EA＝EB，AB＝2AD＝6， ∵△ACE的周长为9.5 ∴AC+AE+EC＝9.5， ∴AC+BE+EC＝9.5， ∴AC+BC＝9.5， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝9.5+6＝15.5， 故选：D． 教学提示：先集体口答 AB 等于多少，再往下算；把「AD 是一半」写成独立一步板书，专治漏乘 2。 易错倾向标签：易算错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把 AD＝3 直接当成 AB 的长 · 漏乘 2 就代入周长 · 换线段后忘拼成 AC+BC 即时巩固 即时巩固9．（2023秋•甘井子区期末）·【基础】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABC的周长为19cm，则△ABD的周长为（　　） A．10cm B．13cm C．16cm D．18cm 【分析】根据垂直平分线的性质计算．△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC． 【解答】解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足， ∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm， ∵△ABC的周长为19cm， ∴AB+BC＝13cm， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13cm． 故选：B． 教学提示：变式训练——把 AE 改成给出 AC，让学生体会条件方向反转后不再需要乘 2，强化对半段与整段的分辨。 即时巩固10．（2023秋•宁江区期末）·【基础】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 　 　 cm． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，然后利用等量代换可得△ABD的周长＝AB+BC＝13cm，从而利用三角形的周长公式进行计算即可解答． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm， ∴AC＝2AE＝6（cm），DA＝DC， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+AD＝13cm， ∴AD+BD+DC＝13cm， ∴AB+BC＝13cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC ＝13+6 ＝19（cm）， 故答案为：19． 教学提示：围绕「把 AD＝3 直接当成 AB 的长」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固11．（2022秋•金湖县期中）·【基础】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长是18cm，AE＝3cm，则△ABD的周长是 　 　 cm． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，再根据已知△ABC的周长是18cm，可得AB+BC＝12cm，然后利用等量代换可得△ABD的周长＝AB+BC，即可解答． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC， ∵△ABC的周长是18cm， ∴AB+BC＝18﹣6＝12（cm）， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD ＝AB+BD+DC ＝AB+BC ＝12cm， 故答案为：12． 教学提示：围绕「把 AD＝3 直接当成 AB 的长」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错点4：两边中垂线交底边的周长陷阱 学习目标 · 能证明所围三角形周长等于底边 · 会处理钝角时垂足位置外移的情形 · 能识别题中不参与计算的多余条件 纠错指引 分别写 EA＝EB、FA＝FC，再看 B、E、F、C 是否依次排在 BC 上：依次排列时周长恰好等于 BC，不必再加 EF。遇到重叠段（EG）或 ∠BAC>90° 先把点的位置画准，再决定是加还是减这一段。 精讲例题 例题4．（2025•福州校级模拟）·【基础】如图，在△ABC中，BC＝36，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F，连接AE，AF，则△AEF的周长为（　　） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA＝FC，然后利用等量代换可得△AEF的周长＝BC，即可解答． 【解答】解：∵AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F， ∴EA＝EB，FA＝FC， ∵BC＝36， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF ＝BE+EF+FC ＝BC ＝36， 故选：A． 教学提示：请学生在 BC 上依次标 B、E、F、C 四点后再写周长，追问「EF 为什么不重复算」，把结论讲成拼线段而非背公式。 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 误以为周长还要加上 EF · 钝角时不重排点的顺序 · 把 BC 当成周长的一半 即时巩固 即时巩固12．（2026春•和平区校级期中）·【基础】如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，AG＝CG，据此即可求解． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴AG＝CG， ∴AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC+2EG＝9+2＝11， ∴△AEG的周长为11； 故选：A． 教学提示：围绕「误以为周长还要加上 EF」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固13．（2023春•大渡口区期末）·【提升】如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题． 【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线， ∴EB＝EA，GB＝GC， ∵△BEG周长为16， ∴EB+GB+EG＝16， ∴EA+GC+EG＝16， ∴GA+EG+EG+EG+EC＝16， ∴AC+2EG＝16， ∵EG＝1， ∴AC＝14， 故选：B． 教学提示：本题带重叠段 GE，让学生把 BE、EG、GC 分段标长后再求 AC，示范位置关系变化如何改写等式。 即时巩固14．（2025春•姑苏区校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若BC＝15，则△AEF的周长是 　 　 ． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA＝FC，然后利用等量代换可得△AEF的周长＝BC，即可解答． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F， ∴EA＝EB，FA＝FC， ∵BC＝15， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF ＝BE+EF+CF ＝BC ＝15， 故答案为：15． 教学提示：围绕「误以为周长还要加上 EF」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固15．（2023春•莱芜区期中）·【基础】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若BC＝20，则△AEF的周长是 　 　 ． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA＝FC，然后利用等量代换可得△AEF的周长＝BC，即可解答． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F， ∴EA＝EB，FA＝FC， ∵BC＝20， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF ＝BE+EF+CF ＝BC ＝20， 故答案为：20． 教学提示：围绕「误以为周长还要加上 EF」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错点5：中垂线导出等腰后角度算错 学习目标 · 能由中垂线得出等腰三角形 · 会用内角和把已知角搬到顶点 · 能避免把同一顶点的两角写混 纠错指引 见中垂线先写「DA＝DB → ∠DAB＝∠B」，把底角度数搬到顶点 A 处，再用 ∠BAC 减去它得 ∠DAC。每求出一个角就在图上标注，∠DAB 与 ∠DAC 分处 AD 两侧，标图能有效防止写混。 精讲例题 例题5．（2023•河南自主招生）·【基础】如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B＝35°，∠C＝60°，则∠DAC的度数为（　　） A．50° B．40° C．35° D．30° 【分析】先利用三角形内角和定理求出∠BAC＝85°，然后利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，从而可得∠B＝∠BAD＝35°，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°， ∵点D在AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD＝35°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝85°﹣35°＝50°， 故选：A． 教学提示：板书按「先求 ∠BAC → 再搬底角 → 最后相减」三步走；请一名学生上台在图上标出两个角，防止左右写混。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 把 ∠DAB 与 ∠DAC 写混 · 忘记 DA＝DB 得等腰 · 直接拿 ∠B 当 ∠DAC 即时巩固 即时巩固16．（2023秋•江岸区期末）·【基础】如图，在△ABC中，∠B＝76°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AB+BD＝BC，则∠C的度数为（　　） A．28° B．38° C．36° D．30° 【分析】根据已知可得CD+BD＝BC，从而可得AB＝CD，再利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，从而可得AB＝AD，进而可得∠B＝∠ADB＝76°，然后利用三角形的外角性质以及等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAD∠ADB，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB+BD＝BC，CD+BD＝BC， ∴AB＝CD， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝76°， ∵∠ADB是△ACD的一个外角， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD， ∵DA＝DC， ∴∠C＝∠CAD∠ADB＝38°， 故选：B． 教学提示：围绕「把 ∠DAB 与 ∠DAC 写混」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固17．（2022秋•渑池县期末）·【基础】如图，∠B＝20°，∠C＝35°，若MP和FN分别垂直平分AB和AC，则∠PAF等于（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【分析】先利用三角形内角和定理求出∠BAC＝125°，然后利用线段垂直平分线的性质可得PB＝PA，FA＝FC，从而利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP＝20°，∠C＝∠CAF＝35°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠B＝20°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝125°， ∵MP和FN分别垂直平分AB和AC， ∴PB＝PA，FA＝FC， ∴∠B＝∠BAP＝20°，∠C＝∠CAF＝35°， ∴∠PAF＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAF＝70°， 故选：A． 教学提示：围绕「把 ∠DAB 与 ∠DAC 写混」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固18．（2023春•榆林期末）·【基础】如图，在△ABC中．∠A＝40°，∠C＝70°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠EBC的度数为 　 　 °． 【分析】先利用三角形内角和定理求出∠ABC＝70°，再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，从而可得∠A＝∠EBA＝40°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠A＝40°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝70°， ∵ED是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠A＝∠EBA＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝30°， 故答案为：30． 教学提示：围绕「把 ∠DAB 与 ∠DAC 写混」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固19．（2021秋•右玉县校级期末）·【基础】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　 度． 【分析】利用角平分线的定义可得∠FAC＝35°，从而利用角的和差关系可求出∠EAC的度数，然后再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EC，再利用等边对等角即可解答． 【解答】解：∵AF平分∠BAC，∠BAC＝70°， ∴∠FAC∠BAC＝35°， ∵∠FAE＝19°， ∴∠EAC＝∠FAC﹣∠FAE＝16°， ∵ED是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠C＝∠EAC＝16°， 故答案为：16． 教学提示：围绕「把 ∠DAB 与 ∠DAC 写混」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固20．（2024•西昌市一模）·【提升】如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　 ． 【分析】根据线段的垂直平分线得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案． 【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠B＝40°，∠C＝45°， ∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°， ∴∠BAD+∠CAE＝85°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°， 故答案为：10° 教学提示：两条中垂线同时出现时，组织学生讨论 ∠DAE 与 ∠B、∠C 的关系式，再验算特殊角，培养一般化意识。 易错点6：中垂线概念与逆定理表述不严 学习目标 · 能完整叙述中垂线性质与逆定理 · 会检验垂直、过中点是否同时满足 · 能区分中点与到两端距离相等的点 纠错指引 判断「是不是垂直平分线」必须同时满足过中点与垂直，缺一不可；「到两端距离相等的点」在中垂线这条直线上，不一定是中点。两条线段互相垂直平分要各自都满足条件，不能由一方推出另一方。 精讲例题 例题6．（新教材同步题）·【基础】如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的有 　 　 （填序号） ①AB⊥MN； ②AD＝DB； ③MN⊥AB； ④MD＝DN； ⑤AB是MN的垂直平分线． 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质判断即可． 【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AB⊥MN，AD＝DB，MN⊥AB， 故①②③说法正确； MD与DN不一定相等，AB不一定是MN的垂直平分线， 故④⑤说法错误， 故答案为：①②③． 教学提示：逐条判断后请学生举反例说明④⑤为什么不成立，反例比结论更能澄清概念；可让学生画出 MD≠DN 的图。 易错倾向标签：易看错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 误认为 AB 也垂直平分 MN · 把 MD＝DN 当成必然成立 · 只看垂直忽略过中点 即时巩固 即时巩固21．（2023秋•滨城区期中）·【基础】如图所示，C，D是直线l上任意两点，AC＝BC，AD＝BD，则下列结论错误的是（　　） A．∠ACD＝∠BCD B．CD平分AB但不垂直AB C．CD垂直平分AB D．S△ACD＝S△BCD 【分析】证明△ACD≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠BCD，再根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【解答】解：A、在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（SAS）， ∴∠ACD＝∠BCD，本选项结论正确，不符合题意； B、∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD是线段AB的垂直平分线，故本选项结论错误，符合题意； C、∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD是线段AB的垂直平分线，本选项结论正确，不符合题意； D、由（A）可知：S△ACD＝S△BCD，本选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 教学提示：让学生先证全等再得出垂直平分，说明 B 选项错在「不垂直」三个字，训练逐字审选项的习惯。 即时巩固22．（新教材同步题）·【基础】已知线段AB及一点P，PA＝PB＝4cm，则点P在 　 　 上． 【分析】根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，即可解答． 【解答】解：∵PA＝PB＝4cm， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， 故答案为：线段AB的垂直平分线． 教学提示：围绕「误认为 AB 也垂直平分 MN」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固23．（新教材同步题）·【基础】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 　 　 ；到一条线段两个端点距离相等的点，在线段的 　 　 ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质定理以及逆定理，即可解答． 【解答】解：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上， 故答案为：距离相等；垂直平分线上． 教学提示：围绕「误认为 AB 也垂直平分 MN」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固24．（2021秋•东胜区期末）·【提升】下列叙述错误的是 　 　 ． ①角的两边越长，角度越大 ②到线段两端点距离相等的点是线段的中点 ③两点之间线段最短 ④﹣a表示负数 ⑤零是最小的有理数． 【分析】根据角的概念，线段的性质，两点间的距离，线段垂直平分线的性质，有理数的概念逐一判断即可． 【解答】解：①角的大小与角的两边的长短无关，与两条边叉开的大小有关，故①错误； ②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，不一定是线段的中点，故②错误； ③两点之间，线段最短，故③正确； ④﹣a表示任意一个数，不一定是负数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； 故答案为：①②④⑤． 教学提示：把五个叙述做成课堂表决题，每条要求说出错在哪个字；②号句是纠正「中点」误解的最佳素材。 易错点7：用角平分线性质忘作垂线 学习目标 · 能主动作垂线段构造相等的距离 · 会把垂线段当作三角形的高求面积 · 能明确「距离」指的是垂线段长 纠错指引 看到角平分线，先向另一边作垂线并写出两条垂线段相等，再把这段长度当作对应边上的高。求面积时先确认底和高互相垂直，别把 CD 直接当成 AB 边上的高；辅助线不作，性质就用不上。 精讲例题 例题7．（2024春•驻马店期末）·【基础】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE＝DC＝3，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积AB•DE 10×3 ＝15， 故选：C． 教学提示：先不给辅助线让学生尝试，再统一作 DE⊥AB，对比「作与不作」的差别；板书强调 DE 才是 AB 边上的高。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 不作垂线就拿斜线段当距离 · 把 CD 当成 AB 边上的高 · 面积公式里底与高配错 即时巩固 即时巩固25．（2025秋•安阳县期末）·【基础】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC＝30，DE＝4，BC＝10，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝4，然后利用面积法，进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ABC＝30，BC＝10， ∴△ADC的面积+△CDB的面积＝30， ∴AC•DFBC•DE＝30， ∴AC•410×4＝30， ∴AC＝5， 故选：C． 教学提示：围绕「不作垂线就拿斜线段当距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固26．（2024•田阳区一模）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝20，CD＝6，则△ABD的面积为（　　） A．80 B．60 C．20 D．10 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，先根据角平分线的性质可得DC＝DE＝6，然后再利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝6， ∵AB＝20， ∴△ABD的面积AB•DE20×6＝60， 故选：B． 教学提示：围绕「不作垂线就拿斜线段当距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固27．（2022秋•东莞市校级期末）·【基础】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．15 B．7.5 C．8 D．9 【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用角平分线的性质可得DA＝DE＝3，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DA＝DE＝3， ∴△BDC的面积BC•DE 5×3 ＝7.5， 故选：B． 教学提示：围绕「不作垂线就拿斜线段当距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固28．（2025秋•南沙区期中）·【提升】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】依据题意，作DF⊥AC于点F，又DE⊥AB，AD平分∠BAC，从而DE＝DF＝2，结合S△ADC+S△ADB＝S△ABC＝9，从而AC•DFAB•DE＝9，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，作DF⊥AC于点F， 又∵DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DE＝DF＝2． ∵S△ADC+S△ADB＝S△ABC＝9， ∴AC•DFAB•DE＝9． ∴2AC+2AB＝18． 又∵AB＝5， ∴AC＝4． 故选：B． 教学提示：本题两次用到相等距离，适合让学生用面积和列方程；提问「为什么 DE 能当两条边上的高」，讲透距离相等。 即时巩固29．（2022春•砚山县期中）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC于E，AD＝3，DC＝4，则DE＝　 　 ． 【分析】根据角平分线的性质得到DE＝AD＝3． 【解答】解：∵∠A＝90°， ∴DA⊥BA， 又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC， ∴DE＝AD， ∵AD＝3， ∴DE＝3， 故答案为：3． 教学提示：围绕「不作垂线就拿斜线段当距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固30．（2021秋•崂山区校级期末）·【基础】如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC＝2，则D到AB的距离是 　 　 ． 【分析】过D点作DE⊥AB，垂足为E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，求出DE＝CD＝2． 【解答】解：过D点作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD是Rt△ABC的角平分线， ∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2； 故答案为：2． 教学提示：口答题快速过关，重点让学生说出「D 到 AB 的距离」是哪条线段，纠正把 DC 直接报成答案的习惯。 易错点8：面积法拆分时把比例写反 学习目标 · 能用三边距离相等把三角形拆成三块 · 会由三边之比直接写出面积之比 · 能用面积法反求周长或距离 纠错指引 三条角平分线交点到三边距离都等于同一个长度 r，每一小块面积＝½×对应边×r，所以面积之比就等于对应边之比，不是反比。写比例前把「小三角形—对应边」逐一对号，例如 S△ABO 对 AB，避免错位。 精讲例题 例题8．（2022秋•东阿县校级期末）·【基础】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4 【分析】过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，利用角平分线的性质可得OD＝OE＝OF，从而可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC，进行计算即可解答． 【解答】解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F， ∵△ABC的三条角平分线交于点O， ∴OD＝OE＝OF， ∵AB＝10，BC＝15，AC＝20， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO ＝AB：BC：AC ＝10：15：20 ＝2：3：4， 故选：C． 教学提示：让学生先猜比例再计算，暴露写反比的直觉错误；板书三块面积公式并排书写，突出公共高 r。 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 面积比写成边长的反比 · 忘记三条距离都相等 · 小三角形与对应边错位 即时巩固 即时巩固31．（2024秋•铁岭期末）·【基础】如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的周长为24，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，根据角平分线的性质可得EG＝EF＝ED＝3，然后根据△ABC的面积＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G， ∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB， ∴EF＝ED＝3， ∵CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC， ∴ED＝EG＝3， ∵△ABC的周长为24， ∴△ABC的面积 ＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积 AB•EFBC•EDAC•EG EF（AB+BC+AC） 3×24 ＝36， 故选：C． 教学提示：围绕「面积比写成边长的反比」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固32．（2023秋•永善县期中）·【提升】如图，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是10，15，20，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　） A．3：4：5 B．5：3：2 C．2：3：4 D．4：3：2 【分析】过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可知OD＝OE＝OF．再由三角形的面积公式计算，作比即可． 【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F， ∵点O是△ABC三条角平分线的交点， ∴OD＝OE＝OF， ∴S△OAB：S△OBC：S△OAC：：AB：BC：AC， ∵△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是10，15，20， ∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝20：15：10＝4：3：2． 故选：D． 教学提示：围绕「面积比写成边长的反比」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固33．（2026春•阜新期中）·【基础】如图，△ABC的三边长分别是AB＝6，BC＝9，AC＝12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△BOC：S△AOC：S△ABO＝　 　 ． 【分析】过点O分别作OF⊥AC于点F，OG⊥AB于点G，OE⊥BC于点E，可得OE＝OF＝OG，进而得到S△BOC：S△AOC：S△ABO． 【解答】解：过点O作OF⊥AC于点F，OG⊥AB于点G，OE⊥BC于点E，垂足分别为F，G，E，如图所示， ∵AO，BO，CO是△ABC的角平分线，且OE⊥BC，OG⊥AB，OF⊥AC， ∴OE＝OF＝OG， ∵AB＝6，BC＝9，AC＝12， ∴S△AOC6OF， S△AOB3OG， S△BOCBC×OEOE， ∴S△BOC：S△AOC：S△AOB＝3：4：2； 故答案为：3：4：2． 教学提示：围绕「面积比写成边长的反比」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固34．（2022秋•卧龙区校级期末）·【基础】如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为 　 　 ． 【分析】过点O作OE⊥AB，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，连接AO，利用角平分线的性质可得OD＝OE＝OF＝4，然后根据△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积＝△ABC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，连接AO， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OD＝OE＝4， ∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC， ∴OD＝OF＝4， ∵△ABC的面积为25， ∴△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积＝25， ∴AB•OEBC•ODAC•OF＝25， ∴AB•OE+BC•OD+AC•OF＝50， ∴4（AB+BC+AC）＝50， ∴AB+BC+AC＝12.5， ∴△ABC的周长为12.5， 故答案为：12.5． 教学提示：本题由面积反求周长，适合作小组挑战题；引导学生把 S＝½×周长×r 归纳成通用结论再套用。 即时巩固35．（2022秋•曲靖期末）·【提升】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　 　 ． 【分析】作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F， ∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB， ∴OD＝OE＝OF， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5， 故答案为：3：4：5． 教学提示：围绕「面积比写成边长的反比」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错点9：求动点最小值漏用垂线段最短 学习目标 · 能判断距离在何时取到最小值 · 会把最小值转化为已知垂线段 · 能说明斜线段一定大于垂线段 纠错指引 动点在一条边上滑动求最短距离，一律作垂线：垂线段最短，最小值就等于角平分线上这点到该边的距离，再用角平分线性质把它换成已知的另一条垂线段。先定「何时最小」，再算「最小是多少」。 精讲例题 例题9．（2025秋•嵩明县期中）·【基础】如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，如PH＝5，则PQ长的最小值为（　　） A．10 B．5 C．3 D．2.5 【分析】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答． 【解答】解：如图： 当PQ⊥OA时，PQ有最小值， ∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA， ∴PH＝PQ＝5， ∴PQ长的最小值为5， 故选：B． 教学提示：让一名学生沿 OA 拖动 Q 点、另一名报出 PQ 变化，直观感受何时最短，再回到垂线段最短的证明。 易错倾向标签：易漏解｜易想错 【本题核心易错点】 · 忽略垂直时才取到最小值 · 拿任意位置的斜线段当答案 · 忘用角平分线转移距离 即时巩固 即时巩固36．（2023秋•怀仁市期末）·【基础】如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为 　 　 ． 【分析】根据垂线段最短可得：当DE⊥AB时，DE有最小值，根据已知易得DC＝2，然后根据角平分线的性质可得DE＝DC＝2，即可解答． 【解答】解：如图：当DE⊥AB时，DE有最小值， ∵AD＝2CD，AC＝6， ∴CDAC＝2， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC， ∴DE＝DC＝2， ∴DE的最小值为2， 故答案为：2． 教学提示：先求 CD 再定最小值，两步之间容易断链；要求学生写出「最小值在 DE⊥AB 时取得」这句话才给分。 即时巩固37．（2023秋•无为市月考）·【基础】如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，点M是OB上一个动点．若PD＝9，则点P到边OB的最小值是 　 　 ． 【分析】过点P作PE⊥OB，垂足为E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PE＝PD＝9，再由垂线段最短即可得到答案． 【解答】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PD＝9， ∵垂线段最短， ∴点P到边OB的最小值是9， 故答案为：9． 教学提示：围绕「忽略垂直时才取到最小值」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固38．（2020秋•麻章区期末）·【提升】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝8，点E是AB上一动点，DE的最小值为　 　 ． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由垂线段最短可知DE最短，根据角平分线的性质即可得出结论． 【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，由垂线段最短可知DE最短， ∵AD平分∠CAB交BC于D， ∴DE＝CD＝8， 即DE长的最小值为8． 故答案为：8． 教学提示：围绕「忽略垂直时才取到最小值」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错点10：到两边距离相等的点漏数 学习目标 · 能用逆定理判断点在角平分线上 · 会把外角平分线的情形一并考虑 · 能数清满足条件的点的个数 纠错指引 「到两边距离相等」只说明点在角的平分线所在直线上。三条直线两两相交时，内部 1 处、外部还有 3 处，共 4 处；只有题目明确限定「在三角形区域内」才只取内部那一处。数点前先把三个内角和三个外角的平分线都画出来。 精讲例题 例题10．（2023秋•阿荣旗校级期中）·【基础】如图，三条直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【分析】作直线AO，AB，BO所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P4、P2、P3，内角平分线相交于点P1，然后根据角平分线的性质进行判断． 【解答】解：如图所示，可供选择的地址有4个． 故选：D． 教学提示：让学生在图上把三个外角平分线补画完整，数完再对答案；本题与下一题连讲，专门对比有无「区域内」限制。 易错倾向标签：易漏解｜易看错 【本题核心易错点】 · 只数出三角形内部一处 · 漏掉外角平分线的交点 · 忽略题目是否限定在内部 即时巩固 即时巩固39．（2022秋•长沙期末）·【基础】如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、AC、BC的距离OF＝OE＝OD，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 【分析】先利用三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝110°，然后利用角平分线性质定理的逆定理可得BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，从而利用角平分线的定义可得∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠BAC＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝110°， 由题意得： OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB， ∵OF＝OE＝OD， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣55° ＝125°， 故选：D． 教学提示：围绕「只数出三角形内部一处」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固40．（2022秋•林州市期末）·【基础】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【分析】根据角平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处， 故选：A． 教学提示：与上一题对照提问「同样是到三条公路距离相等，为什么答案从 4 处变成 1 处」，把审题限定词的作用讲透。 即时巩固41．（2026春•沈河区期末）·【基础】如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C．现计划修建一座油库，要求油库到这三条公路的距离都相等．若，∠A＝60°，则满足条件的油库到每条公路的距离为　 　 km． 【分析】根据等边三角形的判定可得△ABC是等边三角形，再根据角平分线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图所示，点D为内角的平分线交点，点D'为外角平分线交点， ∵AB＝BC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝CA＝4， ∵油库到这三条公路的距离都相等， ∴油库的位置可以设计在△ABC三条角平分线（或外角平分线）的交点， ∴AE＝D′E＝6km， 当油库在△ABC里面时，DEAE＝2km， 当油库在△ABC外面时，D′E＝AE＝6km． 故答案为：2或6． 教学提示：先判断三角形形状再求距离，提示学生等边三角形条件是突破口；可追问若 ∠A 改为直角结论如何变化。 即时巩固42．（2025秋•齐齐哈尔期中）·【基础】如图，如果点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD＝PE，若∠AOB＝40°，∠OPE＝　 　 ． 【分析】根据角平分线性质定理的逆定理可得：OC平分∠AOB，从而可得∠BOC＝30°，然后根据垂直定义可得∠OEP＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【解答】解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴OC平分∠AOB， ∴∠BOC∠AOB＝30°， ∵PE⊥OB， ∴∠OEP＝90°， ∴∠OPE＝90°﹣∠BOC＝60°， 故答案为：60°． 教学提示：围绕「只数出三角形内部一处」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固43．（2023春•平遥县月考）·【基础】如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是 　 　 ． 【分析】根据角平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【解答】解：如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 故答案为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 教学提示：围绕「只数出三角形内部一处」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固44．（2022秋•巴彦县期中）·【基础】如图，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，点D是AC上一点，连接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，则∠DBF的度数是 　 　 ． 【分析】先利用三角形内角和定理可得∠ABC＝60°，再利用角平分线的性质定理的逆定理可得BD平分∠ABC，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠A＝73°，∠C＝47°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°， ∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF， ∴BD平分∠ABC， ∴∠DBF∠ABC＝30°， 故答案为：30°． 教学提示：围绕「只数出三角形内部一处」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 【附录‑备用题库】 28．（2025春•肥乡区期末）·【基础】如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 　 　 ． 50．（2021秋•淮阴区期末）·【基础】如图，在△ABC中，∠B＝32°，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，则∠A的度数为 　 　 ． 52．（2025秋•龙马潭区期中）·【基础】在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线， （1）若∠BAC＝120°，求∠EAG的度数． （2）若BC＝8，求△AEG的周长． 57．（2022秋•永兴县校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，求∠BAC的度数． 113．（2024春•榆阳区校级期末）·【基础】如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F． （1）OD与OE是否相等，请说明理由； （2）若△ABC的周长是30，且OF＝4，求△ABC的面积． 117．（2022秋•谷城县期中）·【基础】如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长． 118．（2021秋•右玉县校级期末）·【基础】阅读并理解下面内容，解答问题．三角形的内心：定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．求证：AM，BN，CP相交于一点．证明：如图2，设AM，BN相交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F． ∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点， ∴OE＝OF（依据1）， 同理，OD＝OF， ∴OD＝OE（依据2）． ∵CP是∠ACB的平分线， ∴点O在CP上，（依据3）． ∴AM，BN，CP相交于一点． 请解答以下问题： （1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？ （2）如果BC＝a，AC＝b，AB＝c，OD＝r，请用a，b，c，r表示△ABC的面积． 120．（2022秋•海淀区校级期中）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝2，若△ABD的面积为5，求AB的长． 56．（2017•红旗区校级开学）·【提升】如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P． 求证：点P在AC的垂直平分线上． 60．（2018秋•苏州期末）·【提升】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数． 过关测试（综合检测） 1．（2023秋•工业园区校级同步）·【提升】在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张方格纸中，找出格点C，使AC＝BC，则满足条件的格点C有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据线段垂直平分线的性质，C在AB的垂直平分线上，确定点C的个数． 【解答】解：满足AC＝BC，在AB的垂直平分线上，有4个． 故选：B． 教学提示：围绕「误认为 AB 也垂直平分 MN」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 2．（2024秋•歙县期末）·【提升】东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△ABH的面积＝△CBH的面积，即可解答． 【解答】解：如图： ∵AD平分∠BAC，点H在AD上， ∴点H到AB、AC的距离相等， ∵BE是AC边上的中线， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积， ∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积， ∴△ABH的面积＝△CBH的面积， ∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点， 故选：A． 教学提示：围绕「把到三顶点距离相等当成到三边」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 3．（2023秋•利川市期末）·【提升】如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BM，CM交于点M，下列结论： ①∠MBC＝∠MCB； ②∠BMC＝∠MCB+∠MBC+∠A； ③∠BMC＝90°∠A； ④点M到AB，AC的距离相等． 其中，正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】过点M作MD⊥BC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为D，E，F，先利用角平分线的定义可得∠ABM＝∠MBC∠ABC，∠ACM＝∠MCB∠ACB，从而利用三角形内角和定理以及等量代换可得∠BMC＝90°∠A，再利用三角形内角和定理可得∠A+∠ABM+∠ACM＝180°﹣（∠MBC+∠MCB），从而利用等量代换可得∠BMC＝∠A+∠ABM+∠ACM＝∠A+∠MBC+∠MCB，最后利用角平分线的性质可得MD＝ME＝MF，再根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠MBC≠∠MCB，即可解答． 【解答】解：过点M作MD⊥BC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为D，E，F， ∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB， ∴∠ABM＝∠MBC∠ABC，∠ACM＝∠MCB∠ACB， ∴∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB） ＝180°﹣（∠ABC∠ACB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝180°﹣90°∠A， ＝90°∠A， ∵∠A+∠ABM+∠ACM＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）， ∴∠BMC＝∠A+∠ABM+∠ACM＝∠A+∠MBC+∠MCB， ∵BM平分∠ABC，MD⊥BC，ME⊥AB， ∴MD＝ME， ∵CM平分∠ACB，MD⊥BC，MF⊥AC， ∴MD＝MF， ∴ME＝MF， ∴点M到AB，AC的距离相等， ∵∠ABC≠∠ACB， ∴∠MBC≠∠MCB， 故②③④正确，①不正确； 故选：C． 教学提示：围绕「只数出三角形内部一处」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 4．（2025秋•阳朔县校级月考）·【基础】如图，在△ABC中，直线DE是BC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E，若AB＝5，△ABD的周长是12，则AC的长是　 　 ． 【分析】根据线段垂直平分线得出BD＝CD，则△ABD的周长＝AB+AC＝12，因为AB＝5，则AC可求． 【解答】解：由题意，∵DE垂直平分BC， ∴BD＝CD． 又∵C△ABD＝12，AB＝5， ∴5+AD+BD＝12， ∴AD+BD＝7， ∴AD+CD＝7， ∴AC＝7 故答案为：7． 教学提示：围绕「把 DA 换成 DB 拼不出 BC」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 5．（2025秋•雨花台区校级月考）·【基础】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B＝64°，∠FAE＝10°，则∠C＝　 　 °． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，进而可得∠CAF＝10°+∠C，然后利用角平分线的定义可得∠BAC＝2∠CAF＝20°+2∠C，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∵∠FAE＝10°， ∴∠CAF＝∠FAE+∠EAC＝10°+∠C， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAF＝20°+2∠C， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝64°， ∴64°+20°+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝32°， 故答案为：32． 教学提示：围绕「把 ∠DAB 与 ∠DAC 写混」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 6．（2025春•渠县校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若BC＝15，则△ADE的周长为 　 　 ． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，然后利用等量代换可得△ADE的周长＝BC，即可解答． 【解答】解：∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∵BC＝15， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE ＝BD+DE+EC ＝BC ＝15， 故答案为：15． 教学提示：围绕「误以为周长还要加上 EF」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 7．（2023秋•银海区期中）·【基础】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，BC＝8cm，△ABD的周长为13cm，则AB的长是 　 　 cm． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，从而根据已知△ABD的周长为13cm，可得AB+BC＝13cm，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+AD＝13cm， ∴AB+BD+DC＝13cm， ∴AB+BC＝13cm， ∵BC＝8cm， ∴AB＝13﹣8＝5（cm）， 故答案为：5． 教学提示：围绕「把 AD＝3 直接当成 AB 的长」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 8．（2023•开福区模拟）·【基础】如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则△BDC的周长为 　 　 ． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，然后根据等量代换可得△BDC的周长＝AC+BC，进行计算即可解答． 【解答】解：∵DM是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵AC＝10，BC＝8， ∴△BDC的周长＝BD+DC+BC ＝AD+DC+BC ＝AC+BC ＝10+8 ＝18， 故答案为：18． 教学提示：围绕「把 DA 换成 DB 拼不出 BC」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 9．（2024秋•海州区校级期末）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　 ． 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积AB×DE10×3＝15， 故答案为：15． 教学提示：围绕「忽略垂直时才取到最小值」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 10．（2020秋•黄陂区期末）·【提升】如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．若AD＝3，BD＝2，△ADE的面积记为S1，△BDF的面积记为S2，则S1+S2＝　 　 ． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD＝45°，再利用角平分线的性质可得DE＝DF，再利用垂直定义可得∠DEC＝∠DFC＝90°，从而可得DE＝EC，DF＝CF，然后设DE＝DF＝CE＝CF＝x，AE＝y，BF＝z，则AC＝x+y，BC＝x+z，分别在Rt△AED，Rt△DFB和Rt△ACB中，利用勾股定理进行计算可得xy+xz＝6，最后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝45°， ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠ACD＝45°，∠CDF＝90°﹣∠BCD＝45°， ∴DE＝EC，DF＝CF， ∴DE＝DF＝CE＝CF， 设DE＝DF＝CE＝CF＝x，AE＝y，BF＝z， ∴AC＝AE+CE＝x+y，BC＝CF+BF＝x+z， ∵AD＝3，BD＝2， ∴AB＝AD+BD＝3+2＝5， 在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2， ∴x2+y2＝9， 在Rt△DFB中，DF2+BF2＝BD2， ∴x2+z2＝4， 在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2， ∴（x+y）2+（x+z）2＝25， ∴x2+2xy+y2+x2+2xz+z2＝25， ∴2xy+2xz＝12， ∴xy+xz＝6， ∴S1+S2AE•DEDF•BF xyxz ＝3， 故答案为：3． 教学提示：围绕「面积比写成边长的反比」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 11．（2025秋•武夷山市校级期中）·【基础】在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm． （1）求BC的长； （2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，然后根据已知可得AD+DE+AE＝6cm，再利用等量代换即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质可得OA＝OB，OA＝OC，再根据已知和（1）的结论可得OB＝OC＝5cm，即可解答． 【解答】解：（1）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∵△ADE的周长为6cm， ∴AD+DE+AE＝6cm， ∴BD+DE+CE＝6cm， ∴BC＝6cm， ∴BC的长为6cm； （2）如图： ∵OD是AB的垂直平分线，OE是AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∵△OBC的周长为16cm， ∴OB+OC+BC＝16cm， ∵BC＝6cm， ∴OB＝OC＝5cm， ∴OA的长为5cm． 教学提示：围绕「误以为周长还要加上 EF」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 12．（2023春•惠安县期末）·【基础】如图，已知△ABC的边AC＝5a，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连结AE． （1）找出图中相等的线段：　 　 ；（写出一组即可） （2）若△ACE的周长为12a，求边BC． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，EA＝EB，即可解答； （2）利用（1）的结论以及等量代换可得△ACE的周长＝AC+BC＝12a，然后进行计算可求出BC的长． 【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝DB，EA＝EB， 故答案为：AE＝BE（答案不唯一）； （2）∵△ACE的周长为12a， ∴AC+CE+AE＝12a， ∵AE＝BE， ∴AC+CE+BE＝12a， ∴AC+BC＝12a， ∵AC＝5a， ∴BC＝12a﹣AC＝7a， ∴边BC为7a． 教学提示：围绕「把 AD＝3 直接当成 AB 的长」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 13．（2025春•渭滨区期末）·【基础】两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C． 【解答】解：如图： 点C即为所求作的点． 教学提示：围绕「把到三顶点距离相等当成到三边」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 14．（2022秋•大安市期末）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10， （1）求DE的长度． （2）求△ABE的面积． 【分析】（1）利用角平分线的性质定理可得DE＝EC＝4.5，即可解答； （2）利用三角形的面积公式，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC， ∴DE＝EC＝4.5， ∴DE的长度为4.5； （2）∵DE⊥AB，AB＝10， ∴△ABE的面积AB•DE 10×4.5 ＝22.5， ∴△ABE的面积为22.5． 教学提示：围绕「不作垂线就拿斜线段当距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 苏科版2024 · 线段垂直平分线与角平分线 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $