3.1 代数式的概念与书写方法、已知字母的值求代数式的值、已知式子的值求代数式的值讲义-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

代数式的概念与书写方法、已知字母的值求代数式的值、已知式子的值求代数式的值讲义 代数式的概念与书写方法、已知字母的值求代数式的值、已知式子的值求代数式的值讲义 考点目录 代数式的概念与书写方法 已知字母的值求代数式的值 已知式子的值求代数式的值 考点一 代数式的概念与书写方法 【知识点解析】 一、代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。 · 补充说明： ① 单独的一个数、单独的一个字母也属于代数式； ② 代数式中只含运算关系，不含等号、不等号，因此等式、不等式都不是代数式。 二、标准书写规范 代数式的书写有统一的格式要求，是代数表达的基础规范： 1. 乘号省略规则：数字与字母相乘、字母与字母相乘时，乘号通常省略不写，或用“·”表示； · 例： 写作 或 ； 写作 。 1. 数字前置规则：数字与字母相乘时，数字要写在字母前面； · 例： 写作 ，不能写成 。 1. 除法分数化：代数式中的除法运算，一般写成分数形式，不用“÷”； · 例： 写作 。 1. 带分数假分化：带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数； · 例： 写作 ，不能写成 。 1. 单位书写规范：代数式后面带单位时，若代数式是和、差的形式，必须给代数式加括号再写单位； · 例： 米，不能写成 米。 1. 幂的书写：多个相同字母相乘，写成幂的形式； · 例： 写作 。 三、代数式的分类 · 整式：分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式； · 分式：分母中含有字母的代数式。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 例2．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）青岛冬季某一天的温差是，若这天的最高气温是，则最低气温是______．（用含的式子表示） 例4．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法错误的是（   ） A．，3，a，，这些都是代数式 B．的意义是a的3倍与2的和 C．的意义是a与2的和的3倍 D．橙子原价c元/千克，现在按八五折优惠出售，用代数式表示橙子的售价为元/千克 变式2．（25-26七年级上·广东汕头·期中）下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是_______. 变式3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列式子中，；； ；符合代数式书写的是______． 变式4．（25-26七年级上·福建厦门·期中）用代数式表示： (1)的平方与的倍的差； (2)的倍的三分之一与的一半的差； (3)比除以的商的倍小的数． 考点二 已知字母的值求代数式的值 【知识点解析】 一、核心本质 将代数式中所有字母替换为对应的数值，按照运算顺序计算出结果，是代数运算的基础技能。 二、解题步骤 1. 先化简：先将代数式化简（去括号、合并同类项等），简化运算； 1. 代入值：将字母的取值代入代数式，负数、分数代入时必须加括号； 1. 算结果：遵循运算顺序（先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号内），计算出最终结果。 三、代入注意事项 · 负数代入：负数代入乘方、乘法时，必须给负数加括号，避免符号错误； 例：，求 ，应代入为 ，不能写成 。 · 分数代入：分数代入乘方时，也要给分数加括号； · 多个字母代入：对应字母一一对应，不要混淆字母的取值； · 实际问题：单位必须统一后再代入计算。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）若，且，则的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或5 例2．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）若，则的值为（     ） A．1 B． C．或1 D．以上都不对 例3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，则式子的值为________． 例4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算：已知，， (1)当异号时，求的值； (2)求的最大值． 【变式训练】 变式1．（26-27七年级上·黑龙江·期中）若，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 变式3．（26-27七年级上·江西·阶段检测）已知都是有理数，若，则______________． 变式4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 考点三 已知式子的值求代数式的值 【知识点解析】 一、核心思想 整体代入法：不求解单个字母的取值，通过观察已知式子与目标式子的结构关系，将已知式子作为一个整体，代入目标式子求值，大幅简化计算。 二、四大经典题型与解法 1. 倍数型（最基础） · 特征：目标式子是已知式子的整数倍，对应项系数成比例。 · 方法：提取目标式子的公因子，构造出与已知式相同的整体，代入计算。 · 例：已知 ，求 的值。 解：。 2. 相反数/对称型 · 特征：已知式与目标式中的对应项互为相反数，或差一个符号。 · 方法：通过添负号构造已知整体，代入计算。 · 例：已知 ，求 的值。 解：，代入得 。 3. 倒数型（和积互化） · 特征：已知 的值，求 、 等式子的值。 · 方法：利用完全平方公式、立方和公式变形，构造已知整体。 · 核心变形：。 4. 拆分重组型 · 特征：目标式子可拆分为几个已知式子的和、差、倍组合。 · 方法：将目标式拆分、凑项，匹配多个已知整体，分别代入计算。 三、解题步骤 1. 观结构：对比已知式子和目标式子的对应项，分析倍数、符号、结构关系； 1. 构整体：对目标式子（或已知式子）变形，构造出与已知式完全相同的整体； 1. 代入算：将已知式子的值整体代入，计算最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知代数式的值为3，则的值为（） A．10 B．11 C．12 D．13 例2．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）若，则代数式的值为（　　） A． B． C．4 D．12 例3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则________． 例4．（25-26七年级上·河北衡水·期中）当时，代数式的值为，求代数式的值． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）已知，则的值为（   ）． A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·云南普洱·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知，则____________． 变式4．（25-26七年级上·北京·期中）已知代数式的值为5，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $代数式的概念与书写方法、已知字母的值求代数式的值、已知式子的值求代数式的值讲义 代数式的概念与书写方法、已知字母的值求代数式的值、已知式子的值求代数式的值讲义 考点目录 代数式的概念与书写方法 已知字母的值求代数式的值 已知式子的值求代数式的值 考点一 代数式的概念与书写方法 【知识点解析】 一、代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。 · 补充说明： ① 单独的一个数、单独的一个字母也属于代数式； ② 代数式中只含运算关系，不含等号、不等号，因此等式、不等式都不是代数式。 二、标准书写规范 代数式的书写有统一的格式要求，是代数表达的基础规范： 1. 乘号省略规则：数字与字母相乘、字母与字母相乘时，乘号通常省略不写，或用“·”表示； · 例： 写作 或 ； 写作 。 1. 数字前置规则：数字与字母相乘时，数字要写在字母前面； · 例： 写作 ，不能写成 。 1. 除法分数化：代数式中的除法运算，一般写成分数形式，不用“÷”； · 例： 写作 。 1. 带分数假分化：带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数； · 例： 写作 ，不能写成 。 1. 单位书写规范：代数式后面带单位时，若代数式是和、差的形式，必须给代数式加括号再写单位； · 例： 米，不能写成 米。 1. 幂的书写：多个相同字母相乘，写成幂的形式； · 例： 写作 。 三、代数式的分类 · 整式：分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式； · 分式：分母中含有字母的代数式。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的判断，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．依据代数式的定义：由运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式，据此判断即可． 【详解】解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式 ∴①（单独的数）是代数式， ②（数与字母的乘积）是代数式， ④（数与字母的除法）是代数式， ⑦（字母的乘方）是代数式， ③（含等号，是方程）不是代数式， ⑤（含等号，是公式）不是代数式， ⑥（含不等号，是不等式）不是代数式， 综上，代数式有①②④⑦，共个． 故选：C． 例2．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性． 【详解】∵ 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式， ∴ 说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误； ∵ 带分数在代数式中应化为假分数，应写为， ∴ 表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误； ∵ 代数式的运算顺序是先求差再求商， ∴ 其含义是a与4的差除以b的商，故③正确； ∵ “两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指， ∴ 它们的和应为，而， 两者不等，故④错误． 故选：A． 例3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）青岛冬季某一天的温差是，若这天的最高气温是，则最低气温是______．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可，解题的关键是正确理解题意，注意代数式书写规范在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号． 【详解】解：∵青岛冬季某一天的温差是，这天的最高气温是， ∴最低气温是， 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【答案】(1)小时 (2)小时，小时 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的等量关系来列代数式进行解答． （1）根据路程、速度和时间三个量之间具有关系：时间路程速度，用代数式表示出汽车从甲地到乙地需要行驶的时间； （2）早到的时间原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间，用代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（小时）， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时． （2）解：（小时）， 小时， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时，汽车加快速度后可以早到小时． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法错误的是（   ） A．，3，a，，这些都是代数式 B．的意义是a的3倍与2的和 C．的意义是a与2的和的3倍 D．橙子原价c元/千克，现在按八五折优惠出售，用代数式表示橙子的售价为元/千克 【答案】D 【分析】本题考查代数式的定义、意义以及折扣问题． 解题的关键在于准确理解代数式的概念，能正确解读代数式所表达的实际意义，同时掌握折扣的计算方法． 【详解】选项A：、3、a、均为代数式，正确； 选项B：表示a的3倍与2的和，正确； 选项C：表示a与2的和的3倍，正确， 选项D：∵ 八五折表示原价的，即倍， ∴ 橙子的售价应为元/千克，而非元/千克， ∴ 选项D错误． 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·广东汕头·期中）下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是_______. 【答案】②， 【分析】代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解， 本题考查了代数式，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键. 【详解】解：①：中的乘号应省略不写，且写在前面， 故①错误，不符合题意； ②：符合书写规范，故②正确，符合题意； ③：应按照分数的写法来写， 故③错误，不符合题意； ④：中带分数要写成假分数的形式， 故④错误，不符合题意； 故答案为：②．. 变式3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列式子中，；； ；符合代数式书写的是______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，根据代数式书写要求即可求解，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；（）带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：符合代数式书写，符合题意； 原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； 原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； 原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； 故答案为：． 变式4．（25-26七年级上·福建厦门·期中）用代数式表示： (1)的平方与的倍的差； (2)的倍的三分之一与的一半的差； (3)比除以的商的倍小的数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可； （）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可； （）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可； 本题考查了列代数式，代数式书写规范，理解题意，准确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由的平方与的倍的差得：； （2）解：由的倍的三分之一与的一半的差得：； （3）解：由比除以的商的倍小的数得：． 考点二 已知字母的值求代数式的值 【知识点解析】 一、核心本质 将代数式中所有字母替换为对应的数值，按照运算顺序计算出结果，是代数运算的基础技能。 二、解题步骤 1. 先化简：先将代数式化简（去括号、合并同类项等），简化运算； 1. 代入值：将字母的取值代入代数式，负数、分数代入时必须加括号； 1. 算结果：遵循运算顺序（先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号内），计算出最终结果。 三、代入注意事项 · 负数代入：负数代入乘方、乘法时，必须给负数加括号，避免符号错误； 例：，求 ，应代入为 ，不能写成 。 · 分数代入：分数代入乘方时，也要给分数加括号； · 多个字母代入：对应字母一一对应，不要混淆字母的取值； · 实际问题：单位必须统一后再代入计算。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）若，且，则的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或5 【答案】D 【分析】，且，得到，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或． 例2．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）若，则的值为（     ） A．1 B． C．或1 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据绝对值、平方的非负性可知，求出x，y代入即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， . 例3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，则式子的值为________． 【答案】 【分析】先分别根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ，，， 当时， ； 当时， ， 综上所述，式子的值为． 例4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算：已知，， (1)当异号时，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2)的最大值是5． 【分析】（1）根据x，y异号，进而得出，或，，代入求解即可； （2）由题意，，分情况计算，取最大值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵x，y异号，即， ∴，或，， ∴； （2）解：由题意知：，， 当，时； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 故的最大值是5． 【变式训练】 变式1．（26-27七年级上·黑龙江·期中）若，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直接代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 变式2．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】观察到时，代入计算更简便． 【详解】解：当时，． 变式3．（26-27七年级上·江西·阶段检测）已知都是有理数，若，则______________． 【答案】 【分析】先利用平方、绝对值都是非负数的性质“几个非负数之和为0，则每一个非负数都等于0”求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 变式4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 【答案】0或 【分析】根据，，，求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 当时，， 当时，． 则代数式的值为0或． 考点三 已知式子的值求代数式的值 【知识点解析】 一、核心思想 整体代入法：不求解单个字母的取值，通过观察已知式子与目标式子的结构关系，将已知式子作为一个整体，代入目标式子求值，大幅简化计算。 二、四大经典题型与解法 1. 倍数型（最基础） · 特征：目标式子是已知式子的整数倍，对应项系数成比例。 · 方法：提取目标式子的公因子，构造出与已知式相同的整体，代入计算。 · 例：已知 ，求 的值。 解：。 2. 相反数/对称型 · 特征：已知式与目标式中的对应项互为相反数，或差一个符号。 · 方法：通过添负号构造已知整体，代入计算。 · 例：已知 ，求 的值。 解：，代入得 。 3. 倒数型（和积互化） · 特征：已知 的值，求 、 等式子的值。 · 方法：利用完全平方公式、立方和公式变形，构造已知整体。 · 核心变形：。 4. 拆分重组型 · 特征：目标式子可拆分为几个已知式子的和、差、倍组合。 · 方法：将目标式拆分、凑项，匹配多个已知整体，分别代入计算。 三、解题步骤 1. 观结构：对比已知式子和目标式子的对应项，分析倍数、符号、结构关系； 1. 构整体：对目标式子（或已知式子）变形，构造出与已知式完全相同的整体； 1. 代入算：将已知式子的值整体代入，计算最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知代数式的值为3，则的值为（） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题使用整体代入法求解，先根据已知条件得到的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵由题意得， ∴， ∵， ∴把代入得， 原式=． 例2．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）若，则代数式的值为（　　） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题利用整体代入法求代数式的值，先通过已知等式求出的整体值，再变形所求代数式后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 例3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则________． 【答案】4 【分析】先将代数式进行提公因数，然后将代入即可求出答案． 【详解】解： ， 例4．（25-26七年级上·河北衡水·期中）当时，代数式的值为，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据题意得到，再整体代入所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：当时，代数式的值为， ∴， 即， ． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）已知，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对所求代数式变形，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 变式2．（25-26七年级上·云南普洱·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先从已知等式中求出的值，再将所求代数式转化为含有的形式，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 变式3．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知，则____________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴． 变式4．（25-26七年级上·北京·期中）已知代数式的值为5，求的值． 【答案】 【分析】先求出的值，再整体代入代数式中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $