3.4 相似三角形的性质、相似三角形的实际应用讲义2026-2027学年上学期北师大版九年级数学上册

相似三角形的性质、相似三角形的实际应用讲义 相似三角形的性质、相似三角形的实际应用讲义 考点目录 相似三角形的性质 相似三角形的实际应用 考点一 相似三角形的性质 【知识点解析】 设 与 相似，相似比为 （即 ），则有以下核心性质： 1. 基础角边性质 · 对应角相等：，，； · 对应边成比例：所有对应边的比值都等于相似比 。 相似比具有顺序性： 与 的相似比为 ，则 与 的相似比为 。 2. 对应线段的比等于相似比 两个相似三角形中，所有对应位置的线段的比值，都等于相似比 ，包括： · 对应边上的高； · 对应边上的中线； · 对应角的角平分线； · 对应中位线； · 对应周长上的等分线段。 3. 周长比等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比： 原理：各边均放大 倍，周长总和也放大 倍。 4. 面积比等于相似比的平方 相似三角形的面积比等于相似比的平方： 原理：三角形面积 ，底和高分别放大 倍，总面积放大 倍。 【例题分析】 例1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：，错误； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 故选：． 例2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（   ） A．2米 B．4米 C．5米 D．3米 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，是解题的关键．根据为等边三角形，得出，设米，则米，根据，得出，求出，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴设米，则米， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵米， ∴， 解得：， ∴米， 故选：B． 例3．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 【答案】 【分析】由与等高，根据面积比得出底边与的比，进而得出与的比，利用证得，求出与的比，再证，利用相似三角形周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：，且与等高， ， ， ∵， ， ， ∵， ，， ， ． 例4．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 例5．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，即可证得结论； （2）由，可得，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，当和相似时，的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、外角的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由勾股定理可得，，再结合外角性质，得，因为和相似，故、，易得；再运用等面积法列式求出，最后运用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵在中，，点为斜边上一点， ∴，， ∵， ∴， ∵和相似， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴． 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，，，，，在同一直线上，连接．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，设，由相似三角形的性质可得，，进而可得，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合）， ∴， 故选：． 变式3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，若，，则________． 【答案】/64度 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，，根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ． 变式4．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）已知，其中与是一组对应边，，．若，则边上的高是___． 【答案】 【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出的面积，再根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵， 与是一组对应边，，， ∴, ∵ ∴ ∴边上的高是：． 变式5．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知：． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) ， (2) 的长为 【分析】（1）先根据三角形内角和等于求出，再结合相似三角形对应角相等即可求解； （2）先根据得出，再结合即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，． （2）解：， ， ，， ， ， ， 解得， 的长为． 考点二 相似三角形的实际应用 【知识点解析】 核心思想 将实际生活中的测距、测高问题，转化为相似三角形模型，利用「对应边成比例」的性质，通过可测量的长度，间接求出无法直接测量的高度、宽度、距离。 六大经典应用模型 1. 影子测高（平行光线模型） · 场景：测量旗杆、大树、建筑物的高度，无法直接攀爬测量。 · 原理：同一时刻、同一地点，太阳光线可视为平行光线；物体都垂直于地面，因此物体、影子、光线构成的两个直角三角形相似（AA判定：直角相等 + 太阳光线同位角相等）。 · 结论：同一时刻，物高与影长成正比： · 注意：必须满足「同一时刻、同一地点」的前提，否则太阳高度角不同，比例不成立。 2. 标杆测高（视线共点模型） · 场景：有障碍物遮挡，或无阳光影子时，利用标杆测量物体高度。 · 原理：观测者的视线经过标杆顶端，到达被测物体顶端；观测者眼睛、标杆、被测物体均垂直于水平地面，构造两个直角三角形相似（AA判定：直角相等 + 公共视角）。 · 操作：测量观测者到标杆的距离、观测者到被测物体的距离、标杆的高度、观测者的眼高，通过比例计算物体总高度。 · 易错点：不要遗漏观测者的眼睛高度，最终结果需加上眼高。 3. 镜面反射测高 · 场景：利用地面的镜面、水面反射测量物体高度。 · 原理：光的反射定律——入射角等于反射角；镜面水平，物体垂直镜面，因此两个直角三角形相似（AA判定：直角相等 + 入射角=反射角）。 · 结论：物高与物体到镜面的水平距离成正比： 4. 河宽测量 · 场景：测量河流、沟壑的宽度，无法直接跨距测量。 · 原理：在河岸一侧构造共顶点的两个相似三角形，利用平行线（或对顶角相等）构造相似，测量岸侧可及的边长，通过比例求河宽。 · 常见构造：过河岸两点作垂线，连接视线形成X型相似，或利用公共角构造A型相似。 5. 盲区问题 · 场景：计算障碍物后方的视觉盲区范围、楼间距与采光高度等。 · 原理：视线沿障碍物顶端直线传播，障碍物前后的两个直角三角形相似；盲区的大小与障碍物高度、观测距离成正比。 6. 图形放缩问题 · 场景：图纸缩放、照片放大、模型制作。 · 原理：放大/缩小前后的图形相似，相似比等于缩放比例；对应长度按比例缩放，面积按比例的平方缩放。 通用解题步骤 1. 建模：根据实际场景画出几何示意图，抽象出相似三角形； 1. 标量：标注所有已知长度，统一单位，确定对应边的对应关系； 1. 列比例：根据相似性质，列出对应边的比例式； 1. 求解：代入已知量，计算未知长度； 1. 验真：检验结果是否符合实际常识（如楼高不可能只有几米）。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 例2．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）证明，，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解即可； （2）根据可推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，将标杆向右平移到点处， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴标杆与“真身宝塔”的距离的值为米； （2）解：由（1）知：，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴“真身宝塔”的高度是米． 例3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 【答案】大树的高度为米 【分析】设米，则米．通过和的性质求得x的值，然后可求得大树的高． 【详解】解：由题意得，，，，则 ． 设米，则米． 由题意，得，， ， ． 同理，， ． ， ，即． 解得， 经检验是原方程的解， 即， ， ． 解得． 经检验是原方程的解． 答：大树的高度为米 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度． 【答案】 【分析】延长交于点 H，则四边形是矩形，可得，，，再根据勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质列方程可得，最后根据即可解答． 【详解】解： 如图：延长交于点 H，则四边形是矩形， ∴ ，，， 在中， 又∵， ∴， ∴， ，即 ， ， ． 变式2．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 变式3．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）证明，得到，代入相关数值即可求解； （2）证明，得到，求出，代入相关数值即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 又∵， ， ， 由题意知，，，， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是； （2）解：由题意知，， ∵，， ， ∵， ， ， 由题意知，，， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形的性质、相似三角形的实际应用讲义 相似三角形的性质、相似三角形的实际应用讲义 考点目录 相似三角形的性质 相似三角形的实际应用 考点一 相似三角形的性质 【知识点解析】 设 与 相似，相似比为 （即 ），则有以下核心性质： 1. 基础角边性质 · 对应角相等：，，； · 对应边成比例：所有对应边的比值都等于相似比 。 相似比具有顺序性： 与 的相似比为 ，则 与 的相似比为 。 2. 对应线段的比等于相似比 两个相似三角形中，所有对应位置的线段的比值，都等于相似比 ，包括： · 对应边上的高； · 对应边上的中线； · 对应角的角平分线； · 对应中位线； · 对应周长上的等分线段。 3. 周长比等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比： 原理：各边均放大 倍，周长总和也放大 倍。 4. 面积比等于相似比的平方 相似三角形的面积比等于相似比的平方： 原理：三角形面积 ，底和高分别放大 倍，总面积放大 倍。 【例题分析】 例1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（   ） A．2米 B．4米 C．5米 D．3米 例3．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 例4．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，，则_______． 例5．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，当和相似时，的长为（    ）． A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，，，，，在同一直线上，连接．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，若，，则________． 变式4．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）已知，其中与是一组对应边，，．若，则边上的高是___． 变式5．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知：． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 考点二 相似三角形的实际应用 【知识点解析】 核心思想 将实际生活中的测距、测高问题，转化为相似三角形模型，利用「对应边成比例」的性质，通过可测量的长度，间接求出无法直接测量的高度、宽度、距离。 六大经典应用模型 1. 影子测高（平行光线模型） · 场景：测量旗杆、大树、建筑物的高度，无法直接攀爬测量。 · 原理：同一时刻、同一地点，太阳光线可视为平行光线；物体都垂直于地面，因此物体、影子、光线构成的两个直角三角形相似（AA判定：直角相等 + 太阳光线同位角相等）。 · 结论：同一时刻，物高与影长成正比： · 注意：必须满足「同一时刻、同一地点」的前提，否则太阳高度角不同，比例不成立。 2. 标杆测高（视线共点模型） · 场景：有障碍物遮挡，或无阳光影子时，利用标杆测量物体高度。 · 原理：观测者的视线经过标杆顶端，到达被测物体顶端；观测者眼睛、标杆、被测物体均垂直于水平地面，构造两个直角三角形相似（AA判定：直角相等 + 公共视角）。 · 操作：测量观测者到标杆的距离、观测者到被测物体的距离、标杆的高度、观测者的眼高，通过比例计算物体总高度。 · 易错点：不要遗漏观测者的眼睛高度，最终结果需加上眼高。 3. 镜面反射测高 · 场景：利用地面的镜面、水面反射测量物体高度。 · 原理：光的反射定律——入射角等于反射角；镜面水平，物体垂直镜面，因此两个直角三角形相似（AA判定：直角相等 + 入射角=反射角）。 · 结论：物高与物体到镜面的水平距离成正比： 4. 河宽测量 · 场景：测量河流、沟壑的宽度，无法直接跨距测量。 · 原理：在河岸一侧构造共顶点的两个相似三角形，利用平行线（或对顶角相等）构造相似，测量岸侧可及的边长，通过比例求河宽。 · 常见构造：过河岸两点作垂线，连接视线形成X型相似，或利用公共角构造A型相似。 5. 盲区问题 · 场景：计算障碍物后方的视觉盲区范围、楼间距与采光高度等。 · 原理：视线沿障碍物顶端直线传播，障碍物前后的两个直角三角形相似；盲区的大小与障碍物高度、观测距离成正比。 6. 图形放缩问题 · 场景：图纸缩放、照片放大、模型制作。 · 原理：放大/缩小前后的图形相似，相似比等于缩放比例；对应长度按比例缩放，面积按比例的平方缩放。 通用解题步骤 1. 建模：根据实际场景画出几何示意图，抽象出相似三角形； 1. 标量：标注所有已知长度，统一单位，确定对应边的对应关系； 1. 列比例：根据相似性质，列出对应边的比例式； 1. 求解：代入已知量，计算未知长度； 1. 验真：检验结果是否符合实际常识（如楼高不可能只有几米）。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 例2．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 例3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度． 变式2．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 变式3．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $