3.4 相似三角形的性质 初中数学九年级上册同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的判定与性质核心知识点，承接相似多边形定义，梳理对应角相等、对应边成比例的性质，整合公共角、平行线构造等判定方法，通过典例及变式题搭建从基础到综合应用的学习支架。 该资料以题型为导向，结合平行四边形、正方形等图形实例培养几何直观与推理能力，过关验收题涵盖折叠、网格等情境体现模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

3.4 相似三角形的性质 内 容 导 航 题型1 相似三角形的判定与性质 考 点 演 练 题型1 相似三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【典例1】在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，连接OE交BC于F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，则CF的长等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过O作OM∥BC交CD于M， ∵在▱ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6， ∴， ∴OM是△BCD的中位线， ∴， ∵CE＝2， ∴EM＝CM+CE＝2+2＝4， ∵OM∥CF， ∴△CFE∽△MOE， ∴，即， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则△ABF的面积为（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝2EC， ∴BA∥DC，BA＝DC＝2EC+EC＝3EC， ∴， ∵BA∥DE， ∴△ABF∽△DEF， ∴， ∵S△DEF＝4， ∴S△ABFS△DEF4＝9， 故选：B． 【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠AGE+∠AEG＝90°， ∵∠GEF＝90°， ∴∠AEG+∠BEF＝90°， ∴∠AGE＝∠BEF， ∴△AGE∽△BEF， ∴， ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE， ∵AG＝1，BF＝2， ∴， 解得：BE＝AE， 在Rt△AEG中，GE2＝AG2+AE2＝3， 在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝6， ∴在Rt△GEF中，GF3． 故选：B． 【变式3】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 【答案】C 【解答】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB， ∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确； 当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确； 当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故C不正确； 当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故D正确； 故选：C． 过 关 验 收 1．如图，直线l1∥l2，直线AB、CD相交于点E，若AE＝4，BE＝8，DE＝6，则线段CE的长为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE， ∴△ACE∽△BCE， ∴， ∵AE＝4，BE＝8，DE＝6， ∴， 解得：CE＝3， 故选：A． 2．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，CD∥BA，CD＝AB， ∴△CBE∽△FDE， ∴； ∵CD∥BG， ∴△EDC∽△EBG， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵， ∴， ∴CF＝4EF， ∵CD∥BG， ∴△AGF∽△DCF， ∴， ∴， ∴B正确； ∵， ∴， ∴C正确； ∵， ∴； ∵AD∥BC， ∴△GAF∽△GBC， ∴， ∴； 故D错误． 故选：D． 3．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．若BD＝6，CE＝3，则△ABC的边长为（　　） A．8 B．9 C．12 D．14 【答案】C 【解答】解：设△ABC的边长为x，则AB＝BC＝AC＝x， ∵BD＝6，CE＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝x﹣6， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAD+∠ADB＝120°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠CDE＝120°， ∴∠BAD＝∠CDE， 又∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE， ∴， ∴， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解， 即△ABC的边长为12， 故选：C． 4．如图，两条直线m，n被三条平行线（L1，L2，L3）所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，过点A作AF的垂线，交L3于点G连接DG交L2于点H，若DG＝10，∠DGF＝30°则EH的长度为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解答】解：过点D作DT⊥GF于点T， ∵L1∥L2∥L3，AB：BC＝2：3，DE＝4 ∴， ∴， ∴EF＝6， ∴DF＝DE+EF＝10＝DG， ∴∠DGF＝∠DFG＝30°， ∴， ∴， ∵DG＝DF，DT⊥GF， ∴， ∵L2∥L3， ∴△DHE∽△DGF， ∴， ∴， ∴若DG＝10，∠DGF＝30°，则， 故选：A． 5．如图，在▱ABCD中，E是边AB上一点，连结AC，DE相交于点F．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵， ∴， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴，△AEF∽△CDF， ∴． 故选：C． 6．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（　　） A．30cm B． C．20cm D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得CD∥AB， ∴△COD∽△BOA， ∴， ∵AB＝50cm， ∴， 故选：B． 7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　） A．y B．y C．y D．y 【答案】A 【解答】解：作FG⊥BC于G， ∵∠DEB+∠FEC＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°； ∴∠BDE＝∠FEG， 在△DBE与△EGF中， ， ∴△DBE≌△EGF（AAS）， ∴EG＝DB，FG＝BE＝x， ∴EG＝DB＝2BE＝2x， ∴GC＝y﹣3x， ∵FG⊥BC，AB⊥BC， ∴FG∥AB， CG：BC＝FG：AB， 即， ∴y． 故选：A． 8．如图，在△ABC中，P是边AB的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交AB、BC于点D、E；②以点P为圆心，BD的长为半径画弧，交线段AP于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线PG，交线段AC于点Q．则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：∵△ABC中，P是边AB的中点， ∴AB＝2AP． 由作图过程可得，∠APQ＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△APQ∽△ABC， ∴， 故选：D． 9．如图，在△ABC中，BC＝15，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若AD：DB＝2：3，则线段BF的长为（　　） A．10 B．9 C．6 D．5 【答案】C 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC＝AD：AB， ∵AD：DB＝2：3， ∴AD：AB＝2：5， ∴DE：15＝2：5， ∴DE＝6， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形， ∴BF＝DE＝6． 故选：C． 10．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．AB2＝AP•AC 【答案】C 【解答】解：A、当∠ABP＝∠C且∠A＝∠A， ∴△ABP∽△ACB， 添加条件正确， 故该选项不符合题意； B、当∠APB＝∠ABC且∠A＝∠A， ∴△ABP∽△ACB， 添加条件正确， 故该选项不符合题意； C、当时，无法得到△ABP∽△ACB， 添加条件错误， 故该选项符合题意； D、当AB2＝AP•AC，即，且∠A＝∠A， ∴△ABP∽△ACB， 添加条件正确， 故该选项不符合题意． 故选：C． 11．如图，在▱ABCD中，AE：ED＝1：2，S△AEF＝2，则S△ABC＝（　　） A．6 B．18 C．20 D．24 【答案】D 【解答】解：∵▱ABCD， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴，， ∵AE：ED＝1：2， ∴AE：AD＝1：3， ∴AE：BC＝1：3， ∴，S△AEF：S△CBF＝1：9， ∴，S△CBF＝9S△AEF＝18， ∴S△CBF：S△ABC＝3：4， ∴S△ABC＝24； 故选：D． 12．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AEAD，BE的延长线交AC于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点D作DM∥AC交BF于点M，如图所示． ∵AD是△ABC的中线， ∴BDBC． ∵DM∥AC， ∴△AEF∽△DEM，△BDM∽△BCF， ∴，， ∴•． 故选：D． 13．如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是（　　） A．∠ADC＝∠BAC B． C．CA平分∠BCD D．AC2＝BC•CD 【答案】B 【解答】解：∵△ADC∽△BAC， ∴∠ADC＝∠BAC，所以A选项不符合题意； ，所以B选项符合题意； ∵△ADC∽△BAC， ∴∠ACD＝∠BCA， ∴CA平分∠BCD，所以C选项不符合题意； ∵△ADC∽△BAC， ∴AC：BC＝CD：AC， ∴AC2＝BC•CD，所以D选项不符合题意． 故选：B． 14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则AE的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：∵E是AD的中点， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AD∥FG， ∴AD∥FG∥BC， ∴△AFG∽△ACB，△BFG∽△BEA， ∴，， ∴， 解得：BC＝6， ∴， 故选：B． 15．如图，点O是△ABC的中线AD上一点，AO＝2DO，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E，F，现随机向△ABC内部抛一粒米，则米落在图中阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴， ∵EF∥BC，AO＝2DO， ∴△AOF∽△ADC，且相似比为2：3， ∴S△AOF：S△ADC＝4：9， 即， 则米落在图中阴影部分的概率为． 故选：D． 16．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格点上，则∠A+∠E的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 【答案】A 【解答】解：∵，，AB＝5， ，DF＝2，， ∴， ∴△ABC∽△FED， ∴∠A+∠E＝∠E+∠F＝180°﹣135°＝45°， 故选：A． 17．如图，点E在矩形ABCD边CD上，且AB＝BE，AC与BE相交于点F．已知CE＝3，AD＝4，则EF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：点E在矩形ABCD边CD上，CE＝3，AD＝4， ∴BC＝AD＝4，∠BCD＝90°，DC∥AB， 在直角三角形BCE中，由勾股定理得： ∴， 又∵AB＝BE， ∴BE＝5， ∵DC∥AB， ∴∠ECF＝∠BAF，∠CEF＝∠ABF， ∴△CEF∽△ABF， ∴，即， ∴， 故选：B． 18．如图①，是形如“7”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用4个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形中，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：依题得：EG＝HF＝2a，PF＝a，PE＝4a﹣a＝3a， AD＝6，∠A＝∠D＝∠P＝∠PEG＝∠PFH＝90°， ∴，∠PEF+∠PFE＝90°， ∠DFH+∠PFE＝90°，∠PEF+∠AEG＝90°， ∠DFH+∠DHF＝90°，∠AGE+∠AEG＝90°， ∴∠PFE＝∠AEG＝∠DHF，∠PEF＝∠DFH＝∠AGE， ∴△DHF∽△PFE，△AEG∽△PFE， ∴，， ∴，， ∵AD＝AE+EF+DF＝6， 即， 解得． 故选：B． 19．如图，在▱ABCD中，E是CD上一点，AE与BD交于点F，若DE＝2EC，△DEF的周长为4，则△ABF的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵DE＝2EC， ∴AB＝CD＝3CE， ∵AB∥CD， ∴△DEF∽△BAF， ∴，即，即C△BAF＝6． ∴△ABF的周长为6． 故选：A． 20．如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E，AB∥EF∥DC，若BE：ED＝3：5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AC与BD相交于点E，AB∥DC， ∴△ABE∽△CDE， ∵BE：ED＝3：5， ∴， 故选：C． 21．如图在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDB＝4：7，则S△DOE：S△AOC的值为（　　） A．16：49 B．16：121 C．4：11 D．4：49 【答案】A 【解答】解：∵S△BDE：S△CDB＝4：7， ∴BE：BC＝4：7． ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， ∴， 故选：A． 22．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH•PC；④．以上结论中，正确的有　　 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：正方形中∠ABC＝90°，在等边△BPC中，∠PBC＝60°， ∴∠ABE＝30°， 在Rt△ABE中，则BE＝2AE，结论①正确； 由AD∥BC得∠PFD＝∠PCB＝60°， ∴∠PFD＝∠HPB＝60°， ∵四边形ABCD为正方形，△BPC是等边三角形， ∴∠PCD＝90°﹣60°＝30°，BC＝PC＝CD， ∴， 又∠BDC＝45°， ∴∠PDH＝30°， ∴∠PDF＝45°﹣30°＝15°， 又∠PBC＝60°，∠DBC＝45°， ∴∠HBP＝60°﹣45°＝15°， 即∠PDF＝∠HBP＝15°， 在△DFP与△BPH中， ， ∴△DFP∽△BPH，结论②正确； ∵∠DHP＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠PDC＝75°， 即∠PDC＝∠DHP＝75°， 又∠DPH＝∠CPD， ∴△DPH∽△CPD， ∴，即DP2＝PH•PC，结论③正确； 过点P作PM⊥CD，PN⊥BC，如图， 设正方形ABCD的边长为4，则正方形ABCD的面积为16， ∵△BPC是等边三角形， ∴PB＝PC＝BC＝CD＝4，∠PBC＝PCB＝60°， ∴∠PCD＝∠BPN＝30°， 在Rt△PCM中，，则， 在Rt△BNP中，，则， ∵S△BPD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD ， ∴，结论④错误． 故答案为：①②③． 23．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AB＝3AD，∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F，则的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵AB＝3AD， ∴AC2＝AB•AD＝3AD2， ∴， ∴， ∵∠CAD、∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F， ∴， ∴． 故答案为：． 24．如图，在▱ABCD中，，BD与MC相交于点O，则S△COD：S四边形AMOB＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD， ∵， ∴DMADBC， ∵AD∥BC， ∴，△DOM∽△BOC， ∴，， 设S△DOC＝2k，则S△BOC＝3k， ∴S△DOMk，S△BCD＝S△DOC+S△BOC＝5k， ∴S△ADB＝S△BDC＝5k， ∴S四边形AMOB＝S△ADB﹣S△DOMk， ∴S△COD：S四边形AMOB． 故答案为：． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，，则的值是　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴设AD＝k，CD＝2k， ∴AC， ∴， ∵∠ACD+∠BCD＝∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴（）2． 故答案为：． 26．如图，已知AC⊥BC于点C，AE⊥DE于点E，∠CAE＝∠BAD，AC＝3，AB＝5，AD＝10． （1）求证：△ABC∽△ADE． （2）求线段DE的长． 【答案】（1）∵AC⊥BC于点C，AE⊥DE于点E， ∴∠ACB＝∠AED＝90°， ∵∠CAE＝∠BAD，∠CAE+∠BAE＝∠CAB，∠BAD+∠BAE＝∠EAD， ∴∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE； （2）8． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC于点C，AE⊥DE于点E， ∴∠ACB＝∠AED＝90°， ∵∠CAE＝∠BAD，∠CAE+∠BAE＝∠CAB，∠BAD+∠BAE＝∠EAD， ∴∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE； （2）解：在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， 由勾股定理得：， ∵△ABC∽△ADE， ∴，即， 解得：DE＝8（经检验，是分式方程的解，且符合题意）． 27．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°， ∵∠APD＝60°， ∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BAP＝∠DPC， 即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD； （2）解：∵△ABP∽△PCD， ∴， ∵CD，CP＝BC﹣BP＝x﹣1，BP＝1， 即， 解得：AB＝3． 即△ABC的边长为3． 28．如图，在正方形ABCD中，E为边AB的中点，G，F分别为边AD，BC上的点．若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 【答案】6． 【解答】解：如图，延长GE交CB的延长线于M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CM， ∴∠AGE＝∠M， ∵E为AB边的中点， ∴AE＝BE， 在△AEG和△BEM中， ， ∴△AEG≌△BEM（AAS）， ∴GE＝EM，AG＝BM＝2． 又∵EF⊥MG， ∴EF垂直平分GM， ∴FG＝FM． ∵BF＝4， ∴MF＝BF+BM＝4+2＝6， ∴GF＝FM＝6． 答：GF的长为6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 相似三角形的性质 内 容 导 航 题型1 相似三角形的判定与性质 考 点 演 练 题型1 相似三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【典例1】在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，连接OE交BC于F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，则CF的长等于（　　） A． B． C．2 D． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则△ABF的面积为（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 过 关 验 收 1．如图，直线l1∥l2，直线AB、CD相交于点E，若AE＝4，BE＝8，DE＝6，则线段CE的长为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 2．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．若BD＝6，CE＝3，则△ABC的边长为（　　） A．8 B．9 C．12 D．14 4．如图，两条直线m，n被三条平行线（L1，L2，L3）所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，过点A作AF的垂线，交L3于点G连接DG交L2于点H，若DG＝10，∠DGF＝30°则EH的长度为（　　） A． B．2 C． D．4 5．如图，在▱ABCD中，E是边AB上一点，连结AC，DE相交于点F．若，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（　　） A．30cm B． C．20cm D． 7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　） A．y B．y C．y D．y 8．如图，在△ABC中，P是边AB的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交AB、BC于点D、E；②以点P为圆心，BD的长为半径画弧，交线段AP于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线PG，交线段AC于点Q．则的值为（　　） A． B． C．2 D． 9．如图，在△ABC中，BC＝15，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若AD：DB＝2：3，则线段BF的长为（　　） A．10 B．9 C．6 D．5 10．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．AB2＝AP•AC 11．如图，在▱ABCD中，AE：ED＝1：2，S△AEF＝2，则S△ABC＝（　　） A．6 B．18 C．20 D．24 12．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AEAD，BE的延长线交AC于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是（　　） A．∠ADC＝∠BAC B． C．CA平分∠BCD D．AC2＝BC•CD 14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则AE的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 15．如图，点O是△ABC的中线AD上一点，AO＝2DO，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E，F，现随机向△ABC内部抛一粒米，则米落在图中阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 16．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格点上，则∠A+∠E的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 17．如图，点E在矩形ABCD边CD上，且AB＝BE，AC与BE相交于点F．已知CE＝3，AD＝4，则EF的长为（　　） A．2 B． C． D． 18．如图①，是形如“7”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用4个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形中，则a的值为（　　） A． B． C． D． 19．如图，在▱ABCD中，E是CD上一点，AE与BD交于点F，若DE＝2EC，△DEF的周长为4，则△ABF的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 20．如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E，AB∥EF∥DC，若BE：ED＝3：5，则的值为（　　） A． B． C． D． 21．如图在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDB＝4：7，则S△DOE：S△AOC的值为（　　） A．16：49 B．16：121 C．4：11 D．4：49 22．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH•PC；④．以上结论中，正确的有　　 （填写所有正确结论的序号）． 23．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AB＝3AD，∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F，则的值为　　 ． 24．如图，在▱ABCD中，，BD与MC相交于点O，则S△COD：S四边形AMOB＝　　 ． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，，则的值是　 ． 26．如图，已知AC⊥BC于点C，AE⊥DE于点E，∠CAE＝∠BAD，AC＝3，AB＝5，AD＝10． （1）求证：△ABC∽△ADE． （2）求线段DE的长． 27．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 28．如图，在正方形ABCD中，E为边AB的中点，G，F分别为边AD，BC上的点．若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $