3.2 探索三角形相似的条件3种高频考点讲义-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

探索三角形相似的条件3种高频考点讲义 探索三角形相似的条件3种高频考点讲义 考点目录 利用两角对应相等判定相似 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 利用三边对应成比例判定相似 考点一 利用两角对应相等判定相似 【知识点解析】 核心知识点 两个角分别对应相等的两个三角形相似，简称AA判定。 由于三角形内角和恒为，两个角确定则第三个角也必然相等，因此只需两组对应角相等即可判定相似，是最常用、最基础的相似判定方法。 几何语言 在和中： 经典应用模型 1. 平行线型（A型、X型/8型） 有公共截线的平行线，同位角、内错角天然相等，结合公共角（A型）或对顶角（X型）相等，直接用AA判定，是最基础的相似模型。 1. 公共角型 两个三角形共享一个角，再找到任意一组对应角相等，即可判定相似。 1. 子母型（射影定理模型） 直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小直角三角形，三个三角形两两相似，全部由AA判定（直角相等+公共角相等）。 1. 一线三等角模型 同一直线上有三个相等的角，利用外角定理推导角相等，得到两组对应角相等，AA判定相似。 解题思路 1. 先找天然相等的角：公共角、对顶角、平行线的同位角/内错角、直角； 1. 再推导第二组对应角相等（外角定理、角的和差、互余关系等）； 1. 按对应顶点顺序写出相似关系，明确相似比。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两三角形相似是解题的关键，根据题意得到，，即可求解． 【详解】略 例2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）先根据得到，再根据即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 例3．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明：，， ． (2)48 【分析】（1）根据有两个角相等的三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，正方形中，M为上一点，，交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) ∵正方形，， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查相似三角形的综合，正方形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型． （1）根据相似三角形的判定即可求出答案． （2）根据可知，由与的长度即可求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ， ∵在正方形中，，， ， ， ， ∴． 变式2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 由得到，然后得到，即可证明． 【详解】略 变式3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 【答案】(1)证明：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，根据平行线的性质可知，进而问题可求证； （2）由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 考点二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【知识点解析】 核心知识点 两边对应成比例，且它们的夹角相等，两个三角形相似，简称SAS判定。 核心要点：相等的角必须是成比例两边的夹角，而非任意一边的对角。 几何语言 在和中： 经典应用场景 1. 已知一组角相等，且夹这个角的两条边长度可求比例； 1. 旋转相似模型：共顶点的等角，两边对应成比例，旋转后形成相似； 1. 有公共角，且公共角的两条邻边长度成比例。 解题思路 1. 先找到一组相等的角； 1. 计算该角两条邻边的长度比，验证两个三角形的边比是否相等； 1. 确认相等的角是成比例两边的夹角后，判定相似。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的证明，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似是解题的关键． 首先根据得到，再根据即可求证． 【详解】略 例2．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，已知，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，得到，结合，即可证明． 【详解】略 例3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在和中，，且．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ∴， ． 【详解】略 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知，点E、F在线段上，，． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴∽； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，然后根据，即可证明； （2）根据相似三角形的性质即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：∵∽，， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在和中，，．求证：； 【答案】 证明：， ， ， 又， 则， ． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】略 变式3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，D，E分别是的边，上的点，，，且． (1)求证：； (2)若的面积为8，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． （1）运用夹角相等，两边对应成比例的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 考点三 利用三边对应成比例判定相似 【知识点解析】 核心知识点 三组对应边的比都相等，两个三角形相似，简称SSS判定。 只需边长条件，无需角度信息，是纯边长维度的相似判定。 几何语言 在和中： 经典应用场景 1. 网格/格点三角形相似判定：通过勾股定理计算各边长度，验证三边比是否相等； 1. 已知三边长度或三边的比例关系，无明显角相等条件； 1. 仅用边长证明相似的纯代数类问题。 解题思路 1. 分别计算两个三角形的三边长度； 1. 将边按长短排序，短边对应短边、长边对应长边，分别计算三组对应边的比值； 1. 验证三组比值完全相等，相等则判定相似。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】 证明：， ． ， ． 平分． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】略 例2．（25-26九年级上·广西河池·阶段检测）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1) ∵， ∴； (2) ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法． 根据和的三边对应成比例，则两个三角形相似，由此判定即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知：如图，在和中，，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 变式2．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）已知：如图，在正方形网格图中，有两个格点三角形和．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】先根据网格和勾股定理求出，得出，即可证明． 【详解】略 2 学科网（北京）股份有限公司 $探索三角形相似的条件3种高频考点讲义 探索三角形相似的条件3种高频考点讲义 考点目录 利用两角对应相等判定相似 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 利用三边对应成比例判定相似 考点一 利用两角对应相等判定相似 【知识点解析】 核心知识点 两个角分别对应相等的两个三角形相似，简称AA判定。 由于三角形内角和恒为，两个角确定则第三个角也必然相等，因此只需两组对应角相等即可判定相似，是最常用、最基础的相似判定方法。 几何语言 在和中： 经典应用模型 1. 平行线型（A型、X型/8型） 有公共截线的平行线，同位角、内错角天然相等，结合公共角（A型）或对顶角（X型）相等，直接用AA判定，是最基础的相似模型。 1. 公共角型 两个三角形共享一个角，再找到任意一组对应角相等，即可判定相似。 1. 子母型（射影定理模型） 直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小直角三角形，三个三角形两两相似，全部由AA判定（直角相等+公共角相等）。 1. 一线三等角模型 同一直线上有三个相等的角，利用外角定理推导角相等，得到两组对应角相等，AA判定相似。 解题思路 1. 先找天然相等的角：公共角、对顶角、平行线的同位角/内错角、直角； 1. 再推导第二组对应角相等（外角定理、角的和差、互余关系等）； 1. 按对应顶点顺序写出相似关系，明确相似比。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 例2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 例3．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，正方形中，M为上一点，，交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 变式3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 考点二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【知识点解析】 核心知识点 两边对应成比例，且它们的夹角相等，两个三角形相似，简称SAS判定。 核心要点：相等的角必须是成比例两边的夹角，而非任意一边的对角。 几何语言 在和中： 经典应用场景 1. 已知一组角相等，且夹这个角的两条边长度可求比例； 1. 旋转相似模型：共顶点的等角，两边对应成比例，旋转后形成相似； 1. 有公共角，且公共角的两条邻边长度成比例。 解题思路 1. 先找到一组相等的角； 1. 计算该角两条邻边的长度比，验证两个三角形的边比是否相等； 1. 确认相等的角是成比例两边的夹角后，判定相似。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，，，求证：． 例2．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，已知，．求证：． 例3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在和中，，且．求证：． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知，点E、F在线段上，，． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 变式2．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在和中，，．求证：； 变式3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，D，E分别是的边，上的点，，，且． (1)求证：； (2)若的面积为8，求的面积． 考点三 利用三边对应成比例判定相似 【知识点解析】 核心知识点 三组对应边的比都相等，两个三角形相似，简称SSS判定。 只需边长条件，无需角度信息，是纯边长维度的相似判定。 几何语言 在和中： 经典应用场景 1. 网格/格点三角形相似判定：通过勾股定理计算各边长度，验证三边比是否相等； 1. 已知三边长度或三边的比例关系，无明显角相等条件； 1. 仅用边长证明相似的纯代数类问题。 解题思路 1. 分别计算两个三角形的三边长度； 1. 将边按长短排序，短边对应短边、长边对应长边，分别计算三组对应边的比值； 1. 验证三组比值完全相等，相等则判定相似。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 例2．（25-26九年级上·广西河池·阶段检测）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知：如图，在和中，，．求证：． 变式2．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）已知：如图，在正方形网格图中，有两个格点三角形和．求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $