第8讲整式的加减培优讲义（知识梳理+典例+压轴+练习） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第8讲·整式的加减·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解同类项的概念，能准确判断两个项是否为同类项 · 掌握合并同类项的法则，能正确、熟练地合并同类项 · 掌握去括号与添括号法则，正确进行整式的加减运算 · 掌握整式加减中的化简求值与「无关型」问题的处理方法 · 能运用整式加减解决图形周长、面积等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.同类项的概念与判断 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；几个常数项也是同类项 判断同类项只看字母与指数：与系数大小无关、与字母的排列顺序无关 π是数不是字母，含π的项与不含π的项一般不是同类项 常见易错：2a2b与2ab2不是同类项（a、b指数互换）；3x与3x2不是同类项 概念辨析例题：下列各组中的两项，是同类项的是（　　）A．2x2y与-xy2　B．3ab与3abc　C．-m2n与nm2　D．a2与b2 答案：C 解析：同类项要求所含字母相同且相同字母的指数分别相同。C中-m2n与nm2字母都是m、n，m指数都是2，n指数都是1，字母顺序不影响，是同类项。 ☆ 2.合并同类项 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 合并步骤：找同类项（标记）→ 系数相加 → 字母部分照抄；系数为负时注意符号 合并后若系数为0，该项为0省略；检查是否合并完全（每个字母组合只留一项） 化简求值：先合并同类项化简，再代入字母的值计算，注意负数代入加括号 概念辨析例题：合并同类项：3a2b-2ab2+5a2b-4ab2。 答案：8a2b-6ab2 解析：a2b的系数3+5=8，ab2的系数-2-4=-6，字母及指数保持不变，合并得8a2b-6ab2，注意a2b与ab2不是同类项不能合并。 ☆ 3.去括号与添括号 去括号法则：括号前是「+」号，把括号和它前面的「+」号去掉，括号里各项都不变号 括号前是「-」号，去掉括号和「-」号，括号里各项都改变符号 添括号法则：添括号后括号前是「+」号，括到括号里的各项都不变号；是「-」号则都变号 去括号时要连同括号前的符号一起处理，切勿漏项、漏变号；括号前有数字因数要运用乘法分配律 概念辨析例题：化简：-(2a-b)+3(a-2b)。 答案：a-5b 解析：先去括号：-(2a-b)=-2a+b，3(a-2b)=3a-6b；合并同类项：(-2a+3a)+(b-6b)=a-5b。注意第一处括号前是负号，去括号后b变号。 ☆ 4.整式加减的应用 整式加减的一般步骤：有括号先去括号，再合并同类项，结果按某字母降（升）幂排列 化简求值：先化简成最简整式，再代入数值计算；整体代入法常用于已知式子的值 无关型问题：若某式化简后不含某项（如x2项），则该各项系数之和为0，据此列方程求参数 实际应用：用整式表示周长、面积、阴影部分面积，注意图形拆分与合并 概念辨析例题：若多项式3x2+(k-2)x-5化简后不含x项，求k的值。 答案：k=2 解析：不含x项即x的一次项系数为0，k-2=0，解得k=2。注意判断「不含某项」等价于该项合并后的系数为0。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同类项 字母相同且相同字母指数相同的项 与系数、字母顺序无关，常数项同类 合并同类项 系数相加，字母与指数不变 不是同类项不能合并 去括号 +号去括号不变号，-号去括号全变号 勿漏项、漏变号 添括号 +号添括号不变号，-号添括号全变号 添括号后注意检验 整式加减 去括号→合并同类项 结果按降幂排列更规范 无关型问题 某项系数之和为0 先合并再令系数为0求参 ⚠️ 核心考点 【考点1】同类项与合并同类项（第1-10题） · 判断同类项：字母相同、相同字母指数分别相同，与系数、顺序无关 · 「下列运算正确的是」题：逐项检查是否为同类项合并、幂运算法则是否正确 · 合并同类项：系数相加、字母指数照抄，注意符号 · 运算辨析题常混入幂运算、完全平方公式等干扰项，用排除法逐项验证 1．（2025·湖北孝感·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如果关于x，y的两个单项式与的和是一个单项式，那么m，n的值分别为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）下列各题的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·云南昆明·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·江西宜春·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·湖南常德·期末）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·福建福州·期末）如果单项式与单项式的和还是单项式，那么的值是________． 10．（追梦专项1整式的乘除&追梦专项2 相交线与平行线-【追梦之旅�期末真题篇】2024-2025学年新教材七年级数学下册（北师大版2024 郑州专用））新定义  对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算______． 【考点2】已知同类项求字母或代数式的值（第11-17题） · 由同类项条件列方程组：对应字母指数相等 · 解出参数后代入所求代数式计算，注意负号与括号 · 「和仍是单项式」等价于两单项式是同类项 · 求出参数后回代检验是否满足题意 11．（24-25七年级上·广东珠海·期中）单项式与单项式是同类项，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 12．（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）若与是同类项，则的值是________． 13．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）如果与是同类项，那么____． 14．（24-25七年级上·四川成都·期中）如果单项式与是同类项，那_______． 15．（24-25七年级上·浙江·期中）若与是同类项，则______． 16．（2026·河北邯郸·二模）若与的和是单项式，则b的值为________． 17．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如果关于x、y的单项式与的和仍是一个单项式，那么m的值为______． 【考点3】整式的加减运算（去括号·数轴化简）（第18-29题） · 去括号：正号不变号、负号全变号，括号前有系数用分配律 · 数轴化简：根据点在数轴的位置判断a、b、c的正负及|a-b|等符号，再去绝对值 · 绝对值化简：|x|=x（x≥0），|x|=-x（x<0），先判符号再化简 · 计算题按步骤：去括号→合并同类项→（代入求值） 18．（2026七年级上·全国·专题练习）小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 19．（23-24七年级上·湖北恩施·阶段检测）化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 20．（24-25七年级上·海南三亚·阶段检测）数在数轴上所对应点如图所示：化简（   ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·福建厦门·期中）计算下列各题： （1）______； （2）______； （3）______； （4）精确到个位是______． 22．（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 23．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知，则代数式_____． 24．（23-24八年级上·河南南阳·期中）一个多项式除以，得商式为，余式为，则这个多项式为______． 25．（25-26七年级上·重庆合川·期末）若有理数在数轴上对应的点如图，化简：____． 26．（25-26七年级上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 27．（24-25七年级上·河南商丘·阶段检测）（1）计算：； （2）化简：． 28．（23-24七年级上·江西上饶·期中）若一个多项式与的和是，求这个多项式． 29．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）化简： (1) (2) 【考点4】整式加减中的化简求值（第30-35题） · 先化简（去括号+合并同类项）再代入，避免直接代入的繁琐 · 负数、分数代入时加括号，防止符号错误 · 整体代入：已知式子的值，把相同整体看作一个字母代入 · 检验：化简结果中同类项合并完全、无漏项 30．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值，其中， 31．（23-24七年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中，． 32．（25-26七年级上·福建三明·期中）先化简，再求值：，其中，． 33．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）先化简，再求值：，其中，； 34．（21-22七年级上·浙江温州·期末）化简并求值：，其中，． 35．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知， (1)若，求的值； (2)若的值与x无关，求y的值． 【考点5】整式加减中的无关型问题（第36-39题） · 「不含某项」=合并后该项系数为0，据此列方程 · 「取值与x无关」=所有含x项的系数为0 · 先化简再判断，化简不彻底容易误判 · 解出参数后回代原式检验是否确实无关 36．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知为有理数，若代数式的值与的取值无关．则的值为（   ） A． B． C． D． 37．（21-22九年级下·江苏·周测）若代数式化简后不含项，则代数式的值为_____． 38．（23-24七年级上·云南昆明·期中）如果整式A与整式B的和为实数a，我们称A，B为a的“友好整式”； 与为7的“友好整式“．若关于x的整式与为n的“友好整式”，则n的值为_____． 39．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【考点6】整式加减的应用（第40-49题） · 图形问题：用含字母的式子表示周长、面积，图形拆分（大减小） · 实际应用：设未知数表示量，按题意列整式并化简 · 新定义问题：按定义规则用整式表示并化简 · 数字问题：两位数=十位×10+个位，多位同理；规律型问题列表归纳 40．（2024七年级上·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字比个位上的数字的倍还大，则这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图所示的一个大长方形，它被分割成个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为，，，，长方形⑤的周长为，整个大长方形的周长为，则下列关系式不正确的是(　　) A． B． C． D． 42．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，长、宽均为定值的长方形内部（不含边界）有一个边长为定值的正方形A，顺次延长正方形A的四条边，将长方形分割出B，C，D，E四个小长方形．下列结论正确的是（   ） A．若正方形A在长方形内部向左移动，则长方形C，D的周长之和变小 B．若正方形A在长方形内部向下移动，则长方形B，C的周长之和变大 C．若正方形A在长方形内部任意移动，则长方形B的周长不变 D．若正方形A在长方形内部任意移动，则B，D的周长之和与C，E的周长之和始终相等 43．（24-25七年级下·重庆·期中）如果一个四位自然数的前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，且各个数位上的数字均不为0，则称为“如意数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，，，是“如意数”．则．若“如意数”．则______；已知四位自然数是“如意数”，（，，，且、、、均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值是______． 44．（22-23七年级下·重庆·阶段检测）若一个四位数，满足百位与十位的数字之和等于千位与个位的数字之差，并且各数位上的数字均不相等也不为0，则称这个数为“和差数”，对于“和差数”（是整数，），将千位上的数字与个位上的数字交换，百位上的数字与十位上的数字交换，得到的数记为，记．如：满足，则是一个“和差数”，．已知某“和差数”，记．则_______．若能被8整除，则的最大值是_______． 45．（24-25七年级上·广东深圳·期中）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长之和为m，图2阴影部分周长为n，要求m与n的差，只需知道一个图形的周长，这个图形是______．（填①或②或③） 46．（24-25七年级下·福建福州·期末）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为______ 47．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）一个正方体六个面分别标有字母，其展开如图所示，已知：、，，若该正方体相对两个面上的多项式的和相等，当，时，多项式的值为______． 48．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位自然数，若M满足各个数位上的数字均不为0，且十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的差的5倍，则称四位数M为“千寻数”．例如：5346，因为，，，所以5346是“千寻数”．将“千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为________． 49．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 💯 课后巩固 复习建议 · 判断同类项只看字母与指数，与系数、排列顺序无关 · 合并同类项系数相加、字母指数不变，不是同类项不能合并 · 去括号牢记「负变正不变」，括号前有数字因数要分配律展开 · 化简求值先化简再代入，负数、分数代入加括号 · 「不含某项」「与x无关」都转化为某项系数为0列方程求解 【作业1】．（25-26七年级上·云南大理·期中）下列各组中的两项不属于同类项的是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 【作业2】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25七年级上·福建漳州·期中）若关于的多项式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，这是2026年1月份的日历表，小林用形如“十”字的框任意框出5个不为0的数，则被框住的5个数的和不可能是（   ） A．30 B．40 C．70 D．105 【作业5】．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段检测）在数轴上，表示数x的点的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．2 B． C． D． 【作业6】．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若单项式和是同类项，则的值为_________． 【作业7】．（23-24七年级上·湖南永州·阶段检测）若多项式化简后不含x的一次项，则k的值为________． 【作业8】．（2025·重庆·模拟预测）我们规定：若各个数位上数字均不相同的四位自然数，被3除余1且被4除余1的数，则称为“一生一世数”．最小的“一生一世数”是___________；若一个“一生一世数”满足：各个数位上的数字之和是完全平方数，我们称这个数是“相伴一生一世数”，则最大的和最小的“相伴一生一世数”的和为___________． 【作业9】．（25-26七年级下·四川成都·期中）有理数、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 【作业10】．（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）有有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，化简： _____． 【作业11】．（24-25七年级上·重庆·期中）若多项式中不含项，则___． 【作业12】．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）化简： (1)； (2)． 【作业13】．（20-21七年级上·广东东莞·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【作业14】．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图所示的图形由一大一小的两个长方形组成． (1)求该图形的周长（用含x的代数式表示）； (2)若图形的左边部分是一个正方形，求该图形的面积． 【作业15】．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）先化简，再求值：，其中． 【作业16】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲·整式的加减·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解同类项的概念，能准确判断两个项是否为同类项 · 掌握合并同类项的法则，能正确、熟练地合并同类项 · 掌握去括号与添括号法则，正确进行整式的加减运算 · 掌握整式加减中的化简求值与「无关型」问题的处理方法 · 能运用整式加减解决图形周长、面积等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.同类项的概念与判断 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；几个常数项也是同类项 判断同类项只看字母与指数：与系数大小无关、与字母的排列顺序无关 π是数不是字母，含π的项与不含π的项一般不是同类项 常见易错：2a2b与2ab2不是同类项（a、b指数互换）；3x与3x2不是同类项 概念辨析例题：下列各组中的两项，是同类项的是（　　）A．2x2y与-xy2　B．3ab与3abc　C．-m2n与nm2　D．a2与b2 答案：C 解析：同类项要求所含字母相同且相同字母的指数分别相同。C中-m2n与nm2字母都是m、n，m指数都是2，n指数都是1，字母顺序不影响，是同类项。 ☆ 2.合并同类项 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 合并步骤：找同类项（标记）→ 系数相加 → 字母部分照抄；系数为负时注意符号 合并后若系数为0，该项为0省略；检查是否合并完全（每个字母组合只留一项） 化简求值：先合并同类项化简，再代入字母的值计算，注意负数代入加括号 概念辨析例题：合并同类项：3a2b-2ab2+5a2b-4ab2。 答案：8a2b-6ab2 解析：a2b的系数3+5=8，ab2的系数-2-4=-6，字母及指数保持不变，合并得8a2b-6ab2，注意a2b与ab2不是同类项不能合并。 ☆ 3.去括号与添括号 去括号法则：括号前是「+」号，把括号和它前面的「+」号去掉，括号里各项都不变号 括号前是「-」号，去掉括号和「-」号，括号里各项都改变符号 添括号法则：添括号后括号前是「+」号，括到括号里的各项都不变号；是「-」号则都变号 去括号时要连同括号前的符号一起处理，切勿漏项、漏变号；括号前有数字因数要运用乘法分配律 概念辨析例题：化简：-(2a-b)+3(a-2b)。 答案：a-5b 解析：先去括号：-(2a-b)=-2a+b，3(a-2b)=3a-6b；合并同类项：(-2a+3a)+(b-6b)=a-5b。注意第一处括号前是负号，去括号后b变号。 ☆ 4.整式加减的应用 整式加减的一般步骤：有括号先去括号，再合并同类项，结果按某字母降（升）幂排列 化简求值：先化简成最简整式，再代入数值计算；整体代入法常用于已知式子的值 无关型问题：若某式化简后不含某项（如x2项），则该各项系数之和为0，据此列方程求参数 实际应用：用整式表示周长、面积、阴影部分面积，注意图形拆分与合并 概念辨析例题：若多项式3x2+(k-2)x-5化简后不含x项，求k的值。 答案：k=2 解析：不含x项即x的一次项系数为0，k-2=0，解得k=2。注意判断「不含某项」等价于该项合并后的系数为0。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同类项 字母相同且相同字母指数相同的项 与系数、字母顺序无关，常数项同类 合并同类项 系数相加，字母与指数不变 不是同类项不能合并 去括号 +号去括号不变号，-号去括号全变号 勿漏项、漏变号 添括号 +号添括号不变号，-号添括号全变号 添括号后注意检验 整式加减 去括号→合并同类项 结果按降幂排列更规范 无关型问题 某项系数之和为0 先合并再令系数为0求参 ⚠️ 核心考点 【考点1】同类项与合并同类项（第1-10题） · 判断同类项：字母相同、相同字母指数分别相同，与系数、顺序无关 · 「下列运算正确的是」题：逐项检查是否为同类项合并、幂运算法则是否正确 · 合并同类项：系数相加、字母指数照抄，注意符号 · 运算辨析题常混入幂运算、完全平方公式等干扰项，用排除法逐项验证 1．（2025·湖北孝感·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如果关于x，y的两个单项式与的和是一个单项式，那么m，n的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】根据两单项式之和为单项式，得到两单项式为同类项，利用同类项的定义，即可求出m与n的值． 此题考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解本题的关键． 【详解】解：∵单项式与的和是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 解得：． 故选：B． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握运算中各类计算的法则是解题的关键． 通过合并同类项、完全平方公式、幂的乘方和积的乘方、单项式乘法等知识，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】选项A中，和不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； 选项B中，，故B错误，不符合题意； 选项C中，，故C错误，不符合题意； 选项D中，，故D正确，符合题意； 故选D． 4．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）下列各题的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的概念及合并同类项法则，判断同类项并正确合并同类项是解题的关键． 根据同类项的概念及合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、∵ 和不是同类项，不能合并， ∴，故A错误，该选项不符合题意； B、∵， ∴B错误，该选项不符合题意； C、∵ ∴C正确，该选项符合题意； D、∵ ∴D错误，该选项不符合题意． 故选：C． 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、幂的乘方、整式加减及同底数幂的除法，熟知以上运算法则是正确解答此题的关键． 根据二次根式的化简、幂的乘方、整式加减及同底数幂的除法的法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，此选项不正确，不符合题意；     B．，此选项不正确，不符合题意； C．，此选项不正确，不符合题意； D．，此选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（25-26九年级上·云南昆明·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、计算单项式乘单项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；需根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式、单项式除法的运算法则，逐一验证各选项的运算是否正确. 【详解】解：∵， ∴A选项错误； ∵， ∴B选项错误； ∵， ∴C选项错误； ∵， ∴D选项正确； 故答案选：D． 7．（23-24九年级下·江西宜春·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、合并同类项、幂的乘方运算、分式乘除混合运算 【分析】根据合并同类项法则可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据分式的乘除法可判断C，根据立方根可判断D，从而可得答案． 【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是合并同类项，幂的乘方运算，分式的除法，立方根，掌握以上基础运算是解本题的关键。 8．（24-25九年级上·湖南常德·期末）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了合并同类项、负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项、负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、当时，，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 9．（25-26七年级上·福建福州·期末）如果单项式与单项式的和还是单项式，那么的值是________． 【答案】 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，已知字母的值求代数式的值．根据两个单项式的和仍是单项式，可知它们为同类项，因此相同字母的指数相等，再代入计算，即可作答． 【详解】解：∵单项式与单项式的和还是单项式， ∴与是同类项， 即，， 解得，， ∴， 故答案为：． 10．（追梦专项1整式的乘除&追梦专项2 相交线与平行线-【追梦之旅�期末真题篇】2024-2025学年新教材七年级数学下册（北师大版2024 郑州专用））新定义  对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算______． 【答案】 【知识点】合并同类项、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键． 根据定义利用完全平方公式及多项式乘以多项式计算求解即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【考点2】已知同类项求字母或代数式的值（第11-17题） · 由同类项条件列方程组：对应字母指数相等 · 解出参数后代入所求代数式计算，注意负号与括号 · 「和仍是单项式」等价于两单项式是同类项 · 求出参数后回代检验是否满足题意 11．（24-25七年级上·广东珠海·期中）单项式与单项式是同类项，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得，再代值计算即可． 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴， ∴， 故选：A． 12．（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）若与是同类项，则的值是________． 【答案】2 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故答案为：2． 13．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）如果与是同类项，那么____． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了已知同类项求代数式的值．熟练掌握同类项的定义是解题的关键．由题意知，，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·四川成都·期中）如果单项式与是同类项，那_______． 【答案】12 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．先根据同类项的定义求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 15．（24-25七年级上·浙江·期中）若与是同类项，则______． 【答案】4或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义、代数式求值等知识点，根据同类项的定义求出m、n的值是解题的关键． 先根据同类项的定义求得m、n的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据同类项的定义，得， ∴， ∴或． 故答案为：4或． 16．（2026·河北邯郸·二模）若与的和是单项式，则b的值为________． 【答案】3 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、加减消元法 【分析】两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，据此得到，解方程组，求出的值即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得． 17．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如果关于x、y的单项式与的和仍是一个单项式，那么m的值为______． 【答案】5 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据两个单项式的和仍是单项式，判断出它们是同类项，进而根据同类项中相同字母的指数相等列出方程求解． 由两个单项式的和仍是一个单项式，可知它们是同类项；根据同类项的定义，可得，；先由求出，再计算得出的值． 【详解】解：∵ 单项式与的和仍是一个单项式， ∴ 单项式与是同类项． ∴ ，． 将代入，得，，． 故答案为：． 【考点3】整式的加减运算（去括号·数轴化简）（第18-29题） · 去括号：正号不变号、负号全变号，括号前有系数用分配律 · 数轴化简：根据点在数轴的位置判断a、b、c的正负及|a-b|等符号，再去绝对值 · 绝对值化简：|x|=x（x≥0），|x|=-x（x<0），先判符号再化简 · 计算题按步骤：去括号→合并同类项→（代入求值） 18．（2026七年级上·全国·专题练习）小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减，计算错误写法与正确写法的差值，即可得到两者的差异． 【详解】解：正确算式为：， 错误算式为：， 计算两者的差值： ， 错误结果比正确答案多， 故选：B． 19．（23-24七年级上·湖北恩施·阶段检测）化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选C． 20．（24-25七年级上·海南三亚·阶段检测）数在数轴上所对应点如图所示：化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了绝对值的化简，数轴与有理数，整式的加减，根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可求解，由数轴判断出的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴原式， 故选：． 21．（24-25七年级上·福建厦门·期中）计算下列各题： （1）______； （2）______； （3）______； （4）精确到个位是______． 【答案】 / 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算、求一个数的近似数、去括号 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，去括号，求一个数的近似数，求一个数的绝对值： （1）先计算有理数减法，再计算绝对值即可得到答案； （2）先计算乘方，再计算除法即可得到答案； （3）根据去括号法则求解即可； （4）对十分位上的数字4进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）精确到个位是， 故答案为：． 22．（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 【答案】 【知识点】添括号 【详解】解：（1）； （2）． 23．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知，则代数式_____． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，代入求值，掌握整体代入是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·河南南阳·期中）一个多项式除以，得商式为，余式为，则这个多项式为______． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的加减运算及乘除运算，由除法的意义可知，这个多项式为被除式，被除式除式商式余式，然后根据单项式乘多项式的法则计算． 【详解】解： ， 即这个多项式为． 故答案为：． 25．（25-26七年级上·重庆合川·期末）若有理数在数轴上对应的点如图，化简：____． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，整式的加减．由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 26．（25-26七年级上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过合并同类项进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 27．（24-25七年级上·河南商丘·阶段检测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 28．（23-24七年级上·江西上饶·期中）若一个多项式与的和是，求这个多项式． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是设这个多项式是，，，因为，所以，计算即可． 【详解】解：设这个多项式是，则 ， 即：这个多项式是：． 29．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减； （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点4】整式加减中的化简求值（第30-35题） · 先化简（去括号+合并同类项）再代入，避免直接代入的繁琐 · 负数、分数代入时加括号，防止符号错误 · 整体代入：已知式子的值，把相同整体看作一个字母代入 · 检验：化简结果中同类项合并完全、无漏项 30．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值，其中， 【答案】；56 【知识点】合并同类项、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 31．（23-24七年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2． 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】此题主要考查整式的化简求值，熟练掌握计算规则是解题关键．先去括号，再合并同类项，代入x，y即可求解． 【详解】解： ． 当，时，原式． 32．（25-26七年级上·福建三明·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，55 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查整式加减运算的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键；因此此题可根据整式的加减运算法则进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； ∵，， ∴． 33．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）先化简，再求值：，其中，； 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，正确化简是解答的关键． 先根据整式的加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 34．（21-22七年级上·浙江温州·期末）化简并求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值，解题关键是先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把、的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 35．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知， (1)若，求的值； (2)若的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型的问题，非负数的性质： （1）先根据整式的加减计算法则求出的结果，再利用非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可； （2）根据（1）所求可得，再根据的值与x无关得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式； （2）解：由（1）得 ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 【考点5】整式加减中的无关型问题（第36-39题） · 「不含某项」=合并后该项系数为0，据此列方程 · 「取值与x无关」=所有含x项的系数为0 · 先化简再判断，化简不彻底容易误判 · 解出参数后回代原式检验是否确实无关 36．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知为有理数，若代数式的值与的取值无关．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的加减运算以及代数式与字母取值无关的条件，熟练掌握“代数式与某字母取值无关时，该字母对应项的系数为0”是解题的关键． 先化简代数式，根据“代数式的值与的取值无关”可知和的系数为0，进而求出、的值，最后计算． 【详解】解：原式 ， ∵代数式的值与的取值无关， ∴且， ∴，， ∴， 故选：C． 37．（21-22九年级下·江苏·周测）若代数式化简后不含项，则代数式的值为_____． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题 【分析】先去括号，再合并同类项，结合化简后不含项，得出，解方程即可求出的值，最后代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵代数式化简后不含项， ∴， ∴， ∴ ． 38．（23-24七年级上·云南昆明·期中）如果整式A与整式B的和为实数a，我们称A，B为a的“友好整式”； 与为7的“友好整式“．若关于x的整式与为n的“友好整式”，则n的值为_____． 【答案】8 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减运算，根据友好整式的定义可知 的值与x无关，从而可求出k和n的值． 【详解】解：由题意可知： ， 令，得， ∴， 故答案为：8． 39．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 【考点6】整式加减的应用（第40-49题） · 图形问题：用含字母的式子表示周长、面积，图形拆分（大减小） · 实际应用：设未知数表示量，按题意列整式并化简 · 新定义问题：按定义规则用整式表示并化简 · 数字问题：两位数=十位×10+个位，多位同理；规律型问题列表归纳 40．（2024七年级上·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字比个位上的数字的倍还大，则这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减法则是解题的关键； 两位数十位数字个位数字，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：个位上的数字是，十位上的数字比个位上的数字的倍还大， ∴十位上的数字为， ∴这个两位数可表示为 ． 故答案为：． 41．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图所示的一个大长方形，它被分割成个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为，，，，长方形⑤的周长为，整个大长方形的周长为，则下列关系式不正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则，数形结合是解题的关键．根据题意，设正方形①②的边长分别为，，结合图形，表示出四个正方形，和长方形的周长，即可判断各选项． 【详解】解：设正方形①②的边长分别为，， 则正方形③的边长为， 正方形④的边长为， 长方形⑤的长为，宽为， 大长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ．，该关系式成立，不符合题意； ．，该关系式成立，不符合题意； ．，故关系式不成立，符合题意； ．，该关系式成立，不符合题意． 故选：C． 42．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，长、宽均为定值的长方形内部（不含边界）有一个边长为定值的正方形A，顺次延长正方形A的四条边，将长方形分割出B，C，D，E四个小长方形．下列结论正确的是（   ） A．若正方形A在长方形内部向左移动，则长方形C，D的周长之和变小 B．若正方形A在长方形内部向下移动，则长方形B，C的周长之和变大 C．若正方形A在长方形内部任意移动，则长方形B的周长不变 D．若正方形A在长方形内部任意移动，则B，D的周长之和与C，E的周长之和始终相等 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减，长方形和正方形的周长，平移的原则等知识．根据平移的原则和长方形周长的定义相加或相减分别计算可作判断． 【详解】解：A、若正方形A在长方形内部向左移动a个单位，则长方形C的周长减小，D的周长会增大，所以长方形C，D的周长之和不变，原说法错误； B、若正方形A在长方形内部向下移动b个单位，则长方形B的周长减小，C的周长会增大，长方形B，C的周长之和不变，原说法错误； C、若正方形A在长方形内部向下移动b个单位，则长方形B的周长减小，原说法错误； D、如图，设大长方形的一边，另一边，长方形B的长为x，宽为y，长方形D的长为n，宽为c，小正方形A的边长为d， ∴，， ∴， 若正方形A在长方形内部任意移动，假设将正方形A在长方形内部向下移动a个单位， 则B的周长+D的周长 ， C的周长+E的周长 ， ∴B，D的周长之和=C，E的周长之和， 同理可得：正方形A在长方形内部任意移动，则B，D的周长之和与C，E的周长之和始终相等， 故D原说法正确； 故选：D． 43．（24-25七年级下·重庆·期中）如果一个四位自然数的前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，且各个数位上的数字均不为0，则称为“如意数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，，，是“如意数”．则．若“如意数”．则______；已知四位自然数是“如意数”，（，，，且、、、均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值是______． 【答案】 12 4117 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题考查新定义运算，涉及有理数的四则运算、整式的加减运算，理解新定义是解答的关键．根据新定义先求得，进而求得；根据新定义得到各个数位上的数字，表示出和，计算出，根据b、d的取值范围即可找到满足条件的m的最大值． 【详解】解：由“如意数”得， ∴； ∵四位自然数是“如意数”， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴ 是整数， ∴是8的倍数， ∵，，且b、d均为正整数， ∴要使取最大值，则千位上的数字a取最大，则b取最小， 则，， ∴满足是8的倍数，此时， ∴满足条件的数m的最大值是4117， 故答案为：12，4117． 44．（22-23七年级下·重庆·阶段检测）若一个四位数，满足百位与十位的数字之和等于千位与个位的数字之差，并且各数位上的数字均不相等也不为0，则称这个数为“和差数”，对于“和差数”（是整数，），将千位上的数字与个位上的数字交换，百位上的数字与十位上的数字交换，得到的数记为，记．如：满足，则是一个“和差数”，．已知某“和差数”，记．则_______．若能被8整除，则的最大值是_______． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了实数的混合运算的实际应用，整式的加减运算，正确读懂题意是解题关键．①根据题目信息即可求解；②设“和差数” ，可得，据此即可求解． 【详解】解：； 设“和差数” （是整数，）， 则，且， ， ∵， ∴， ∴， ； ∵能被8整除， ∴是的倍数， ∵， ∴， 当，时， 可取最大值； 此时，取， 则此时的最大值为：； 故答案为：①②． 45．（24-25七年级上·广东深圳·期中）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长之和为m，图2阴影部分周长为n，要求m与n的差，只需知道一个图形的周长，这个图形是______．（填①或②或③） 【答案】③ 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，设正方形①的边长为a、正方形②的边长为b、正方形③的边长为c，分别表示出m、n的值，就可计算出的值为，从而可得只需知道正方形③的周长即可． 【详解】解：设正方形①的边长为a、正方形②的边长为b、正方形③的边长为c， 由题意得， ， ， ∴， ∴只需要知道图③正方形的周长即可得到m与n的差， 故答案为③． 46．（24-25七年级下·福建福州·期末）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为______ 【答案】48 【知识点】整式加减的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了整式加减的应用、平移的性质，利用平移的性质将不规则图形的周长转化为规则图形的周长是解题关键．如图（见解析），设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图①中长方形的周长为40，求得，根据图②中长方形的周长为58，求得，根据平移的性质可得没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，由此即可得． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， ∵图①中的长方形纸片的周长为40， ∴， ∴， 如图，图②中的长方形的周长为58， ∴， ∴， 由平移的性质可知，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为 ， 故答案为：48． 47．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）一个正方体六个面分别标有字母，其展开如图所示，已知：、，，若该正方体相对两个面上的多项式的和相等，当，时，多项式的值为______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对面的字，整式的加减，代数式求值，先利用整式的加减求出，再根据和相对，和相对可得，求出，最后把的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵、，， ∴ 由图可得，和相对，和相对， ∵相对两个面上的多项式的和相等， ∴， ∴， ∴ 当，时， ， 故答案为：． 48．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位自然数，若M满足各个数位上的数字均不为0，且十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的差的5倍，则称四位数M为“千寻数”．例如：5346，因为，，，所以5346是“千寻数”．将“千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查了新定义，整式的加减运算，根据定义得到，，，求出，根据能被15整除得到能被3整除，则最大为9，b最大是6，最小为4，b最小是1，再求出 ，得到，分别求出M的最大值与最小值，即可得到答案． 【详解】解；∵是“千寻数” ∴，， “千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数， ∴， ∴ ∴ ∵能被15整除， ∴能被3整除， 则最大为9，b最大是6，最小为4，b最小是1， ∴ 当时，， ∵能被7整除， ∴c最大为9， ∵ ∴此时， ∴M最大值为， 当时，， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∴， ∵ ∴此时， ∴M最小值为， ∵， 即满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为， 故答案为： 49．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 【答案】(1) 解：如下图：（答案不唯一） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 (2) 解：正确，理由如下： 设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为， 正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍， 设正中间的数为x， 填表如下， 则，即； (3) 解：如下图：（答案不唯一） 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，读懂题意是解答本题的关键． （1）方格正中间的数必为这9个数按从小到大的顺序排列后正中间的数5，进而最大的数9，和最小的数1加上5，就组成一列，然后是8，5，2，接着是7，5，3，最后是6，5，4，保证每行、每列及对角线上各数之和都相等． （2）设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为，正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍，设正中间的数为x，填写表格后即可证． （3）根据题意填写即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 💯 课后巩固 复习建议 · 判断同类项只看字母与指数，与系数、排列顺序无关 · 合并同类项系数相加、字母指数不变，不是同类项不能合并 · 去括号牢记「负变正不变」，括号前有数字因数要分配律展开 · 化简求值先化简再代入，负数、分数代入加括号 · 「不含某项」「与x无关」都转化为某项系数为0列方程求解 【作业1】．（25-26七年级上·云南大理·期中）下列各组中的两项不属于同类项的是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，即所含字母相同且相同字母的指数相同，常数项也是同类项．逐项判断即可． 【详解】解：∵ 同类项需字母相同且指数相同， A：字母均为m、n，指数均为2和3，是同类项； B：字母均为x、y，指数均为1，是同类项； C：均为常数项，是同类项； D：字母a与x不同，不是同类项． ∴ 不属于同类项的是D． 故选：D 【作业2】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题考查了去括号和添括号法则，根据去括号和添括号法则逐个判断即可，能熟记去括号和添括号法则的内容是解此题的关键． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：A． 【作业3】．（24-25七年级上·福建漳州·期中）若关于的多项式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减不含某项问题，先化简整式，进而根据化简后不含二次项，可得二次项系数为，据此列出等式解答即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵关于的多项式化简后不含二次项， ∴， ∴， 故选：． 【作业4】．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，这是2026年1月份的日历表，小林用形如“十”字的框任意框出5个不为0的数，则被框住的5个数的和不可能是（   ） A．30 B．40 C．70 D．105 【答案】A 【知识点】整式加减的应用、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了日历表中数字的规律及一元一次方程的应用，解题的关键是设出“十”字框中间的数，利用日历表中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律，表示出其余四个数，进而得出五个数的和为中间数的5倍，再根据中间数的取值范围判断和的可能性； 设中间数为，表示出五个数的和为，再根据日历表的结构确定的取值范围，逐一验证选项中的和是否为5的倍数且对应的在合理范围内． 【详解】解：设“十”字框中间的数为，则其余四个数分别为（上）、（左）、（右）、（下）， 五个数的和为， ∴ 被框住的5个数的和一定是5的倍数． A、若和为30，则，解得，此时，日历表中不存在号，此选项符合题意； B、若和为40，则，解得，此时，，，，均为日历表中存在的数，此选项不符合题意； C、若和为70，则，解得，此时，，，，均为日历表中存在的数，此选项不符合题意； D、若和为105，则，解得，此时，，，，均为日历表中存在的数，此选项不符合题意． 故选：A． 【作业5】．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段检测）在数轴上，表示数x的点的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查数轴、化简绝对值、有理数的加减、整式的加法，根据数轴得到，，再根据有理数的加减运算法则得到，，进而利用绝对值的性质化简绝对值，然后利用整式的加法求解即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，， ∴ ， 故选：C． 【作业6】．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若单项式和是同类项，则的值为_________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义，理解并掌握同类项的定义列式计算是解题的关键． 根据同类项的定义“字母相同，相同字母的指数也相同”得到求出的值，代入计算即可． 【详解】解：单项式和是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【作业7】．（23-24七年级上·湖南永州·阶段检测）若多项式化简后不含x的一次项，则k的值为________． 【答案】/ 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了多项式．先求出一次项的系数，然后令系数为0，求出k的值即可． 【详解】解：， ∵多项式化简后不含x的一次项， ∴， 解得． 故答案为：． 【作业8】．（2025·重庆·模拟预测）我们规定：若各个数位上数字均不相同的四位自然数，被3除余1且被4除余1的数，则称为“一生一世数”．最小的“一生一世数”是___________；若一个“一生一世数”满足：各个数位上的数字之和是完全平方数，我们称这个数是“相伴一生一世数”，则最大的和最小的“相伴一生一世数”的和为___________． 【答案】 1045 10922 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查定义新运算，代数式表示， 由题意可知能被3整除余1且能被4整除余1的数，即能被12整除余1，再根据各个数位上的数字不同逐个判断可解答①；再结合“相伴一生一世数”的定义从大，从小依次判断，求和即可． 【详解】解：根据题意可知“一生一世数”是12的倍数余1，即， 当时，，不符合题意舍去； 当时，，不符合题意舍去； 当时，，不符合题意舍去； 当时，，符合题意； 所以最小的“一生一世数”是1045； 由上述可知： 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 所以最小的“相伴一生一世数”是1069； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 所以最大的“相伴一生一世数”是9853， 所以最大的和最小的“相伴一生一世数”的和是． 故答案为：1045，10922． 【作业9】．（25-26七年级下·四川成都·期中）有理数、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】由数轴可知，，进而可得，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，，， ∴ ． 【作业10】．（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）有有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，化简： _____． 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、合并同类项 【分析】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键是根据数轴得出，． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【作业11】．（24-25七年级上·重庆·期中）若多项式中不含项，则___． 【答案】/ 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减，先合并同类项，根据题意令项的系数为，即可求解． 【详解】解： 依题意， 解得： 故答案为：． 【作业12】．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式去括号后合并同类项即可； （2）将原式去括号后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【作业13】．（20-21七年级上·广东东莞·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把x、y的值计算即可． 【详解】解：原式， 将，代入，得： 原式 ． 【作业14】．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图所示的图形由一大一小的两个长方形组成． (1)求该图形的周长（用含x的代数式表示）； (2)若图形的左边部分是一个正方形，求该图形的面积． 【答案】(1) (2)10 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查整式加减运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据长方形的周长公式可进行求解； （2）根据题意易得，然后根据正方形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：由图可知：该图形的周长为； （2）解：由题意得：， ∴， ∴该图形的面积为． 【作业15】．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；41 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．利用去括号、合并同类项化简后，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 【作业16】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，，求． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式加减的步骤，括号前面有负数去括号时括号内的各项要变号是解题关键． 先化简原式为，然后代入，，去括号、合并同类项得出最简式子． 【详解】解： ， 把，代入 原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $