6.3.3 余角和补角教学设计2026—2027学年数学人教版七年级上册

6.3.3 余角和补角 教学设计 课题 6.3.3 余角和补角 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质；2. 通过余角和补角的学习过程，进一步提高抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想；3. 体会观察、归纳、推理对获取余角和补角性质的重要作用，初步体会数学中推理的严谨性和结论的确定性. 教学重点 认识角的互余、互补关系及其性质. 教学难点 通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范语言描述性质. 教学方法 类比探究、观察归纳、讲练结合 教学准备 多媒体课件、一副三角尺、量角器 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 温故知新 一、温故知新 (1) 如图1，已知∠1＝61°，∠2＝29°，那么∠1+∠2＝　　　；(2) 如图2，已知∠COD＝90°，∠1＝45°，∠2＝45°，那么∠1+∠2+∠COD＝　　　；(3) 如图3，已知∠1＝62°，∠2＝118°，那么∠1+∠2＝　　　． 图1、图2、图3 答案：90°；180°；180°. 【师生活动】学生口算填空，教师追问：三组角的和分别是 90°、180°，这背后有什么样的数量关系？由此引入新课. 学生口算三组角的和，感知“和为 90°”“和为 180°”的两类角关系. 回顾旧知，引出新知. 环节二 置疑导入 激发动机 二、创设情境、导入新课 【置疑导入】观察方格图，图中∠1 与∠3 有什么关系？∠1 与∠2，∠3 与∠4 有什么关系？ 方格图中的角 【师生活动】学生借助方格图发现：∠1＝∠3（都是 45°），∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°。教师指出：和为 90°、和为 180° 的两个角有着特殊的名称与性质，这就是本节课要研究的余角和补角. 学生借助方格图发现相等的角与和为 180° 的角，形成研究需求. 以方格图设置悬念，直观感知两类角的数量关系. 环节三 形成概念 配对巩固 三、实践探究、交流新知 【课堂引入】我们平时所用的直角三角板的三个角分别是多少度？其中两个锐角的和是多少度？（30°、60°、90° 或 45°、45°、90°，两个锐角的和都是 90°） 1．互为余角：教师课件演示互为余角的两个角，学生观察并回答。师生共同总结：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角。如图，∠1 是∠2 的余角，或∠2 是∠1 的余角. 互为余角演示 练习1：图中给出的各角中哪些互为余角？ 15°、34°、56°、75°、23.8°、66.2° 答案：15° 与 75°、34° 与 56°、23.8° 与 66.2° 三对互为余角. 2．互为补角：类比互为余角的概念学习互为补角的概念。如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。如图，∠3 是∠4 的补角，或∠4 是∠3 的补角. 互为补角演示 练习2：图中给出的各角中哪些互为补角？ 70°、156.2°、136°、23.8°、110°、44° 答案：70° 与 110°、156.2° 与 23.8°、136° 与 44° 三对互为补角. 【师生活动】学生计算并回答，对照答案；教师强调：互为余角、互为补角反映的是角的数量关系，而不是角的位置关系. 学生理解互余、互补的概念并完成配对练习，明确“数量关系而非位置关系”. 从直观角度感受互余（补）角的概念并用自己的语言表达；通过配对计算检查概念理解，培养计算能力. 环节四 探究性质 表格归纳 四、探究性质、表格归纳 思考：如图，∠1 与∠2，∠3 都互为补角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？ ∠1 与∠2、∠3 都互补 【推理】因为∠1 与∠2 互补，所以∠2＝180°−∠1；因为∠1 与∠3 互补，所以∠3＝180°−∠1。所以∠2＝∠3. 结论：同一个锐角的补角比它的余角大　　　． 答案：90°（补角−余角＝180°−x−(90°−x)＝90°）. 练习3：先遮住下表的余角、补角两列，口算填表后对照： ∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角 16° 74° 164° 70°23′44″ 19°36′16″ 109°36′16″ 38°36′ 51°24′ 141°24′ y°(0<y<90) (90−y)° (180−y)° 【核对】余角列：74°；19°36′16″；51°24′；(90−y)°。注意 70°23′44″ 的余角需借位：89°59′60″−70°23′44″＝19°36′16″. 总结：同角（等角）的补角相等。对于余角也有类似的性质：同角（等角）的余角相等. 【师生活动】学生可独立思考计算解决，也可小组讨论完成；教师关注学生的猜想与说理，引导用“等量减等量差相等”说明理由. 学生经历“猜想—计算—说理”过程归纳余角、补角的性质，并完成表格计算. 以表格形式引导学生逐步加深对余角、补角概念及性质的理解，理清模糊之处，初步体会推理的严谨性. 环节五 典型例题 变式训练 五、学以致用、典型例题 例 如图，点 O 在直线 AB 上，OD 平分∠COA，OE 平分∠COB. 双平分线与互余互补 (1) ∠COB+∠AOC＝　　　　，∠EOD＝　　　　； 答案：180°；90°（∠EOD＝∠AOC+∠BOC＝×180°＝90°）. (2) 图中互余的角有　　　对，互补的角有　　　对. 答案：4；5。互余：∠AOD 与∠COE、∠AOD 与∠BOE、∠COD 与∠COE、∠COD 与∠BOE；互补：∠AOD 与∠BOD、∠AOC 与∠BOC、∠AOE 与∠BOE、∠COD 与∠BOD、∠AOE 与∠COE. 【变式1】若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1　　∠3。理由是　　　　　　　　． 答案：＝；同角的补角相等. 【变式2】如图，将直角三角板的直角顶点放在直线 l 的点 A 处。若∠1＝28°18′，则∠2 的度数是　　　　． 三角板直角顶点在直线 l 上 答案：118°18′（∠2＝90°+∠1，由∠3＝90°、∠1 的对顶角拼入平角可得）. 【变式3】已知一个角的补角是这个角的余角的 3 倍，求这个角的度数. 解：设这个角是 x°，则这个角的补角为 (180−x)°，余角为 (90−x)°. 所以 3(90−x)＝180−x，整理得 2x＝90，解得 x＝45，即这个角的度数为 45°. 【师生活动】学生独立思考、小组交流，教师引导“遇互补互余先设未知数列方程”，规范书写推理过程. 学生在双平分线图中找互余、互补的角并说理，掌握用方程求角的方法. 通过例题讲解及变式训练，加深对本课时知识的理解，发展简单推理能力. 环节六 拓展辨析 命题角度 六、拓展辨析、命题角度 命题角度1　直接利用余角与补角的定义求角的度数 1．若∠α＝55°，则∠α 的余角是（A） A．35°　B．45°　C．135°　D．145° 2．若一个角的补角等于它的余角的 3 倍，则这个角为（C） A．75°　B．60°　C．45°　D．30° 【解析】设这个角为 x°，则 180−x＝3(90−x)，解得 x＝45，选 C. 命题角度2　根据余角、补角的性质解决问题 3．将一副三角板按照如图所示的位置摆放，则图中的∠α 和∠β 的关系一定成立的是（C） 三角板摆放 A．∠α 与∠β 互余　B．∠α 与∠β 互补　C．∠α 与∠β 相等　D．∠α 比∠β 小 【解析】∠α 与∠β 都是 90° 减去中间的公共角，所以∠α＝∠β，选 C. 4．如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？哪些角互为补角？ 双平分线 解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，所以∠AOD 与∠BOD、∠AOC 与∠BOC、∠AOE 与∠BOE 分别互为补角. 因为射线 OD 和 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，所以∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC. 所以∠COD+∠COE＝(∠AOC+∠BOC)＝×180°＝90°. 综上，∠AOD 与∠BOD、∠AOC 与∠BOC、∠AOE 与∠BOE、∠COD 与∠BOD、∠AOE 与∠COE 分别互为补角；∠AOD 与∠COE、∠AOD 与∠BOE、∠COD 与∠COE、∠COD 与∠BOE 分别互为余角. 【师生活动】学生限时完成，教师讲评时强调“找互余先锁定和为 90° 的组合、找互补先锁定平角与等角替换”. 学生限时训练定义题与性质题，归纳“设元列方程”“同角减公共角”两类方法. 按中考命题角度重组题组，巩固余角补角的定义与性质两大考点. 环节七 课堂检测 堂堂清 七、课堂检测 堂堂清 1．若∠1＝40°，则∠1 的余角的度数是（C） A．20°　B．40°　C．50°　D．60° 2．下列结论正确的个数为（C） ①互余且相等的两个角是 45°；②锐角的补角是钝角；③锐角没有余角，钝角没有补角；④两个钝角不可能互补. A．1　B．2　C．3　D．4 【解析】①②④正确，③错误（锐角有余角，钝角也有补角），选 C. 3．如果一个角的度数比它补角的 2 倍多 30°，那么这个角的度数是（C） A．50°　B．70°　C．130°　D．160° 【解析】设这个角为 x°，则 x＝2(180−x)+30，解得 x＝130，选 C. 4．如图，OD 平分∠BOC，OE 平分∠AOC，∠BOC＝70°，∠AOC＝50°. (1) 求出∠AOB 及其补角的度数；(2) 请求出∠DOC 和∠AOE 的度数，并判断∠DOE 与∠AOB 是否互补，并说明理由. 角的和差与平分线 解：(1) ∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，其补角为 180°−120°＝60°. (2) ∠DOC＝∠BOC＝35°，∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝25°。∠DOE 与∠AOB 互补。理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°，∠DOE+∠AOB＝60°+120°＝180°，故互补. 【师生活动】学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 学生限时独立完成 4 道检测题，检验余角补角概念、性质及综合运算的掌握情况. 通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，达到“堂堂清”. 环节八 课堂小结 布置作业 八、课堂小结 （1）你在本节课中哪些收获？哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 【归纳】①互为余角：两角之和等于 90°；互为补角：两角之和等于 180°（数量关系，与位置无关）；②性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等；③同一个锐角的补角比它的余角大 90°；④方法：找互余互补先看数量和，求角可设未知数列方程. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生自主归纳余角补角的定义与性质，养成系统整理知识的习惯；课后独立完成作业. 复盘本节课内容，加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯. 板书设计 6.3.3 余角和补角 一、定义 互余：和为 90°；互补：和为 180°（数量关系） 二、性质 同角(等角)的余角相等 同角(等角)的补角相等 三、关系式 补角−余角＝90° 四、方法 设未知数列方程；等量减等量差相等 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $