6.3.3 余角和补角 教学设计 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦“余角和补角”核心知识点，通过复习角的比较、运算及角平分线旧知，结合三角尺中锐角和为90°的实例，搭建新旧知识联系的学习支架，自然导入新课。 此设计以类比探究为主线，引导学生从余角定义迁移学习补角概念，通过推理训练培养数学思维中的推理意识，利用文字、符号、图形语言转换强化数学语言表达，典型例题结合角平分线提升综合应用能力，助力学生规范推理书写，为教师提供清晰教学流程与易错点指导。

6.3.3 余角和补角 教学设计 课题 6.3.3 余角和补角 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1课时 课型 新授课 教学目标 1.经历观察、计算、图形辨析的探究过程，理解余角、补角的定义，熟练掌握互余、互补对应的角度数量关系。 2.熟记同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质，能结合角平分线知识综合完成角度计算与几何推理。 3.梳理角度推理中的常见易错点，规范几何推理步骤与书写格式，提升几何逻辑表达的严谨性。 教学重点 余角、补角的定义与数量关系；余角、补角的性质，结合角平分线进行角度计算。 教学难点 灵活运用余角、补角性质完成几何推理，规避角度换算、推理逻辑易错点，规范完整的几何证明书写。 教学方法 讲授法、探究法、合作交流、动手操作 教学准备 多媒体课件、三角尺、量角器 课后练习 完成课本第6.3节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、新知导入 1. 复习回顾 提问学生前两节课学习了哪些角的相关知识，引导学生回顾：①角的比较：度量法、叠合法；②角的运算：角的和与差；③角平分线：把角分成两个相等的角的射线。 2. 问题引入 提出问题：在几何学习中，我们经常研究特殊的数量关系。90°和180°是两个非常特殊的角度，它们有什么特殊之处呢？ 3. 观察思考 展示一副三角尺，让学生说出各个角的度数（30°、60°、90°和45°、45°、90°）。提问：每块三角尺中，除直角外的两个锐角相加等于多少度？ 学生计算：30°+60°=90°，45°+45°=90°。 4. 引出课题：像这样两个角的和等于90°或180°的情况，就是我们今天要学习的——余角和补角。 回顾角的比较、角的运算、角平分线知识，观察三角尺说出30°/60°/90°和45°/45°/90°的度数，计算每块三角尺除直角外两个锐角的和（30°+60°=90°，45°+45°=90°），感知两角和为特殊角度 通过复习旧知，建立知识间的联系，为新知学习做好铺垫；从学生熟悉的三角尺入手，直观感知两个角的和为90°的特殊关系，降低学习门槛；以问题引发学生思考，激发探究欲望，自然导入新课，体现从具体到抽象的认知规律。 二、探究新知 余角的定义 探究：余角和补角的概念。 1. 余角的定义 板书余角的定义：一般地，如图，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角。 文字语言：∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。 符号语言：若，则∠1与∠2互余； 概念辨析：①“互为”是什么意思？（两个角相互依存，不能单独说某个角是余角）②互余的两个角一定有公共顶点或公共边吗？（不一定，只看数量关系，与位置无关） 学习余角定义，用文字语言（∠1是∠2的余角）、符号语言（∠1+∠2=90°）表达；同桌互说举例说出任意锐角的余角，理解“互为”含义、互余与位置无关的辨析 通过归纳定义，培养学生的抽象概括能力；用三种数学语言表达概念，培养学生的符号意识与转换能力；通过剖析“互为”、次数无关等概念细节，加深对余角的理解。 三、探究新知 补角的定义 2. 补角的定义 类比教学：类比余角的定义，让学生尝试描述补角的定义。 板书补角的定义：一般地，如图，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角。 文字语言：∠3是∠4的补角（或∠4是∠3的补角）；符号语言：， 对比总结：引导学生对比余角和补角的异同，加深记忆。 类比余角定义尝试描述补角的定义，学习补角的文字语言与符号语言 ∠3=180°−∠4、∠4=180°−∠3，对比余角补角异同，归纳两角和为90°与180°的区别 采用类比教学法，让学生自主迁移学习补角概念，培养学生的类比迁移能力与自主学习能力；通过对比总结，帮助学生区分余角和补角，避免概念混淆，构建系统化的知识结构。 四、概念深化 与快速口答 3. 概念深化与注意事项 （1）强调要点：①无论是互余还是互补，都是描述两个角之间的关系，是成对出现的；②互余、互补描述的是数量关系，与两个角的位置无关；③只有锐角才有余角，补角可以是锐角、直角或钝角的补角。 （2）快速口答：①30°角的余角是____，补角是____；②70°角的余角是____，补角是____；③一个角的补角一定比它的余角大多少度？ 听讲理解的三个要点，独立口答填空：30°的余角60°、补角150°；70°的余角20°、补角110°；思考锐角的补角一定比余角大90° 通过要点强调与快速口答，帮助学生澄清概念细节，及时运用余角、补角定义进行计算，为性质探究与综合应用打基础。 五、探究新知 余角补角的 性质 探究：余角和补角的性质。 1. 余角的性质 提出问题：思考——如果∠1与∠2互余，∠1与∠3也互余，那么∠2和∠3的大小有什么关系？为什么？ 规范板书推理： ∵∠1与∠2互余（已知），∴∠2=90°−∠1（余角的定义）； ∵∠1与∠3互余（已知），∴∠3=90°−∠1（余角的定义）；∴∠2=∠3（等量代换）。 归纳性质：同角的余角相等。 拓展延伸：如果是两个相等的角，它们的余角相等吗？引出“等角的余角相等”。统一表述：同角（等角）的余角相等。 2. 补角的性质 类比探究：类比余角性质的研究方法，让学生自主探究补角的性质。提问：∠1与∠2互补，∠1与∠3也互补，∠2和∠3相等吗？ 归纳性质：同角（等角）的补角相等。 3. 相关拓展 ①同角与等角的区别：同角是同一个角，等角是度数相等的角；同角一定是等角，但等角不一定是同角。 ②锐角的补角比它的余角大90°：设锐角为x°，补角180°−x，余角90°−x，差为90°。 ③多个等角的余角（或补角）也全部相等，性质不局限于两个角的情况。 独立尝试写出余角性质推理过程：由∠2=90°−∠1、∠3=90°−∠1 等量代换得∠2=∠3；同角补角性质类比推导并板演；辨析同角与等角，验证锐角补角比余角大90°（180°−x −(90°−x)=90°） 通过问题引导学生自主探究，培养学生的逻辑推理能力；规范板书推理过程，为学生提供书写范例，培养规范的几何推理习惯；从“同角”拓展到“等角”，深化对性质的理解；类比探究补角性质，通过板演互评调动参与，辨析易错点，拓展知识面。 六、典型例题 例4 余角与角 平分线 例4 如图，点A、O、B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC。图中哪些角互为余角？ 教师点拨：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角。 解：因为点A、O、B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角。 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以 所以，∠COD和∠COE互为余角。 同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角。 讲评要点：依托平角与角平分线的已有知识铺垫，让学生借助互补关系推导两角和为90°，深化余角概念的理解与应用，训练从图形中挖掘隐含条件、梳理角度数量关系的识图与推理能力。 分析例4图形，明确AOB共线→∠AOC与∠BOC互补（180°），OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，根据角平分线关系写出 ∠COD+∠COE=½∠AOC+½∠BOC=½(∠AOC+∠BOC)=90°，找出所有互为余角的角并说明理由 依托平角与角平分线的已有知识铺垫，让学生借助互补关系推导两角和为90°，深化余角概念的理解与应用，训练从图形中挖掘隐含条件、梳理角度数量关系的识图与推理能力，帮助学生建立补角、角平分线、余角知识的联动解题思维，规范几何推理分析思路。 七、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知。 检测围绕余角补角定义、余角补角性质与角度综合计算展开。 独立完成课件中的当堂练习，重点核对互余互补数量关系、余角补角性质应用与角度综合计算，集体评议订正 当堂检验学生对余角补角概念、性质与综合应用的掌握情况，反馈矫正，巩固角度推理与计算能力。 八、课堂小结 提问：今天我们学习了哪些知识？ 1. 余角的定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角。 2. 补角的定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角。 3. 余角、补角的核心性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等，可用于角度推理计算。 4. 综合解题方法：能结合角平分线的角度平分特征，联动余补角的数量关系完成复杂角度求解。 回顾余角补角的定义与数量关系、余角补角性质及综合解题方法，畅谈几何推理经验 梳理余角补角概念、性质与综合应用，帮助学生建构完整的余补角知识体系，强化规范几何推理与计算的意识。 板书设计 6.3.3 余角和补角 一、定义 余角：两角和90°(互余) 补角：两角和180°(互补) 二、性质 同角(等角)的余角相等 同角(等角)的补角相等 锐角补角比余角大90° 三、易错提醒 互余/互补只看数量，与位置无关 只有锐角才有余角 板演：例4 ∠COD+∠COE=90° 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $