精品解析：云南省昭通市市直中学2025-2026学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

昭通市市直中学2025年秋季学期高二年级第三次月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 圆的圆心到直线的距离为1，则 A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A. 【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 2. 中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知此人6天中每天走的路程构成公比为的等比数列，进而根据前6项和为列方程求出首项，再根据等比数列的通项公式及性质求出即可. 【详解】由题意可得，此人6天中每天走的路程构成公比为的等比数列， 设这个数列为，前n项和为，则，解得， 所以，，， 即此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为里， 故选：B. 3. 已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 4. 设数列的前项之积为，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件先判断出是等差数列，然后求解出，结合已知条件可求. 【详解】因为，所以，即，所以， 又因为，显然， 所以，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即， 所以， 故选：D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用椭圆的图形特征结合椭圆定义及，计算求出参数得出椭圆方程. 【详解】如图，因轴，为线段的中点，，B为线段的中点， 在中，，设，则，. 因为的面积为，所以，解得（负值已舍去）， 所以，，，， 所以，则C的方程为， 故选:C. 6. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】求导代入可得，进而求得即可 【详解】，故，解得，故，故 故选：A 7. 已知抛物线的焦点为，过作两条斜率分别为的直线，且，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率关系，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，再结合抛物线的焦点弦长公式，即可求的最小值. 【详解】设，，，，直线的方程为， 联立方程，得， ∴，同理直线与抛物线的交点满足， 由抛物线定义可知， 当且仅当（或）时，取等号. 故选：C. 8. 已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（ ） A. 163 B. 165 C. 167 D. 173 【答案】A 【解析】 【分析】先通过已知条件求出的通项，再分析的插入结构，确定前88项对应的段，最后分为本身、插入部分、剩余项三部分求和得到结果. 【详解】因为，当，， 因为，所以，故.当时，适合上式， 所以； 当时，.. 又因为在数列的每相邻两项，之间依次插入， 得到数列，所以根据数列的定义可知： 数列， 故. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的计算依次求出每个函数的导数即可. 【详解】A：，故选项A正确； B：，故选项B错误； C：，故选项C正确； D：当时，，当时，，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知单调递增的正项无穷等差数列满足：，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，的前项和为 C. 公差的取值范围是 D. 当为整数时，的最大值为7 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由等差数列的性质可求出，进而可判断；对于B，由求出公差，由等差数列的前项和公式求解即可；对于C，由为单调递增的正项无穷等差数列，列不等式组求解即可；对于D，结合及公差的范围得到的范围. 【详解】对于A，在等差数列中，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，由于，，则公差，故的前20项和为，故B错误； 对于C，由，为单调递增的正项无穷等差数列，得且，解得，即的取值范围为，故C正确； 对于D，，当为整数时，，即的最大值为9，D错误. 故选：AC. 11. 在计算数学中可用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列.若函数且，记数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是递减数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用导函数得出切线斜率进而得出切线方程，结合新定义判断A，应用等比数列定义判断B，应用单调性判断C， 结合等比数列求和公式计算判断D. 【详解】，所以在点处的切线方程为， 因为，所以，令，得，故A正确； 因为，， 故，即，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C错误，B正确； 所以，D正确， 故选：ABD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆经过椭圆的三个顶点，则圆的标准方程为_____.（写出其中一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先选择三个顶点坐标，然后设出圆心坐标并表示出半径，根据半径等于圆心到任意顶点的距离求解出圆心坐标，由此可求圆的标准方程. 【详解】①当圆经过椭圆的左顶点及椭圆的上下顶点、时， 由顶点坐标可知圆心在轴上，设圆心为，则半径为， 则，解得，故所求圆的方程为； ②当圆经过椭圆的右顶点及椭圆的上下顶点、时， 由顶点坐标可知圆心在轴上，设圆心为，则半径为， 则，解得，故所求圆的方程为； ③当圆经过椭圆的左右顶点、及椭圆的下顶点时， 由顶点坐标可知圆心在轴上，设圆心为，则半径为， 则，解得，所求圆的方程为； ④当圆经过椭圆的左右顶点、及椭圆的上顶点时， 由顶点坐标可知圆心在轴上，设圆心为，则半径为， 则，解得，所求圆的方程为； 由上可知所求圆的方程为：或或或， 故答案为：（答案不唯一）. 13. 某同学验证著名的“里拉斜塔”问题，将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如图，那么最上层的铁块最多向桌沿外伸出而不掉落.现将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、、第块，将前，块铁块视为整体，若这部分的重心在第块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1，若记第块比第块向桌沿外多伸出的部分的最大长度为，则根据力学原理，可得，且为等差数列.则的通项公式为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出，根据为等差数列，可得其首项和公差，代入等差数列的通项公式，整理计算，即可得答案. 【详解】依题意，第1块铁块比第2块铁块向桌沿外伸出部分的最大长度为第1块铁块自身长度的一半， 则，由为等差数列，得其首项为，公差， 所以，则， 所以的通项公式为. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交于点，若线段的垂直平分线恰好为的另一条渐近线，则的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆的性质和垂直平分线的性质可知，再根据渐近线的对称性可知，进而求得，即可求解离心率. 【详解】如图， 由圆的性质可知，又，，所以有， 又直线OA与OB都是双曲线的渐近线，得， 又，得， 又渐近线OB的斜率为， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：2 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列的各项均为正数，满足：，是与的等差中项. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质，可求得公比q值，根据条件，代入求解，可得的值，代入通项公式，即可得答案. （2）由（1）可知，根据错位相减求和法，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，显然. 是与的等差中项，，即， ，，解得或（舍）， ，，解得， . 【小问2详解】 由（1）可知， ， ， 两式相减可得：， . 16. 设函数. （1）若在点处的切线为，求，的值； （2）求的解集. 【答案】（1），. （2） 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）含参讨论的正负解不等式即可. 【小问1详解】 易知的定义域为， 因为， 因为在点处的切线为， 所以，所以，所以， 把点代入得：. 即，的值为：，. 【小问2详解】 . ①当时，在上恒成立，所以的解集为； ②当时，令，解得：. 综上所述：当时，的解集为； 当时，的解集为. 17. 如图，顶点为的圆锥的母线与该圆锥的底面直径相等，其中是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，为上一点，. （1）当，求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）证明: [方法一] 当时，由题设，知为等边三角形，不妨设， 则，，所以， . 又为等边三角形，则，所以， ，则，所以， 同理，又且、在平面上，所以平面. [方法二] 当时，由题设，知为等边三角形，不妨设， 则，由圆锥性质知平面， 所以， 所以.因为是的外心，因此. 在底面过作的平行线与的交点为W，以O为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 所以，，. 故，. 所以，. 又且、在平面上，故平面. [方法三] 当时，因为是底面圆的内接正三角形，且为底面直径，所以. 因为（即）垂直于底面，在底面内，所以. 又因为平面，平面，， 所以平面. 又因为平面，所以. 设，则F为的中点，连接，如图. 设，且， 则，，. 因此，从而. 又因为且、在平面上，所以平面. [方法四] 当时，如图所示，圆锥底面圆O半径为R，连接，，易得， 因为，所以. 以，，为基底，平面， 则， ，且，， 所以. 故，所以，即. 同理.又且、在平面上，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可； （2）方法一：过作交于点N，以为坐标原点，为x轴，为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用公式计算即可得到答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 当时，设，过作交于点N，因为平面，以为坐标原点，为x轴，为y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为， 所以，， 故，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则有，， 即， 令，得，所以， 同理得平面的一个法向量为， 因为二面角的余弦值为，所以， 即，解得， 因为，满足题意， 所以，即为所求. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，其中双曲线的一条渐近线方程为，. （1）求双曲线的标准方程； （2）设是双曲线左支上一点，，求的周长的最小值； （3）过直线上任意一点作两条倾斜角分别为，的直线，，若直线，与双曲线的右支分别交于、两点和、两点，且满足：，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求得，根据焦距及求得，即可得解； （2）利用双曲线定义及几何关系求解的周长的最小值即可； （3）方法一：设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，结合，利用弦长公式求得，即可求解. 方法二：设直线的参数方程为，联立直线方程与曲线C的方程得，由根与系数的关系及，得，即可求解. 方法三：由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆，设直线的方程为，直线的方程为，则二次曲线.又过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为，其中，由A，B，P，Q四点共圆得，即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，即. 又因为，故，又，解得， 所求双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由双曲线定义知， 所以的周长为. 又， 因为，当且仅当M、N、共线， 所以的周长的最小值为. 【小问3详解】 方法一：常规硬算 如图所示， 设，设直线的方程为，，. 联立， 化简得，， 则，. 故，. 则. 设的方程为，同理. 因为，所以， 即，化简得， 所以，即. 因为，所以，即. 方法二：参数方程法 设，则直线的参数方程为， 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得. 设，. 由根与系数的关系得. 直线的倾斜角为，，. 同理可得. 因为，所以，得. 因为，所以. 由题意分析知. 方法三：利用圆幂定理：因为，所以， 由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆. 设，直线的方程为， 直线的方程为， 则二次曲线. 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， 整理可得：， 其中. 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即， 即. 19. 记数列,的前项和分别为,,,（且），当时,有. （1）证明:数列为等比数列； （2）若,当. ①求的通项公式； ②设是正整数,问是否存在,使得等式成立,若存在,求出和的值；不存在请说明理由. 【答案】（1）证明： 当时,有,即:， 从而得,去分母整理得:. 又因当,且,所以. 当,,即,所以,即. 所以由等比中项的定义可知:数列是1为首项,公比为的等比数列. （2）①； ②当且仅当时,存在使得等式成立； 当且仅当时,存在使得等式成立； 当且仅当时,存在使得等式成立. 【解析】 【分析】（1）由,可得有去分母即可得到.再验证也满足即可. （2）由,可求出通项进而得到.通过化简,显然可以利用裂项相消求解的前项和.求解.能够求出,显然当能够整除12即可求出值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解:①因,由(1)可知.当,, 所以当,. 经检验,不满足.所以； ②又因为， 所以，当,,即. 当时,, 所以.即： 所以. 假设存在,使得:成立. 故,即:,要使得是正整数, 只需整除12,因,故有,所以只能取3,4,6,12. 所以当,得,此时; 当,得,此时; 当,得,此时; 当,得,不满足是正整数,此时无解. 综上可知,当且仅当时,存在使得等式成立； 当且仅当时,存在使得等式成立； 当且仅当时,存在使得等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通市市直中学2025年秋季学期高二年级第三次月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 圆的圆心到直线的距离为1，则 A. B. C. D. 2 2. 中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 3. 已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 设数列的前项之积为，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 7. 已知抛物线的焦点为，过作两条斜率分别为的直线，且，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 8. 已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（ ） A. 163 B. 165 C. 167 D. 173 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知单调递增的正项无穷等差数列满足：，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，的前项和为 C. 公差的取值范围是 D. 当为整数时，的最大值为7 11. 在计算数学中可用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列.若函数且，记数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是递减数列 D. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆经过椭圆的三个顶点，则圆的标准方程为_____.（写出其中一个即可） 13. 某同学验证著名的“里拉斜塔”问题，将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如图，那么最上层的铁块最多向桌沿外伸出而不掉落.现将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、、第块，将前，块铁块视为整体，若这部分的重心在第块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1，若记第块比第块向桌沿外多伸出的部分的最大长度为，则根据力学原理，可得，且为等差数列.则的通项公式为_____. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交于点，若线段的垂直平分线恰好为的另一条渐近线，则的离心率为______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列的各项均为正数，满足：，是与的等差中项. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 16. 设函数. （1）若在点处的切线为，求，的值； （2）求的解集. 17. 如图，顶点为的圆锥的母线与该圆锥的底面直径相等，其中是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，为上一点，. （1）当，求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求的值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，其中双曲线的一条渐近线方程为，. （1）求双曲线的标准方程； （2）设是双曲线左支上一点，，求的周长的最小值； （3）过直线上任意一点作两条倾斜角分别为，的直线，，若直线，与双曲线的右支分别交于、两点和、两点，且满足：，求. 19. 记数列,的前项和分别为,,,（且），当时,有. （1）证明:数列为等比数列； （2）若,当. ①求的通项公式； ②设是正整数,问是否存在,使得等式成立,若存在,求出和的值；不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $