3.2.2 函数的奇偶性课件-2026-2027学年高一上学期数学湘教版必修第一册

——函数的奇偶性 函数的概念和性质 1 同学们，生活中有很多对称美,源远流长的中国文化中，天坛、剪纸 就应用了对称美。 情景引入 1 2 探究新知 观察投影里两组剪纸图片，你能说出它们分别是什么对称图形吗？ • • • • • • • • 老艺术家们在剪纸时，先对折，再沿折线慢慢展开，其中蕴含着博大精深的数学思想。 轴 对 称 中 心 对 称 • • 数学来源于生活，那么数学中如何来刻画对称图形呢？ 我们初中学习的很多平面图形，如正方形、圆等都是轴对称和中心对称图形。 探究新知 2 O y=|x| y=2-x² y=x y= 轴对称图形 中心对称图形 其实，某些函数图像也有这种对称性。如 探究新知 2 那么当函数图像呈现轴对称和中心对称时，能不能用简洁的数学符号来严谨的刻画呢？ 对于二次函数 探究新知 2 ... -2 -1 0 1 2 ... ... -2 1 2 1 -2 ... 列表： 描点、连线： 1 -1 1 对称 ● ● ● ● 通过列表、描点、画图，从图像不难发现，当横坐标互为相反数时，纵坐标相等，即这几对点对称。然而，具体的几个点对称，并不能说明整个图像关于y轴对称。那如何用代数语言来严谨的证明图象关于y轴对称呢？ ● ● ● ● A M N B 自变量互为相反数时， 函数值相等。 图象是由点构成的，而点的位置可以由坐标来表示，通过几何画板可知，A为图象上任意一点，过A作x轴的垂线，交于点M,作点M关于原点对称的点N，过N点作x轴的垂线交图象于B点。我们发现，在任意一点移动的过程中，当横坐标互为相反数时，纵坐标一直是相等的。再从函数的角度来看，即自变量互为相反数时，函数值相等。 x (x,F(x）） ◙ ◙ ◙ ◙ （-x,F(-x） F(x)=2-x² 因此，图像关于y轴对称。 -x F(-x)=F(x) 图像关于y轴对称 生成概念 3 图象上任意一点的坐标可以表示为（x,F(x)),相应的对称点表示为（-x,F(-x))。根据对应法则，代入函数解析式，即等式恒成立，图象关于y轴对称。即F(-x)=F(x)和图象关于y轴对称是等价的。 生成概念 3 这样，我们就可以通过函数表达式来严格严谨的定义函数的这种性质了。 偶函数 生成概念 3 同理，奇函数的概念为： 奇函数的定义 如果对一切使F(x）有定义 的x，F(-x）也有定义，并且 F(-x）=-F(x）成立，则称 F(x）为奇函数。 x (X,f(x)) -x (-x,f(-x) 数学的眼光 观察世界 数学的思维 分析世界 数学的语言 表达世界 探究函数奇偶性的过程中，我们从函数图象出发先观察出对称性，再用数学的思维分析对称性，最后用恰当的数学符号表达对称性。我们要学会用 x -x ● 定义域 o o 非寄非偶偶函数 总结归纳 4 观察函数奇偶的定义呢，我们不难发现，对于定义域中任意x，-x也在定义域内，即定义域关于原点对称。也就是说，定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的前提条件。那如果定义域不关于原点对称，我们把这样的函数称为非奇非偶函数。 o x y o x y F(-x)=F(x) F(x)为偶函数 F(-x)=-F(x) F(x)为奇函数 o x y 事半 功倍 总结提升 4 而判断函数的奇偶性，其实就是判断F(x)和F(-x)的关系，若符号相同，则为偶函数，若符号相反，则为奇函数,这是个充要条件。 例1 判断下列函数是否为偶函数或奇函数？ 偶函数 ● 奇函数 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图像 直观判断 应用迁移 5 例2 判断下列函数的奇偶性. ① ② ③ ④ 解： ①定义域为R,关于原点对称，且有f(-x)===f(x),为偶函数 ②定义域为(-∞，0）U（0，+∞），且有f(-x)=--x=-(为奇函数； ③定义域为R，f(-x)=f(x)=-f(x),既是奇函数也是偶函数； ④定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶函数）. 定义域 关于 原点对称 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 否则 判断函数奇偶性 定义域 是否 关于原点 对称 不对称 非奇非偶函数 f(-x)=f(x) 偶函数 f（-x）=-f（x） 奇函数 o x y o x y 轴对称 中心对称 ● 图像观察 定义判断 方法归纳 课后延伸 答案：解：(1)因为 f(x) 是定义在（-2，2）上的奇函数 所以f(0)=0. (2)因为 f(x) 是定义在（-2，2）上的奇函数 ，且在定义域上 单调递增，若f(2+a)+f(1-2a) >0,可得f(2+a) > f(2a-1). 2+a <2 转化为： 2a-1>-2 . 解得： - ½ <a<0. 2+a > 2a-1 所以，实数a的取值范围：（-½，0）. $