3.2.2函数的奇偶性（教学课件）数学湘教版必修第一册

3.2 函数的基本性质 3.2.2 函数的奇偶性 第3章 函数的概念与性质 问题引入 下图中的两个函数图象都是我们熟悉的，它们有什么共同点？ 下图中的两个函数图象都是我们熟悉的，它们有什么共同点？ 不难发现，图中的两个图象，都是以轴为对称轴的轴对称图形. 不难发现，图中的两个图象，都是以原点为中心的中心对称图形. 新知探索 如果的图象是以轴为对称轴的轴对称图形，就称是偶函数. 如果的图象是以原点为中心的中心对称图形，就称是奇函数. 新知探索 想一想：函数在什么条件下是偶函数？在什么条件下是奇函数？在什么条件下是非奇非偶的函数？在什么条件下是又奇又偶的函数？ 当时，函数是偶函数； 当时，函数是奇函数； 当时，函数是非奇非偶函数； 当时，函数是又奇又偶函数； 新知探索 于是，如果的坐标为，则的坐标为；直线平行于轴，所以，在轴同侧，并且到轴的距离相等，即. 能够简单地用数学符号语言来描述函数的奇偶性吗？ 说偶函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形，具体是什么意思呢？这就是说，若点在图象上，则点关于轴的对称点也在图象上，而轴是线段的垂直平分线. 反过来，如果对于的定义域中的任意的，都有定义并且满足 ，这表明图象上任一点关于轴的对称点也在图象上，即的图象是以轴为对称轴的轴对称图形. 新知探索 上面的讨论概括如下： 所以偶函数就是满足条件的函数. 同理可证：奇函数就是满足条件的函数. (1)如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称为偶函数； (2)如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称为奇函数. 例析 例 4 判断下列函数的奇偶性： (1)(2)(3) 解 (1)因为，所以为偶函数. (2)因为，所以为奇函数. (3)因为函数的定义域关于原点不对称，所以既不是奇函数也不是偶函数. 例析 例 5 设是定义于上的函数，且，讨论的奇偶性；如果在上，试求它在上的表达式. 解 因为， 所以为偶函数. 当时，，由偶函数性质得. 练习 题型一：函数奇偶性的判断 例1.，判断的奇偶性. 解 函数的定义域为 ∵,都有,且, ∴函数为偶函数. 练习 方法技巧： 函数奇偶性的判断 (1)定义域：判断函数的定义域是否关于原点对称. (2)计算与：若，则为偶函数；若，则为奇函数. 练习 解：函数的定义域为 ∵,都有, 且, ∴函数为奇函数. 变1.，判断的奇偶性. 练习 例2.若函数是偶函数，定义域为,,的值. 解：∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴=0，= . 又∵为偶函数 ∴. ∴，即0. 题型二：利用函数奇偶性求参数 练习 方法技巧： 利用函数奇偶性求参数 (1)定义域：有时候可以根据定义域关于原点对称，求出其中的一个参数. (2)计算与，再根据两者相等或者相反的关系，建立等式来求出其余的参数. (3)有时候还可以利用特殊点来计算出参数，如对于奇函数而言，若在处有定义，则0. 练习 变2.(1)若函数是偶函数，求的值; (2)若函数是奇函数，求的值. 答案：(1)4；(2). 练习 例3.已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式. 解：当时，,则 ∵为上的偶函数 ∴当时，. 题型三：利用函数奇偶性求分段函数的解析式 练习 方法技巧： 利用函数奇偶性求分段函数的解析式 (1)定义域：根据已知定义域(正或负)的解析式，写出另一边的解析式. (2)写成分段函数的形式，通常不会出现，如果出现也需要特殊说明. 练习 变3.已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式. 答案： 练习 例4.若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ） 题型四：比较大小（奇偶性与单调性的综合） 解：据题意得：为偶函数，且在区间上是增函数. ∴. 又∵ ∴，即. 故选B. 练习 方法技巧： 综合利用函数奇偶性和单调性比较大小 (1)若自变量在同一区间内,直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一区间内,需利用函数的奇偶性把自变量转化的同一区间内，再利用单调性比较大小. 练习 变4.已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式，并比较与的大小. 答案： 且 练习 题型五：解不等式问题（奇偶性与单调性的综合） 例5.已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围. 解：∵是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数 ∴函数在区间上为减函数. 若, 则有 解得：. 即实数的取值范围是：. 练习 方法技巧： 利用函数的奇偶性与单调性解不等式问题 (1)注意“含参数的定义域”要在函数的定义域内，进而列出不等式； (2)根据函数的单调性，列出关于两个“含参定义域”的大小不等式； (3)联立不等式，求出参数即不等式的解集. 练习 变5.已知函数的定义域为，且在上是增函数，若 ，则实数的取值范围为( ). 答案：. 课堂小结&作业 小结： 1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义； 2.判断奇偶函数的思路； 3.各题型的注意事项. 作业： 1.课本P83的1、2、3题； 2.课本P84的习题3.2的4、5、6、7、11、12、13题. 谢谢学习 Thank you for learning $$