精品解析：山东胶州市阜安学校 2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

九年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 友情提示：亲爱的同学，欢迎参加本次考试，相信你一定可以认真审题、书写工整、步骤齐全，祝你答题成功！ 一、选择题（本题满分27分，共9小题，每题3分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 3. 根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理，逐一分析选项； 【详解】A．已知两个相邻内角和为，仅可推出一组对边平行，因此该四边形不能判断出是平行四边形；邻边长度都为5，也无法判定四边相等或对角线垂直，因此不足以判定为菱形． B．三个内角为、、，可得第四个角，然后根据对角相等，可判定是平行四边形；又有一组邻边长度都为5，即邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形． C．四边形四条边都相等，根据“四边相等的四边形是菱形”，可判定为菱形． D．四边形对角线互相平分且垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定为菱形． 4. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 6. 如图，四边形是菱形，于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求得的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于边长乘以高解题． 【详解】解∶四边形为菱形， ． 设与交于点O， ， ，． ． ， 解得． 7. 如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形和等边三角形性质得出及度数，求出，结合计算即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ． 8. 宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设设房价比定价 元增加元，根据利润房价的净利润入住的房间数可得． 【详解】设房价比定价 元增加元，根据题意得， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 9. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质可得，由勾股定理解得；由折叠的性质可得，进而可得，；设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． 二、填空题（本题满分21分，共7小题，每题3分） 10. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系中两根之积的公式，直接代入已知根求解即可，即对于一元二次方程，两根满足． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为，一元二次方程中，可得，，已知一个根为， ∴， 解得， 所以方程的另一个根为． 11. 对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据定义新运算的法则，解方程即可． 【详解】解：依题意得， ， ， 或， 解得或． 12. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，垂直平分线段，垂足为点．若，则的长为_________________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：∵垂直且平分线段， ∴， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点，， ∴， ∴， 故答案为：4． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 14. 在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为______． 【答案】 【解析】 【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ∴， 设， ∴，即， 解得， ∴正方形边长为， ∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒， ∴硬纸盒底面的边长至少为． 16. 如图，已知的面积为3，且．将沿方向平移长度得到，连接，，交于点，给出下面四个结论：①四边形的面积是9；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据平移性质得出，，结合判定四边形为菱形；利用菱形性质、平行四边形判定及面积公式逐一判断各结论；对于结论④，利用等腰三角形性质及角直角三角形性质求解． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，，  ， ， 且， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 对于①： 设边上的高为 四边形是菱形 四边形的面积 ，故①正确； 对于②：四边形是菱形， ， 且， 四边形是平行四边形， ， ，  ，故②正确； 对于③：四边形是菱形， 为中点，， ． 四边形是平行四边形， ，  ， 在中，， ， ，即 ，故③错误； 对于④：四边形是菱形， ， ， ，即，  ． 过点作于点， ∵在中， ， ． ， ， ， ， ，故④正确 ， 综上所述，正确结论的序号有①②④． 三、尺规作图题（本大题4分） 17. 如图，已知，点在射线上，是内的一条射线，利用尺规作图法作矩形，使得点、分别在射线、上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点A，交于点C，过点C作于点B，根据三个角是直角的四边形是矩形，可判定四边形即为所求； 【详解】略 四、解答题（本大题满分68分，共7小题） 18. 解下列方程： （1）（配方法）； （2）． （3）（因式分解法）； （4）（公式法） 【答案】（1）， （2） （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 解得． 20. 为营造书香校园氛围，某学校举办经典读书文化节，计划在一块长，宽的展示板上，展出4幅形状相同，面积均为的经典名著海报，若展示板外沿与海报之间、相邻海报之间间隔的宽度均相同，间隔的宽度应是多少？ 【答案】 【解析】 【详解】解：设海报长为，海报宽为，间隔的宽度为，则由题意可列方程组， 用，得， 即， 代入，得， （舍去负值）， 再代入中，可求得， 答：间隔的宽度应是． 21. 已知，如图平行四边形的对角线，相交于点，为的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）已知：________（从以下两个条件①，②中选择一个作为已知，只填写序号），判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 情况一：选择①时， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 情况二：选择②时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】（1）这三天票房的平均增长率为； （2）扛标旗单价上涨了2元或5元． 【解析】 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 23. 定义：对角线相互垂直的凸四边形叫“对垂四边形”． （1）知识感知：下列四边形中，是对垂四边形的是__________（填写序号）； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）概念理解：如图1，在四边形中，已知，，求证：四边形是对垂四边形； （3）性质探究：如图2，已知四边形是对垂四边形，，相交于点，求证：； （4）结论运用：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，，已知，，求的长． 【答案】（1）③④ （2）证明：如图，连接，， ∵， ∴点在的中垂线上； ∵， ∴点也在的中垂线上， ∴， ∴四边形是对垂四边形； （3）证明：∵四边形是对垂四边形， ∴， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）①平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直，不符合要求； ②矩形的对角线相等且互相平分，不垂直，不符合要求； ③菱形的对角线互相垂直平分，满足要求； ④正方形的对角线互相垂直平分且相等，也满足要求； 因此符合条件的是③④． （2）已知，说明点在的垂直平分线上，已知，说明点也在垂直平分线上，可得直线是的垂直平分线，，再结合四边形是凸四边形，即可得证； （3）在中，由勾股定理得；在中，由勾股定理得；两式相加；同理可得，等号右侧完全相等，可得等号左侧完全相等； （4）连接，先证，得到，结合对顶角相等可推得，得到四边形是对垂四边形；结合第（3）问可得；可设，已知是直角三角形，用表示，再代入，进一步求出． 【小问1详解】 是对垂四边形的是③④ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：连接线段、，设、相交于点，交于点， ∵正方形和正方形， ∴， ∵，. ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 设 则， ，， ， ∴ ． 24. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． （1）连接，，当_____时，四边形为平行四边形； （2）将沿翻折，得到，在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2）存在， （3） （4）存在， 【解析】 【分析】（1）由，，可知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得； （2）由沿翻折得，知，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于的方程，解之可得； （3）由可得，利用得到与之间的关系式； （4）将四边形和三角形的面积表示出来，使，解一元二次方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，解得， ∴当时，四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵将沿翻折得， ∵，， ∴当时有四边形为菱形， ∴，解得， ∴存在，当时，使四边形为菱形． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【小问4详解】 解：， 当时，即， ∴， 解得，（不合题意，故舍去） ∴存在，秒时，四边形的面积等于面积的倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 友情提示：亲爱的同学，欢迎参加本次考试，相信你一定可以认真审题、书写工整、步骤齐全，祝你答题成功！ 一、选择题（本题满分27分，共9小题，每题3分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 3. 根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 6. 如图，四边形是菱形，于点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（ ） A. B. C. D. 8. 宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分21分，共7小题，每题3分） 10. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 11. 对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 12. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，垂直平分线段，垂足为点．若，则的长为_________________． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 14. 在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 15. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为______． 16. 如图，已知的面积为3，且．将沿方向平移长度得到，连接，，交于点，给出下面四个结论：①四边形的面积是9；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、尺规作图题（本大题4分） 17. 如图，已知，点在射线上，是内的一条射线，利用尺规作图法作矩形，使得点、分别在射线、上．（不写作法，保留作图痕迹） 四、解答题（本大题满分68分，共7小题） 18. 解下列方程： （1）（配方法）； （2）． （3）（因式分解法）； （4）（公式法） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 20. 为营造书香校园氛围，某学校举办经典读书文化节，计划在一块长，宽的展示板上，展出4幅形状相同，面积均为的经典名著海报，若展示板外沿与海报之间、相邻海报之间间隔的宽度均相同，间隔的宽度应是多少？ 21. 已知，如图平行四边形的对角线，相交于点，为的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）已知：________（从以下两个条件①，②中选择一个作为已知，只填写序号），判断四边形的形状，并证明你的结论． 22. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 23. 定义：对角线相互垂直的凸四边形叫“对垂四边形”． （1）知识感知：下列四边形中，是对垂四边形的是__________（填写序号）； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）概念理解：如图1，在四边形中，已知，，求证：四边形是对垂四边形； （3）性质探究：如图2，已知四边形是对垂四边形，，相交于点，求证：； （4）结论运用：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，，已知，，求的长． 24. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． （1）连接，，当_____时，四边形为平行四边形； （2）将沿翻折，得到，在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $