精品解析：山东聊城市某校2026-2027学年八年级上学期第一次测试数学试题

2026-2027学年第一学期第一次学情调研 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 2. 用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（ ） A. 三个内角都小于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个不小于 D. 三个内角至多有两个不小于 3. 如图所示，已知，则不一定能使的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 4. 如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题的个数是（ ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；⑤三角形的三条高交于一点 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（ ）米． A. 15 B. 13 C. 12 D. 18 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后的结果） 11. 已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 12. 如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 13. 在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 14. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为________． 15. 在中，是上一点，是上一点，、相交于点，，，，则的度数为__________． 16. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题（本题共7题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 填写下列空格：已知，如图，，，．求证：． 证明：（已知）， ________（ ） （ ）， ________（ ）． （已知）， （ ）， 即． ________（ ）， （ ）． 18. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 19. 如图，在中，点D在边上，点E在边上，点F，G在边上，与的延长线交于点M，连接．已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 20. 如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 21. 已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． （1）【初步探究】在中，，．作的平分线交于点D．在图①中，作于E，求的度数； （2）【迁移探究】在中，，，作的平分线交于点D．如图②，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； （3）【拓展应用】如图③，在中，，平分，点F在的延长线上，于E，求出与，之间的数量关系． 23. 在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 （1）直角风格的装置 如图，当时，求证：，； （2）六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； （3）猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情调研 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，再根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，即边之间的夹角， 即． 2. 用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（ ） A. 三个内角都小于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个不小于 D. 三个内角至多有两个不小于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反证法与命题的否定，熟练掌握反证法和命题的否定是解题的关键，反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不小于60°”的反面是“所有内角都小于”，即可得到答案． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不小于”， ∴其反面为“所有内角都小于”， 故选：A． 3. 如图所示，已知，则不一定能使的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 4. 如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在和中， ， ∴． 5. 下列命题中，真命题的个数是（ ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；⑤三角形的三条高交于一点 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行公理、点到直线的距离、垂线性质、平行线性质及三角形高的性质．需逐一分析各命题的正确性．熟练掌握所学公理即定理是解题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题； ②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，②是假命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是真命题； ④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④是假命题； ⑤三角形的三条高所在的直线交于一点，⑤是假命题； 综上，真命题为③，只有１个． 故选：A． 6. 如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 如图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 8. 如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线的定义，利用角平分线性质和外角性质推导角之间的数量关系即可． 【详解】解：的平分线与外角的平分线交于点， ，， 是的外角， ，即， 又是的外角， ， ， ，即， ． 9. 同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（ ）米． A. 15 B. 13 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得 ，利用同角的余角相等证明 ，从而证得 ，利用全等三角形性质即可得出  ． 【详解】解：由题意可知 ，，  ．  ，  ． 又 ，  ．  又∵ ．  ．  ，， ∴，  ∴ ． 即教学楼的高度是 15 米． 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后的结果） 11. 已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得和的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，且的周长为16， ∴的周长为16， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得：， 当时，三角形三边长为3，7，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 12. 如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 【答案】① 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“”可以作出与原三角形全等的三角形； ②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出与原三角形全等的三角形． 13. 在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，角的和差计算，需要分情况讨论垂足的位置，垂足在线段上和垂足在线段的延长线上，利用直角三角形两锐角互余求出，再结合已知条件求出，最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：是边上的高线， ，， 在中，， ， ， ， 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时， ， ②当垂足在线段的延长线上（点在，之间）时， ， 综上可得：的度数为或． 14. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】直尺上下两边互相平行，利用平行线的内错角相等，先求出三角板下方与对应的内错角，再结合等腰直角三角板的角，通过角的差计算出． 【详解】解：直尺的对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，三角板下方与相等的内错角为． 已知三角板含锐角，由角的和差关系： ． 15. 在中，是上一点，是上一点，、相交于点，，，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质，先由和求出的度数，再由和求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， 是的外角， ． 16. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题（本题共7题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 填写下列空格：已知，如图，，，．求证：． 证明：（已知）， ________（ ） （ ）， ________（ ）． （已知）， （ ）， 即． ________（ ）， （ ）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换；等式的性质； ；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，继而得出，由得出，继而得出，即可得证． 【详解】略． 18. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：， ． ． ， ． 在和中 ． 【解析】 【分析】首先证明，再根据定理判定即可． 【详解】略 19. 如图，在中，点D在边上，点E在边上，点F，G在边上，与的延长线交于点M，连接．已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再证明即可得证； （2）首先求得，再根据平行线的性质，求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， ． 20. 如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． 【答案】，理由如下： 平分 ， ． 又 ． ， 又 ， 同理： 又， ． 【解析】 【分析】先证明，得出，进而证明，再根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． （1）【初步探究】在中，，．作的平分线交于点D．在图①中，作于E，求的度数； （2）【迁移探究】在中，，，作的平分线交于点D．如图②，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； （3）【拓展应用】如图③，在中，，平分，点F在的延长线上，于E，求出与，之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得； （2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得； （3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：在中，，，， ， 平分， ， 在中，， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：在中，， 平分， ， 在中， ， ， ． 23. 在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 （1）直角风格的装置 如图，当时，求证：，； （2）六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； （3）猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】（1）证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； 【小问3详解】 解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $