21.3 实践与探探 第1课时 面积问题 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

第1课时 面积问题 21.3 实践与探索 学习目标 1. 能根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解； 2. 能根据实际意义检验结果是否合理（边长为正、不超过墙长）； 3. 掌握围栏、道路平移等常见面积题型的建模思路。 2 导入新课 回顾与思考 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 问题1 解一元二次方程有哪些方法？ ①审题， ②设未知数， ③找等量关系，④列方程， ⑤解方程，⑥检验，⑦答. 问题2 列一元一次方程解应用题的步骤： 那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？ 围栏问题 一 如图，学校为美化环境，在靠墙一侧设计了一块矩形花圃ABCD,其中墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m 例1 （1）若花圃的面积为120，求 （3）花圃的最大面积是多少？ （2）花圃的面积能达到130吗，请说明理由. 花圃一边AB的长. A B C D 　基础型 （1）设 AB 的长是 x m，则BC的长为(32 − 2x) (32 − 2x)x = 120 由题意得， 解得 x1 = 6 （舍），x2 = 10. 花圃一边 AB 的长为10 m 解： （2）花圃的面积不能达到130 理由如下：令花圃的面积为130 (32 − 2x)x = 130 则 注意： 靠墙的那部 分墙长 整理得 x2 − 16x + 65 = 0. 方程无实数根 花圃的面积不能达到130 （3）设 AB 的长是 x m，则BC的长为(32 − 2x) (32 − 2x)x = 130 则花圃的面积为： (32 − 2x)x = 当时，花圃的面积有最大值，为128 变式1 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？ D C B A 解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得 (58 − 2x)x = 200， 整理得 x2 − 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = 4. 答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m，50 m. 变式1 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？ D C B A 当 x = 25 时，58 − 2x = 8； 当 x = 4 时，58 − 2x = 50. 此处和例1有什么区别，两个解都可以取吗？ 想一想 8 　带隔墙花圃 如图，利用长为24m篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔一道篱笆的长方形花圃，设垂直墙边长 AB=x，如果要围成面积为45的花圃，求AB的长. x 24−3x 解： 则平行墙边长 m 且 由题意得： 只列式不求解 带门猪舍 如图，一农户要建成一个矩形猪舍，猪舍的一边利用12m的住房墙，另三边25m长得建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围成的矩形猪舍的长宽分别为多少时，猪舍的面积为80. 住房墙 12 m x 26−2x 1 解：如图，设垂直墙边长 AB=CD=x 门宽1m，总长相当于26m 平行墙边长 BC=26−2x 只列式不求解 10 变式　带隔墙猪舍 其他条件不变，中间再隔一道垂直于墙的围栏，门宽仍1m，面积仍80，求此时猪舍的长宽. 住房墙 12 m x 26−3x 1 解：设垂直墙边长 x m 平行墙边长m 且 只列式不求解 归纳 围栏模型 有长为m的栅栏，利用它和一面墙围成矩形场地 设矩形场地垂直于墙面的边长是 x ,矩形场地的面积为S 注意：若墙有限制，则平行于墙面边长≤墙长， 留门相当于延长栅栏. 类型一　道路平移问题 学校生物小组有一块长32m、宽20m 的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵横开辟一条等宽小道，要使种植面积为540，求小道宽. 32 m 20 m 若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 32x 整理得： 20x x2 思考： x 32×20－(32x＋20x)＋x2=540 等宽小路问题 二 类型一　道路平移问题 学校生物小组有一块长32m、宽20m 的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵横开辟一条等宽小道，要使种植面积为540，求小道宽. 32 m 20 m x 想一想： 还有其它的列法吗？ 32-x 20-2x (20-x)(32-x)=540 类型一　道路平移问题 学校生物小组有一块长32m、宽20m 的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵横开辟一条等宽小道，要使种植面积为540，求小道宽. 解：设小道宽x米 长 宽 解得 （舍）， 32 m 20 m x 变式一　两纵一横小道 学校生物小组有一块长32m、宽20m 的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵横开辟两条纵向、一条横向的等宽小道，要使种植面积为540，求小道宽. 32 m 20 m x 解：设小道宽 x 米。 长 宽 只列式不求解 变式二　L 形小道 解：设小道宽 x 米 长 宽 学校生物小组有一块长32m、宽20m 的矩形试验田，为了方便管理，准备开辟如图所示 L 形小道（拐角等宽），要使种植面积仍为540，求小道宽. 32 m 20 m x 只列式不求解 解：设小道宽 x 米 长 宽 学校生物小组有一块长32m、宽20m 的矩形试验田，为了方便管理，准备开辟如图所示小道，小道为平行四边形（底等于小道宽），其余条件不变，要使种植面积仍为540，求小道宽. 变式三　平行四边形小道 32 m 20 m x 只列式不求解 18 归纳 等宽小路问题模型 方法：利用平移集中分散图形，转化成规则图形 图形变换 20 取一张长与宽之比5:2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状包装盒，要使包装盒容积200，问这张长方形纸板的长和宽分别为多少厘米？ 解：设长，宽cm 高 5，盒长 盒宽 5x : 2x = 5 : 2 只列式不求解 无盖纸盒问题 三 当堂练习 1.某村的李老伯想利用一长为a米的旧墙及总长为24米的旧木料建筑猪舍三间，请你帮李老伯计算一下，如果要使猪舍的总面积为32，那么应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？有什么影响？ A B C D 解：设猪舍的宽米, 根据题意，得 解得： 当时，可以建筑长、宽分别是8米、4米或16米、2米的猪舍. 旧墙的长度a对猪舍的长度有影响, 影响如下，当的猪舍 当时，可以建筑长是8米，宽是4米的猪舍 2.如图，要在屋前的空地上围矩形花圃ABCD,花圃的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长15m,在平行于墙的一边开1m宽的门.设垂直于墙的一边AB为xm. （1）用含有x的代数式表示 （2）若矩形花圃ABCD的面 墙 A D B C x 门 BC的长为 积为，求AB的长. 解： 墙长 10 m， ， 解得： AB的长为6. 由题意得， 解得： 由题意得， 当时， 不符合题意 当时， 符合题意 AB的长为6. 此处也可以先求出解之后再验根 3.如图在长32m、宽20m的长方形地面修等宽道路（阴影），余下部分种上草坪，要使草坪面积为540，求路宽x. 道路 平移草坪可拼成长宽各减x的长方形 整理得 解得： （舍） 路宽 2 m 4.有一张长为40cm、宽28cm 矩形纸板，将纸板四角各剪去同样一个边长xcm 的正方形，制成一个底面积 364的无盖长方体纸盒纸盒根据题意可列方程为？ 40 cm（原纸板长） x 四角各剪x，底面长宽各减2x 底面长cm， 宽cm 解： 课堂小结 一、围栏模型 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为面积 将等宽道路平移，种植部分拼成新矩形，面积 三、解题步骤：审、设、找、列、解、验、答； ∵ 边长为正、不超过墙长， ∴ 必须检验结果是否符合实际。 二、等宽小路模型 (道路平移模型) ， 28 $