21.3 第1课时　用一元二次方程解图形面积问题（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用一元二次方程解图形面积问题”，核心知识点涵盖图形面积计算及增长率问题。课堂从矩形试验田开辟小道问题导入，通过“试一试”平移转化面积，再设计茶园路宽、包装盒等任务，搭建从实际情境到数学模型的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以“茶文化”“校园”等真实情境为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过列方程、验根培养数学思维的推理与运算能力，用代数式和方程模型体现数学语言的应用。如平移小道简化面积计算，培养几何直观，助力学生提升应用意识，也为教师提供丰富实例与系统练习，提高教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 21.3 第1课时　用一元二次方程解图形面积问题 2026年8月4日 华东师大版九年级上册21.3第1课时 用一元二次方程解图形面积问题练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 一个矩形的长为$$x\mathrm{cm}$$，宽比长少2cm，面积为48cm²，则列方程正确的是（） A.$$x(x-2)=48$$ B.$$x(x+2)=48$$ C.$$2x+2(x-2)=48$$ D.$$x^2-2=48$$ 2. 正方形的边长增加3cm，面积增加45cm²，设原正方形边长为$$x\mathrm{cm}$$，方程为（） A.$$(x+3)^2-x^2=45$$ B.$$(x+3)^2=45$$ C.$$x^2+3^2=45$$ D.$$x(x+3)=45$$ 3. 长方形操场长30m、宽20m，现拓宽修整，长和宽同时增加$$x\mathrm{m}$$，面积变为800m²，下列方程正确的是（） A.$$(30+x)(20+x)=800$$ B.$$30\times20+x^2=800$$ C.$$(30+x)\times20=800$$ D.$$30\times(20+x)=800$$ 4. 一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为14cm²，设较短直角边为$$x\mathrm{cm}$$，可列方程（） A.$$x(x+3)=14$$ B.$$\dfrac{1}{2}x(x+3)=14$$ C.$$x(x-3)=14$$ D.$$\dfrac{1}{2}x(x-3)=14$$ 5. 在长24m、宽18m的矩形空地中，修筑宽度相同的小路，剩余草坪面积为352m²，设小路宽为$$x\mathrm{m}$$，下列列式符合题意的是（） A.$$(24-x)(18-x)=352$$ B.$$24\times18-x^2=352$$ C.$$(24-x)(18-x)=24\times352$$ D.$$24x+18x=352$$ 6. 已知矩形面积为60，长与宽的和为16，则矩形的长和宽分别为（） A.10、6 B.12、4 C.15、1 D.8、8 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 矩形的长为$$x$$，宽为4，面积为20，则可列一元二次方程为________。 2. 正方形面积为$$25\mathrm{cm^2}$$，若边长增加$$x\mathrm{cm}$$，面积变为$$36\mathrm{cm^2}$$，则方程为________。 3. 一个矩形周长为28，面积为48，设长为$$x$$，则宽为________，可列方程________。 4. 直角三角形两直角边之和为10，面积为12，设一条直角边为$$x$$，方程为________。 5. 一块长40cm、宽30cm的矩形铁皮，四角截去相同的小正方形，折成无盖长方体盒子，底面积为600cm²，设小正方形边长为$$x\mathrm{cm}$$，列方程为________。 6. 矩形长比宽多5，面积为150，则矩形的宽为________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）用一元二次方程解决下列基础图形面积问题： (1)已知矩形长比宽多3cm，面积为54cm²，求矩形的长和宽。 (2)正方形边长增加2cm，面积增加24cm²，求原正方形边长。 14.（12分）现有一块长32m、宽20m的矩形草坪，计划在四周修整等宽的绿化带，剩余草坪面积为540m²，求绿化带的宽度。 15.（14分）一个直角三角形的两条直角边长度相差5cm，三角形面积为30cm²，求该直角三角形的两条直角边长。 16.（14分）如图，在长28cm、宽20cm的矩形纸板上，横竖各留有一条宽度相同的缝隙，剩余部分拼成完整矩形区域且面积为504cm²，求缝隙的宽度。 参考答案 1.A &nbsp;2.A &nbsp;3.A &nbsp;4.B &nbsp;5.A &nbsp;6.A 7.$$4x=20$$（整理：$$4x-20=0$$）&nbsp; 8.$$(5+x)^2=36$$ &nbsp;9.$$14-x$$、$$x(14-x)=48$$ &nbsp;10.$$\dfrac{1}{2}x(10-x)=12$$ &nbsp;11.$$(40-2x)(30-2x)=600$$&nbsp;12.$$10$$ 13.解：(1)设宽为$$x\mathrm{cm}$$，长为$$(x+3)\mathrm{cm}$$，$$x(x+3)=54$$ 整理得$$x^2+3x-54=0$$，解得$$x_1=6，x_2=-9$$（舍去）。 长：$$6+3=9(\mathrm{cm})$$。答：长9cm，宽6cm。 (2)设原边长为$$x\mathrm{cm}$$，$$(x+2)^2-x^2=24$$，解得$$x=5$$。 答：原正方形边长为5cm。 14.解：设绿化带宽为$$x\mathrm{m}$$，由题意得$$(32-2x)(20-2x)=540$$ 整理得$$x^2-26x+55=0$$，解得$$x_1=1，x_2=25$$（舍去）。 答：绿化带宽度为1m。 15.解：设较短直角边为$$x\mathrm{cm}$$，较长边为$$(x+5)\mathrm{cm}$$， $$\dfrac{1}{2}x(x+5)=30$$，整理得$$x^2+5x-60=0$$， 解得$$x_1=5，x_2=-10$$（舍去），另一边为10cm。 答：两直角边长为5cm和10cm。 16.解：设缝隙宽度为$$x\mathrm{cm}$$，$$(28-x)(20-x)=504$$ 整理得$$x^2-48x+56=0$$，解得$$x_1=2，x_2=46$$（舍去）。 答：缝隙宽度为2cm。 命题说明（约420字） 本套练习题适配华东师大版九年级上册21.3第1课时用一元二次方程解图形面积问题，严格沿用整套试卷统一的题型、分值与难度梯度，聚焦本章核心应用题考点，是一元二次方程实际应用的基础重点题型，适配课后巩固与课堂检测。 习题设计贴合教材考法，梯度清晰、重难点突出。选择题主打基础建模，涵盖矩形、正方形、直角三角形、小路裁剪等经典面积模型，训练学生快速根据图形特征列方程的能力，纠正长宽增减混淆、三角形面积漏乘系数的高频错误；填空题侧重式子列写与简单求解，强化建模思维，夯实题型基础；解答题选取课本经典必考模型，包含边长变化、绿化带宽度、无盖盒子、缝隙裁剪等高频题型，完整覆盖本节核心考点。 本节核心解题思路为：设未知边长，结合图形面积公式列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负数、超范围增根。整套习题针对性训练学生“审题—建模—解方程—验根作答”的完整解题流程，帮助学生熟练掌握图形面积类应用题的解题技巧，规避实际问题取值误区，为后续增长率、营销类应用题学习筑牢基础。 （全文约1050字） 使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程. 学习目标 问题 1 学校生物小组有一块长 32 m、宽 20 m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条 等宽的小道. 要使种植面积为 540 m2，小道的宽应是多少？ 20 32 小道的占地面积与位置无关. 你发现了什么？ 探索新知 20 32 设小道宽为 x m， 则两条小道的面积分别是 32x m2 和 20x m2，其中重叠部分小正方形的面积为 x2 m2， 根据题意，得 x x 32×20－32x－20x + x² = 540. 移项，得 x2－52x + 100 = 0， 解得 x1 = 50，x2 = 2， 由题意可得 x＜20，所以 x = 2. 20 32 x x 如果设想把小道平移到两边，如图所示，小道所占面积是否保持不变？ 试一试 由题意可得： (20 – x)( 32 – x) = 540 解得 x1 = 50，x2 = 2 由题意可得 x＜20， 所以 x = 2. 任务一 优化茶园路宽 1．如图，观光茶园有一块正方形的空地，计划将其改造为矩形平台(空白部分)，搭建一个休息亭，剩余区域建造宽为1 m和2 m的小路(阴影部分)，供游客活动，若平台的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(　　) A 举一反三 2．如图，观光茶园计划在一块长为60 m，宽为40 m 的矩形观赏游乐区的四周修建同样宽度的通道，设通道宽为a m．若通道所占面积与观赏游乐区的面积相等，则此时通道的宽度为________． 10 m 举一反三 在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意： 1. 分析题意，抓住等量关系； 2. 列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决； 3. 求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意， 最后得到实际问题的解答. 3．如图，为方便游客停车，观光茶园设计了如下的停车场平面示意图(示意图为矩形)，停车场外围的长为30 m，宽为19 m，若停车位总占地面积为390 m2，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 举一反三 解：设车道的宽为x m，根据题意，得(30－x)(19－x)＝390， 解得x1＝4，x2＝45(不符合题意，舍去)． 答：车道的宽为4 m. 举一反三 学校计划在一块长 16 m、宽 10 m 的矩形空地上修建一个矩形花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的等宽小道(如图)，剩余的地方种植花草. 若种植花草的面积为 126 m2，则小道的宽度应为多少米？ 类型 方法 规则 图形 不规则 图形 常利用规则图形的面积或周长公式以及勾股定理等建立方程求解 常采用割补、平移或旋转等方法，将其转化为规则图形，再根据面积间的关系列方程求解 学校计划在一块长 16 m、宽 10 m 的矩形空地上修建一个矩形花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的等宽小道(如图)，剩余的地方种植花草. 若种植花草的面积为 126 m2，则小道的宽度应为多少米？ 转化 弯道改直，面积不变。 解: 设小道的宽度应为 x m. 依题意，得 (16－2x)(10－x)＝ 126. 整理，得 x2 －18x + 17 ＝ 0. 解得 x1 ＝ 1，x2 ＝ 17 (不合题意，舍去). 答: 小道的宽度应为 1 m. 不要忘记检验，一般两个根中只有一个符合实际意义. 任务二 建设茶文化体验区 4.【新情境】为了增加游客体验感和弘扬中国茶文化，观光茶园计划利用一面墙(墙的最大可利用长度为25 m)，用栅栏围成一个矩形宣传区ABCD(靠墙一面不用栅栏)，中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示的位置留两个1 m宽的小门，一个区域用来给游客提供制茶、品茶服务，另一个区域用来讲解茶文化．若所用栅栏的总长度为52 m，设栅栏BC的长为x m，解答下列问题： 举一反三 (1)AB＝________m(用含x的代数式表示)； (2)若要围成面积为240 m2的矩形宣传区ABCD，则栅栏BC的长为________； (54－3x)　 10 m 举一反三 (3)矩形宣传区ABCD的面积能不能等于280 m2？请说明理由． 不能．理由：依题意，得x(54－3x)＝280， 整理，得3x2－54x＋280＝0， Δ＝(－54)2－4×3×280＝－444<0， 所以方程无实数根． 所以矩形宣传区ABCD的面积不能等于280 m2. 举一反三 问题 2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 分析 若每次降价的百分率为 x 56 元 56(1－x)(1－x) 56(1－x) 第一次降价 第二次降价 = 31.5 这与讨论增长率问题中的数量关系是否相似？有什么不同？ 问题 2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 解 设每次降价的百分率为 x，根据题意，得 56(1－x)2 = 31.5. 解这个方程，得 x1 = 0.25，x2 = 1.75. 因为降价的百分率不可能大于 1，所以 x2 = 1.75 不符合题意. 经检验，x = 0.25 = 25% 符合本题要求. 答：每次降价的百分率为 25% . 某口罩生产厂生产的口罩 1 月份平均日产量为 20000 个，1 月底因市场对口罩需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从 2 月份起扩大产能，3 月份平均日产量达到 24200 个. （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为多少？ 基础量(起始量)(1 月份) 第 1 次增长后的量(2 月份) 第 2 次增长后的量(3 月份) 4 月份 20000 20000(1 + x) 20000(1 + x)2 24200(1 + x) 解: （1）设口罩日产量的月平均增长率为 x . 根据题意，得 20000 (1 + x)2 ＝ 24200， 解得 x1 ＝ 0.1 ＝ 10％ ，x2 ＝－2.1 (不合题意，舍去). 答: 口罩日产量的月平均增长率为 10％ . （2）24200×(1 + 10％ ) ＝ 26620 (个). 答: 预计 4 月份平均日产量为 26620 个. 增长（降低）率 不能取负值. （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为多少？ 1. 学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为 18 cm 和 12 cm 的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验，彩纸面积 为相片面积的 时较美观. 求所镶彩纸的宽. (精确到 0.1 cm) 【选自教材第41页 练习 第1题】 解: 设所镶彩纸的宽为 x cm. 由题意，得 (18 + 2x)(12 + 2x)－18×12 ＝ 18×12× . 整理，得 x2 + 15x－36 ＝ 0. 解得 x1 ＝ (不合题意，舍去)， x2 ＝ ≈ 2.1 . 答:所镶彩纸的宽约为 2.1 cm . 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 2. 以初速度 v0 竖直上抛的物体的高度 h 与时间 t 满足关系式 h = v0t－gt2 (g 为重力加速度，g ≈ 10 m/s²). 竖直上抛的物体 以初速度 v0 = 20 m/s 上升，经过多长时间物体离地 15 m？ 【选自教材第41页 练习 第2题】 解: 由题意，得 15 ＝ 20t－×10t2 . 整理，得 t2 －4t + 3 ＝ 0. 解得 t1 ＝1，t2 ＝ 3. 答: 经过 1 s 或 3 s 物体离地 15 m. 3. 某工厂 1 月份的产值是 50000 元，3 月份的产值达到 60000 元， 这两个月产值的月平均增长率是多少？( 精确到 0.1%) 【选自教材第41页 练习 第3题】 解: 设这两个月产值的月平均增长率为 x. 由题意，得 50000 (1 + x )2 ＝ 60000， 解得 x1 ≈ 0.095 ＝ 9.5％ ，x2 ≈ －2.095 (不合题意，舍去). 答: 这两个月产值的月平均增长率约为 9.5％ . 【选自教材第41页 练习 第4题】 4. 据某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动 获奖情况的统计，七年级时有 48人次获奖，之后逐年增加， 到九年级毕业时累计共有 183 人次获奖，求这两年中获奖 人次的年平均增长率. 解:设这两年中获奖人次的年平均增长率为 x . 由题意，得 48 + 48 (1 + x) + 48(1 + x)2 ＝183. 整理，得 16x2 + 48x－13 ＝ 0. 解得 x1 ＝ ＝25％ ，x2 ＝－ (不合题意，舍去). 答: 这两年中获奖人次的年平均增长率为 25％ . 任务三 设计特色茶叶包装盒 5．观光茶园计划设计一个专属特色茶叶包装盒，设计师先用一张长为80 cm，宽为40 cm的矩形硬纸板进行尝试．具体方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小矩形，折成一个如图②所示的有盖长方体包装盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 举一反三 (1)若包装盒的高为5 cm，求该包装盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 解：由题意知，BC＝40－2×5＝30(cm)， 由题意知AE＋BH－AB＝2×5＝10(cm)，AE＋BH＋AB＝80 cm，解得AB＝35 cm，所以该包装盒的底面ABCD的边BC，AB的长分别为30 cm，35 cm. 举一反三 (2)若包装盒的底面积为600 cm2.求该包装盒的高． 举一反三 应用2 与动点有关的面积问题 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，当点P到达点B或点Q到达点C时，两点停止移动，已知点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动时间为t s. 举一反三 (1)△PBQ的面积为______________(用含t的代数式表示)； (2)当△PBQ的面积等于8 cm2时，求t的值； (－t2＋6t)cm2 令－t2＋6t＝8，解得t＝2或t＝4. 举一反三 (3)是否存在△PBQ的面积等于10 cm2？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由：令－t2＋6t＝10，整理， 得t2－6t＋10＝0，所以Δ＝(－6)2－4×1×10＝－4<0， 所以方程无实数根，故不存在△PBQ的面积等于10 cm2. 举一反三 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤: 审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系 设未知数 根据题目中的等量关系，列出方程（注意单位要统一） 解方程，求出未知数的值 检验方程的根能否保证实际问题有意义 写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则 审 答 验 解 列 设 课堂小结 谢谢观看 THANKS A.＝18 B．x2－3x＋16＝0 C.＝18 D．x2＋3x＋16＝0 解：设该包装盒的高为x cm，则BC＝(40－2x)cm，AB＝＝40－x(cm)，所以40－2x>0，40－x>0，所以x<20， 依题意，得(40－2x)(40－x)＝600， 解得x＝10或x＝50(舍去)．所以该包装盒的高为10 cm. $