精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试卷

哈九中2026—2027学年度高二上学期 10月份考试数学学科试卷 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线和直线平行，则的值为（   ） A. 1 B. C. 1或 D. 5. 点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 6. 已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知圆，点在椭圆运动，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线关于直线的对称直线的方程为 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B. 若是上一点，则的最大值为 C. 若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D. 若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若 ，则的面积为 C. 记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D. 若M是圆 上任一点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则__________. 13. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 14. 已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），点是的内心，若，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题有5道题，总共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和圆 . （1）直线交圆C于A，B两点，求弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上， （1）求圆的标准方程； （2）圆，当为何值时，两圆外切？ 17. 如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． （1）当时，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求的值． 18. 已知椭圆：过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 19. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，A是椭圆C上一点，的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线l交椭圆于B，D两点，求面积的最大值； （3）若P是椭圆C上不同于顶点的动点，且和的斜率都存在，椭圆C的左、右顶点分别为，，直线交椭圆于另一点M，直线交椭圆于另一点N．若直线MN的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2026—2027学年度高二上学期 10月份考试数学学科试卷 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 3. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 4. 若直线和直线平行，则的值为（   ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 5. 点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系求解. 【详解】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 6. 已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出得到点P在以O为圆心、半径为的圆上即可计算求解. 【详解】由题可知以线段，为邻边所作的平行四边形是边长为1的菱形，， 所以， 所以点P在以O为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为. 故选：D 7. 已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此. 8. 已知圆，点在椭圆运动，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，依题意可得切点弦方程为，取的中点，连接，则，利用点到直线的距离公式及的范围计算可得. 【详解】设、、， 设切线上任意一点为，则，， 所以，即， 即切线的方程为， 同理可得切线的方程为， 所以且， 因为点、的坐标都满足方程， 所以直线的方程为， 取的中点，连接，则，， 又，即， 所以， 因为，所以，则， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线关于直线的对称直线的方程为 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，求出与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对C，求出直线的对称直线即可判断；对D，可得直线过原点的情况. 【详解】对A，直线与两坐标轴交于，，所以围成的三角形面积为，故A正确； 对B，点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对C，联立直线方程可得交点坐标，任取直线上点，设其对称点为，则，解得，故对称直线的斜率为，故方程为，即，故C错误. 对D，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为，故D错误. 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B. 若是上一点，则的最大值为 C. 若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D. 若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,圆由一般方程化为标准方程即可判断；对于B，可以利用圆的参数方程判断；对于C，直线即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，C错误；对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，通过点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于A,将配方得标准方程，显然圆心到轴距离为1，一条切线为，A正确； 对于B，令，，则，其中，所以的最大值为16，B正确； 对于C，直线，亦即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，但不能重合，所以没有最小值，C错误； 对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，即，解得，所以的取值范围是，D正确. 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若 ，则的面积为 C. 记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D. 若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则__________. 【答案】2或14 【解析】 【分析】利用双曲线标准方程及其定义计算即可求出结果. 【详解】由双曲线可知， 所以，因此的最小值为； 再由双曲线定义可知， 可知2或14. 故答案为：2或14 13. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 14. 已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），点是的内心，若，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】圆与相内切，切点分别为、、，由圆的切线的性质及椭圆的定义、结合三角形的面积公式和二倍角的正弦公式，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】 如图可得，圆与相内切，切点分别为、、， 由圆的切线的性质，可得，，， 由椭圆的定义可得， 即有，由，可得， 设圆的半径为，可得， 结合的面积公式可得，和， 即， 由于点是的内心，所以是的角平分线，即， 在直角中，， 则， 代入，可得， 由于，代入并化简可得，即， 所以椭圆的离心率. 四、解答题：本题有5道题，总共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和圆 . （1）直线交圆C于A，B两点，求弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）与 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长公式计算即得； （2）根据条件分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得切线方程. 【小问1详解】 由圆C：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 【小问2详解】 ① 当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为4， 恰等于半径，所以直线是圆的一条切线； ② 当直线斜率存在时，设切线方程为：即， 因直线与圆相切，则可得圆心到该直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为. 故所求切线有两条：与. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上， （1）求圆的标准方程； （2）圆，当为何值时，两圆外切？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，利用圆心到点和距离相等联立关于的方程，进而求解圆的方程； （2）利用两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，建立关于的方程求解. 【小问1详解】 设圆心，则圆心到点和距离分别为 ， 所以 ，即， 解得， 所以圆的半径，圆心， 故圆的方程为. 【小问2详解】 由圆，得， 故圆的圆心，设半径为，则. 两圆外切时满足， 又因为， 所以，解得. 17. 如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． （1）当时，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求的值． 【答案】（1） 连接交于点，连接，当时，点为中点，又是平行四边形，故点为中点，所以，平面，平面， 所以平面 （2）或 【解析】 【分析】(1) 连接交于点，连接，利用中位线证明即可； (2) 建立空间直角坐标系求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，中点，连接，因为为正三角形， 所以，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以， 因为，，所以，故两两垂直， 如下图以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以,,,， 因为，所以， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，故， 设二面角的平面角为，则，， 故， 解得或. 18. 已知椭圆：过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给信息以及之间的关系，列出等式求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出斜率的值，进而可解； （3）先考虑斜率不存在的情况，不符合条件；进而设直线的方程为，，联立方程，结合韦达定理，求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆过点，离心率为， 所以，解得， 所以，椭圆的方程为； 【小问2详解】 易知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得 ， 由韦达定理得， 若点为线段的中点，此时，解得， 将代入判别式，满足题意； 所以，直线的方程为，即； 【小问3详解】 斜率不存在的情况：直线，代入椭圆得交点， 此时，原点在以为直径的圆外，不符合条件； 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立方程，整理得 所以， 因为原点在以为直径的圆内，所以， 整理得： 进一步整理得：，解得 综上，直线斜率的取值范围为. 19. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，A是椭圆C上一点，的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线l交椭圆于B，D两点，求面积的最大值； （3）若P是椭圆C上不同于顶点的动点，且和的斜率都存在，椭圆C的左、右顶点分别为，，直线交椭圆于另一点M，直线交椭圆于另一点N．若直线MN的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）定值为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上任意一点到焦点的距离范围求出a、c，再由求出b，即可得到椭圆的标准方程. （2）利用椭圆的性质求焦点弦三角形面积的最大值. （3）先利用斜率公式表示出直线和直线的斜率，再联立椭圆方程，表示出直线MN的斜率，即可判断是否为定值. 【小问1详解】 由题意可知，的最大值为，最小值为， 即，，得，， 由，可得，因为，所以， 则椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 易知直线BD与x轴不重合，设直线BD的方程为， 联立，得，， 由韦达定理可得，， 所以， 所以三角形的面积为， 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，S取最大值，且. 【小问3详解】 设，满足， 已知直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 由椭圆C的标准方程为，且椭圆C的左、右顶点分别为，， 则， 可得，， 则， 设，， 联立，得， 由韦达定理，得，， 所以 ， 则， 同理，联立，得， ，， 所以 ， 则； 则 ， 故， 故为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $