25.3 实际问题与一元二次方程 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

25.3 实际问题与一元二次方程 知识清单 人教版（2024）九年级数学上册　第二十五章　一元二次方程　25.3 实际问题与一元二次方程 知识地图 ① 本节定位　25.1 认识方程、25.2 学会解方程，本节学着「用方程解决实际问题」。教材 P19—P24，分三个课时。 ② 建模六步　审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答。★ 其中「验」是本节最容易丢分的一步。 ③ 数字与面积　数字问题：用代数式表示数（两位数 10a + b、连续整数）。面积问题：勾股定理、周长公式、面积公式。 ④ 传播与变化率　传播问题： 型、1 + x + 型。变化率问题：。 ⑤ 循环问题　单循环（每两队只赛一场）：；双循环与互赠：。 ⑥ 本节最易丢分　一元二次方程常有两个根，而实际问题常常只接受其中一个 —— 舍去不合题意的根，是解题的一部分。 ⑦ 三课时安排　第 1 课时：数字与面积；第 2 课时：传播与平均变化率；第 3 课时：循环问题（教材 P2 的排球邀请赛就是这个模型）。 ⑧ 一句话　把实际问题「翻译」成方程，解完再「翻译」回实际 —— 两个方向都要走通。 一、本节定位、学习目标与重难点 第二十五章从「认识方程」开始，到「学会解方程」，本节把这些工具用到实际问题中去。教材 P19 的例 1 从一个三角形的问题开始，P20 的例 2 研究细绳围矩形，P21 的探究 1 讲传染病，P22 的探究 2 比较两种药品成本的下降情况。这些问题的共同点是：只用「一个未知数、一个一元二次方程」就能解决。 学习目标：① 会从实际问题中找出相等关系，列出一元二次方程；② 掌握列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）；③ 会用一元二次方程解决数字、面积与图形、传播、平均变化率、循环这几类常见问题；④ ★ 会根据实际意义检验方程的根，把不合题意的根舍去。 重　　点：找准相等关系列出方程；几类常见问题的等量关系与方程形态。 难　　点：★★ 检验并取舍方程的根。一元二次方程常常有两个根，而实际问题往往只有一个答案 —— 另一个根或者为负数、或者不是整数、或者超过了题目限定的长度，必须舍去。 二、建模通法：审、设、列、解、验、答 1. 六个步骤 用一元二次方程解决实际问题，和用一元一次方程、二元一次方程组解决实际问题，思路完全一样：先把题目里的数量关系「翻译」成方程，再把方程的解「翻译」回实际问题。所不同的是，一元二次方程往往有两个根，而实际问题常常只接受其中一个，所以下面第 ⑤ 步「验」必须认真做。 图 1　列一元二次方程解应用题的六个步骤：「验」要过两道关 —— 是不是原方程的根、是否符合实际意义 2. 六步中最容易被扣分的三处 ① 「设」要说清楚：设谁为 x、单位是什么，都要写出来。比如「设矩形的一边长为 x m」，不能只写「设 x」。 ② 「列」之前先写相等关系：用一句话把「谁等于谁」写明白，再把它写成方程。后面的例 5 用两种设法解同一个问题，靠的就是同一条相等关系。 ③ ★★「验」不是走过场：先看这个根是不是原方程的根（解方程有没有算错），再看它是否符合实际意义 ——长度必须为正、人数必须是正整数、增长率必须大于 0、下降率必须在 0 与 1 之间、不能超过题目限定的长度或数量。两道关都过了，才能写进「答」里。 ★ 教材原话：同一元一次方程、二元一次方程组一样，一元二次方程也是刻画某些实际问题中数量关系的一种数学模型。 三、数字问题 1. 先把「数」用代数式表示出来 数字问题的第一步不是列方程，而是把题目里的「数」翻译成含 x 的式子。常用的表示方法只有三条： ① 两位数：十位数字为 a、个位数字为 b，则两位数为 10a + b（不是 a + b，也不能写成 ab）。 ② 连续整数：三个连续整数可设为 x、x + 1、x + 2；三个连续奇数（或偶数）可设为 x、x + 2、x + 4。 ③ 和为定值的两个数：两个数的和是 s，设一个为 x，另一个就是 s − x。★ 若 s 是偶数，还可以设成 (s ÷ 2 + x) 与 (s ÷ 2 − x)，方程会更简单。 ★ 别忘了隐含条件：每一个数位上的数字都只能是 0 ~ 9 的整数，十位数字还不能为 0 ——这些条件在「验」的时候要用上。 例 1（教材 P19 例 1）　三边是三个连续正整数的直角三角形 题目：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 分析：「三个连续正整数」可以依次表示为 x、x + 1、x + 2；「直角三角形」提供相等关系 —— 两条直角边的平方和等于斜边的平方。 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x、x + 1、x + 2，其中 x 为正整数。 由勾股定理，得 整理，得 ，即 。 解这个方程，得 ，。 因为边长必须是正数，所以 x = −1 不符合题意，舍去；取 x = 3，此时三边长分别为 3、4、5。 答：三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3、4、5。 ★ 点评：「存在且只有一个」这个结论，正是靠舍去 x = −1 得到的。如果不检验，就会多出「三边长为 −1、0、1」这样荒唐的答案。 例 2（教材习题 25.3 第 1 题）　和为 26、积为 168 的两个数 题目：两个数的和是 26，积是 168，求这两个数。 分析：和已知，就设其中一个数为 x，另一个为 26 − x，再用「积是 168」列方程。这是「和为定值」这类问题的标准设法。 解：设其中一个数为 x，则另一个数为 26 − x。 由两数之积为 168，得 ， 整理，得 ，即 。 解得 ，。 答：这两个数是 12 和 14。 ★ 辨析：两个根 12 与 14 都是正数，也都不违反题意。它们其实说的是同一件事 ——当 x = 12 时，26 − x = 14；当 x = 14 时，26 − x = 12。所以「两个根」对应的仍是同一组数，答案只有一个：12 和 14。 例 3（教材习题 25.3 第 2 题）　两直角边之和为 14、面积为 24 的直角三角形 题目：一个直角三角形的两条直角边的和是 14，面积是 24，求这两条直角边的长。 分析：两直角边之和为 14，设一条为 x，另一条就是 14 − x；再用「面积是 24」列方程（直角三角形面积等于两条直角边乘积的一半）。 解：设一条直角边长为 x，则另一条直角边长为 14 − x。 由面积为 24，得 ，即 。 整理，得 ，即 。 解得 ，。 答：两条直角边的长分别为 6 和 8。 ★ 点评：和例 2 一样，两个根 6 与 8 分别对应「一条直角边」与「另一条直角边」，是同一个三角形的两条边，答案仍只有一个。顺带一提：6、8、10 是一组勾股数，斜边长正好是 10。 例 4（举一反三·数字问题）　个位数字的平方正好等于这个两位数 题目：有一个两位数，它的十位数字比个位数字小 3，个位数字的平方正好等于这个两位数，求这个两位数。 分析：十位数字与个位数字谁大谁小已经知道，那就设个位数字为 x，十位数字就是 x − 3，这个两位数可以写成 10(x − 3) + x。 解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为 x − 3。 这个两位数可以表示为 ，即 。 由「个位数字的平方正好等于这个两位数」，得 ， 整理，得 ，即 。 解得 ，。 当 x = 5 时，十位数字为 5 − 3 = 2，两位数是 25；当 x = 6 时，十位数字为 6 − 3 = 3，两位数是 36。两个根都符合「数字在 0 ~ 9 之间、十位数字不为 0」的条件，都保留。 答：这个两位数是 25 或 36。 ★ 检验：25 的个位数字 5，5 的平方是 25，符合；36 的个位数字 6，6 的平方是 36，也符合。★ 这道题和前面几道不同：两个根都符合题意，所以答案就有两个 ——「舍去一个根」还是「两个都保留」，只能由实际意义说了算。 四、面积与图形问题 1. 面积模型的等量关系从哪里来 面积类问题的相等关系，全部来自图形的周长公式、面积公式和勾股定理，而用它们的第 0 步永远是 —— 先把图画出来。 图形 相等关系从哪里来 最容易漏掉的条件 直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） 边长必须是正数 矩形 周长 = 2 ×（长 + 宽）；面积 = 长 × 宽 长与宽互换时是同一个矩形 菱形 面积 = 两条对角线乘积的一半 对角线都要为正，且和已给定 留边、铺路 剩余面积 = 总面积 − 空白（路）面积，或把剩余部分平移拼成矩形 剩余部分的长与宽都要为正 2. 画图标尺寸：面积问题的第一招 把图按题意画出来，再把每一条边用含 x 的代数式标在图上，相等关系往往一眼就能看出来。下图是本节要用的三个真实图形： 图 2　三类面积模型：细绳围矩形（周长与面积）、等宽十字路（平移拼矩形）、相框留边（外框减照片） 例 5（教材 P20 例 2 与 P21 思考）　用一根 40 m 的细绳围出 96 m2 的矩形 题目：用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：细绳围成矩形，矩形的周长就是绳长 40 m，所以两条邻边的和是 40 ÷ 2 = 20 m。设一条边长为 x m，另一条边就是 (20 − x) m，再用面积列方程。 解：设矩形的一边长为 x m，由周长为 40 m，得邻边长为 (20 − x) m。 由面积为 96 ，得 ， 整理，得 ，即 。 解得 ，。 答：能围成；这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m 和 12 m。 ★★ 关键辨析：方程有两个正根 12 和 8，为什么还说「唯一」？因为 12 与 8 只是同一个矩形的长与宽互换，把矩形转 90° 还是那个矩形 —— 「数学上的两个解」对应「实际中的同一个图形」。 ★ 教材 P21 的「思考」：还可以怎样设两邻边的长？因为两邻边的和是 20，也可以设它们为 (10 + x) m 与 (10 − x) m。 由面积为 96 ，得 用平方差公式展开，得 ，即 ，解得 x = 2 或 x = −2。 当 x = 2 时两边长为 12 m 与 8 m，当 x = −2 时两边长为 8 m 与 12 m，仍是同一个矩形，与前面的结论一致。 ★ 两句小结：① 设成 (10 + x) 与 (10 − x) 这种「关于一半对称」的形式，相乘时一次项自动抵消，方程只剩下 = 4，解起来轻松很多；② 无论怎么设，两个根对应的都是同一个矩形，所以「唯一」的结论不会变。 例 6（举一反三·矩形地面）　修等宽十字路，剩下 540 m2 草坪 题目：在长 32 m、宽 20 m 的矩形地面上，修筑两条互相垂直、宽度相等的道路（一条横向、一条纵向），余下部分种草坪。要使草坪的面积为 540 ，道路的宽应是多少米？ 分析：草坪被两条路分成了四块，直接算很不方便。但路是可以「平移」的：把纵向的路平移到左边、横向的路平移到上边，四块草坪正好拼成一个矩形，它的长是 (32 − x) m、宽是 (20 − x) m —— 面积与原来完全相同。 解：设道路的宽为 x m，把两条路分别平移到矩形的边上，则草坪拼成一个长 (32 − x) m、宽 (20 − x) m 的矩形。 由草坪面积为 540 ，得 整理，得 ， 解得 ，。 道路的宽不可能大于地面的宽 20 m，所以 x = 50 不符合题意，舍去；取 x = 2。 答：道路的宽为 2 m。 ★ 点评：这里再一次用到「验」：两个根都是正数，但 50 超过了 20 m，围不出来，必须舍去。★ 平移只是为了让方程好列，实际施工时路还在原来的位置，面积的大小不会因为平移而改变。 例 7（教材习题 25.3 第 7 题）　给照片配相框 题目：要为长 29 cm、宽 22 cm 的照片配一个相框，相框四条边的宽度都相等，并且相框边的面积（即边框的面积）是照片面积的四分之一。相框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？ 分析：照片面积是 22 × 29 = 638（c），相框边的面积是照片面积的四分之一，即 638 ÷ 4 = 159.5（c）。设边框宽为 x cm，外框的长与宽分别是 (29 + 2x) 与 (22 + 2x)，于是「外框面积 = 照片面积 + 边框面积」。 解：设相框边的宽度为 x cm，则外框的长为 (29 + 2x) cm、宽为 (22 + 2x) cm。 由题意，得 整理，得 ，即 。 这里 a = 8，b = 204，c = −319，Δ = = 41616 + 10208 = 51824。 代入求根公式，得 x = 。 因为 ≈ 227.6，所以 另一个根是负数，不符合题意，舍去。题目要求结果保留小数点后一位，所以取 x ≈ 1.5。 答：相框边的宽度约为 1.5 cm。 ★ 点评：求根公式中会冒出根号，但结果要按题目要求取近似值。★ 特别提醒：题目说的是「相框边的面积」，不是「相框（含照片）的面积」，一字之差，方程完全不同。 例 8（教材习题 25.3 第 6 题）　菱形的两条对角线 题目：一个菱形的两条对角线长之和是 10，面积是 12，求这个菱形的周长。 分析：菱形面积等于两条对角线乘积的一半。两对角线之和是 10，设一条为 x，另一条就是 10 − x。求出对角线后，还要用「菱形的对角线互相垂直平分」求边长。 解：设一条对角线长为 x，则另一条对角线长为 10 − x。 由面积是 12，得 ，即 。 整理，得 ，即 ，解得 ，。 两条对角线的长分别为 4 和 6（两个根仍然只是「谁是谁」的互换）。 菱形的对角线互相垂直平分，所以边长等于以两条半对角线为直角边的直角三角形的斜边： 边长 = = 所以这个菱形的周长为 （约为 14.4）。 答：这个菱形的周长是 。 ★ 点评：这道题先用「面积 = 对角线乘积的一半」列出方程，再用「对角线互相垂直平分」求出边长 —— 两个知识点接起来用，是中考几何应用题的常见套路。 例 9（举一反三·围墙模型）　用 30 m 篱笆靠 18 m 的墙围花圃 题目：用一段长 30 m 的篱笆，靠着一面长 18 m 的墙围成一个矩形花圃（墙作为花圃的一条边，篱笆不围这一边）。要使花圃的面积为 100 ，求与墙垂直的边长。 分析：篱笆只围三条边：两条与墙垂直的边，和一条与墙平行的边。设与墙垂直的边长为 x m，两条这样的边共用去 2x m 篱笆，剩下的 (30 − 2x) m 就是与墙平行的边长。 解：设与墙垂直的边长为 x m，则与墙平行的边长为 (30 − 2x) m。 由面积为 100 ，得 ， 整理，得 ，即 ，解得 ，。 下面把两个根都代回实际情境检查： 当 x = 10 时：与墙平行的边长 = 30 − 2 × 10 = 10（m），10 ≤ 18，没有超过墙长，符合题意。 当 x = 5 时：与墙平行的边长 = 30 − 2 × 5 = 20（m），20 > 18，超过了墙的长度，根本围不出来，不符合题意，舍去。 答：与墙垂直的边长为 10 m。 ★★ 从这道题学到的：「验」不只是看根是不是负数。有的根虽然是正数，却仍然围不出来 —— 比如超过了墙长、超过了绳长、超过了可用的数量。所以每道题都要把根代回实际情境中再核一遍。 五、传播问题 1. 两类「传播型」问题的数量关系 传染病、电脑病毒、消息转发这一类问题有共同的规律：每一个「已经患病（或被感染）」的对象，在下一轮里都会去传染若干个新的对象。「树干长分支」问题看上去很像，规律却不一样。下方把两个模型的每一层数量都画了出来，逐个对照着看： 图 3　两类「传播型」问题的数量关系树：传染病是 (1 + x)2，树干分支是 1 + x + x2 例 10（教材 P21 探究 1）　两轮传染后共有 121 人被传染 题目：某种传染病的传染速度很快。如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均 1 个人传染 x 个人。开始是 1 个人；第一轮里这 1 个人传染了 x 个人，所以第一轮后有 (1 + x) 个人患病；第二轮里，这 (1 + x) 个人每人都再传染 x 个人，所以第二轮后又增加 x(1 + x) 个人。★ 关键是：第一轮的患者在第二轮里还在继续传染。 解：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人。 根据题意，得 ， 即 。 两边开平方，得 1 + x = 11 或 1 + x = −11，所以 ，。 传染的人数不可能是负数，所以 x = −12 不符合题意，舍去。 答：每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人。 ★ 教材原话的追问：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人被传染？把 x = 10 代入，得（人）。也可以这样想：第三轮是以第二轮的 121 人为传染源，每人再传染 10 人，即 121 + 121 × 10 = 1331。 例 11（教材 P22 练习）　主干、支干、小分支的总数是 91 题目：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支。如果主干、支干和小分支的总数是 91，那么每个支干长出多少个小分支？ 分析：设每个支干长出 x 个小分支。主干只有 1 个，而且它不再长分支；第一轮长出 x 个支干；这 x 个支干各自再长出 x 个小分支，所以小分支共有 个。★ 主干退出，不再参与第二轮，这就是它和传染病的区别。 解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支。 根据题意，得 ， 整理，得 ，即 。 解得 ，。 小分支的个数不能为负，所以 x = −10 不符合题意，舍去。 答：每个支干长出 9 个小分支。 2. 两种模型只差一项，含义完全不同 模型 方程 为什么 传染病传播 = 121 原来的患者每一轮都继续传染，所以第二轮的传染源是 (1 + x) 个人 树干长分支 1 + x + = 91 主干不再分支，第二轮只有 x 个支干各自长出 x 个小分支 ★ 判断方法：问自己一句「第二轮里，参与传染（或参与分支）的到底是谁」。如果原来的对象还在继续，就是 型；如果原来的对象已经退出，就是 1 + x + 型。这一步想清楚了，方程就不会列错。 六、平均变化率问题 1. 一个公式管住所有的增长与下降 「平均每年增长百分之几」「平均每次降价百分之几」这一类问题，变化前后的两个量之间有固定的关系： 通　　式：　——　a 是变化前的量，x 是平均增长（下降）率，n 是变化的次数，b 是变化后的量。 ★ 两个提醒：① 增长用 (1 + x)，下降用 (1 − x)；② 变化 n 次就乘 n 个括号 —— 两次变化就是平方，不要漏乘，也不要多乘。 图 4　平均变化率的量值变化：增长时每次乘 (1 + x)，下降时每次乘 (1 − x)，变化 n 次就乘 n 个括号 例 12（教材 P22 探究 2）　哪种药品成本的年平均下降率较大 题目：两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元。随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，乙种是 3 600 元。哪种药品成本的年平均下降率较大？ 分析：题目问的是「下降率」，不是「下降额」。先把两个下降额算出来，再把两个下降率都算出来，才能看出二者不是一回事。 解：甲种药品成本的年平均下降额是 (5000 − 3000) ÷ 2 = 1000（元）；乙种药品成本的年平均下降额是 (6000 − 3600) ÷ 2 = 1200（元）。单看下降额，乙种更大。 设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后成本为 5000(1 − x) 元，两年后成本为 5000 元，于是有 　即　 解得 。下降率不能为负，也不能大于 1（否则成本会变成 0 或负数），所以 1.775 不符合题意，舍去，甲约为 22.5%。 设乙种药品成本的年平均下降率为 y，同理有 6000 = 3600，即 ，解得 y ≈ 0.225。所以乙也约为 22.5%。 答：两种药品成本的年平均下降率相同，都约为 22.5%。 ★★ 重要结论：甲、乙的下降额不等（1000 元与 1200 元），下降率却相等。这说明「下降额」是绝对量、「下降率」是相对量，下降额大的，下降率不一定大 —— 要比较几个对象的变化情况，必须用下降率。 例 13（教材 P22 练习）　某厂产量的平均每月增长率 题目：某厂今年一月份的总产量为 500 t，三月份的总产量为 720 t。求平均每月增长率。 解：设平均每月增长率为 x。 从一月到三月，产量经过了「一月 → 二月」「二月 → 三月」两次变化，所以根据题意，得 ，即 。 两边开平方，得 ，所以 ，。 增长率不能为负，所以 不符合题意，舍去；取 。 答：平均每月增长率是 20%。 ★ 提醒：① 一月份到三月份是「两次」变化，所以用平方，不能写成 500(1 + 2x) = 720；② 增长率为负的根一定要舍去。 2. 变化率问题里必须守住的取值范围 ① 增长率 x > 0：「增长」意味着变化后的量比变化前大，所以 (1 + x) > 1。 ② 下降率 0 < x < 1：x 表示下降的百分比，不可能下降 100% 以上。像例 12 中的 1.775，它会使成本变成负数，必须舍去。 ③ 先分清「下降额」与「下降率」：下降额带单位（元、kg……），下降率不带单位（写成百分数）。题目问哪一个，就答哪一个。 七、循环问题 1. 从教材 P2 的排球邀请赛说起 第二十五章一开始，教材就给出了一个排球邀请赛的问题：赛制是单循环形式（每两支球队之间比赛一场），赛程计划安排 7 天、每天 4 场比赛 ——也就是一共 28 场，问组织者应邀请多少支球队参赛。这正是本节要研究的「循环问题」。设邀请 x 支球队，那么每支球队都要和其他 (x − 1) 支球队各赛一场，按球队数算是 x(x − 1) 场；但每一场比赛都被两个球队各算了一次，重复了一倍，所以实际场数是它的一半。 例 14（教材 P2 章首排球邀请赛）　单循环共 28 场 题目：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）。根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛。组织者应邀请多少支球队参赛？ 分析：先算出总场数 7 × 4 = 28（场），再寻找「球队数」与「场数」之间的关系。每支球队要和其他 (x − 1) 支各赛一场，把这些都加起来是 x(x − 1) 场，但甲与乙这一场既算在甲头上又算在乙头上，被算了两次，所以要除以 2。 解：设应邀请 x 支球队参赛。 根据题意，得 ，即 。 解得 ，。 球队数不能为负，所以 x = −7 不符合题意，舍去。 答：组织者应邀请 8 支球队参赛。 2. 单循环与双循环的分界：算一次，还是算两次 把 n 个对象两两配对，只有两种情形：一种「每两个对象之间只算一次」（握手、单循环赛），另一种「每两个对象之间算两次」（主客场各赛一场、互赠贺卡与相片）。下图用 4 个点画出了这两种情形： 图 5　单循环与双循环的连线示意：4 个对象单循环 6 场，双循环 12 场 类型 计数公式 举例 单循环（每两人握一次手、两队只赛一场） 4 队 6 场；8 队 28 场；10 队 45 场 双循环、互赠（主客场各一场、互送贺卡与相片） 4 队 12 场；10 队 90 场 例 15（教材习题 25.3 第 3 题）　双循环共比赛 90 场 题目：某足球联赛采用双循环赛制（每两支球队之间都比赛两场），如果赛季结束后共比赛 90 场，那么共有多少支球队参加比赛？ 分析：双循环是主客场各赛一场，甲队主场对乙队、乙队主场对甲队是两场比赛，都要算，所以不需要除以 2，总场数就是 x(x − 1)。 解：设共有 x 支球队参加比赛。 根据题意，得 ， 整理，得 ，即 。 解得 ，。 球队数不能为负，所以 x = −9 不符合题意，舍去。 答：共有 10 支球队参加比赛。 例 16（互赠类）　全班互赠相片共 1640 张 题目：某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了 1640 张相片。如果全班有 x 名学生，求全班学生的人数。 分析：「互赠」是每人都要送给其他所有人各一张，甲送给乙与乙送给甲是两张不同的相片，都要算，所以不用除以 2。 解：设全班共有 x 名学生。 根据题意，得 ， 整理，得 ， 这里 a = 1，b = −1，c = −1640，Δ = = 1 + 6560 = 6561 = 。代入求根公式，得 。 所以 ，。人数不能为负，所以 x = −40 不符合题意，舍去。 答：全班共有 41 名学生。 ★ 对比：例 14、例 15、例 16 的三个方程只差一个系数 2（ 与 ）。以后遇到「比赛场数」「握手次数」就想到除以 2；遇到「互赠」「互发消息」「主客场」就不要除。 3. 判断「算一次」还是「算两次」 ★ 三步判断法：① 先看题目说的是「每两队只赛一场」还是「主客场各赛一场」，是「每两人握一次手」还是「每人各送一张」；② 再问「甲对乙与乙对甲，算同一件事还是两件事」；③ 同一件事就除以 2，两件事就不除。 ★ 小技巧：单循环的场数一定是「两个连续整数乘积的一半」。比如 45 场 → 45 × 2 = 90 = 9 × 10，所以是 10 个队；66 场 → 66 × 2 = 132 = 11 × 12，所以是 12 个人。用这个方法可以快速验算。 八、易错清单与错解辨析 1. 八个高频失分点 ① 设未知数说不清楚：只写「设 x」，没写它是谁、单位是什么。应写成「设矩形的一边长为 x m」。 ② ★★ 解完就答，忘了检验取舍：一元二次方程常有两个根，实际问题往往只接受其中一个。不检验，答话里就可能出现负数长度、负数人数。 ③ 传播问题用错模型：把「两轮传染」写成 1 + x + （那是「树干长分支」的模型），或者漏乘一轮、只写成 1 + x。 ④ 变化率问题三个易错：一是下降率误写成 (1 + x)；二是变化了两次却只乘一个括号；三是把「下降额」当成「下降率」来回答。 ⑤ 循环问题除不除 2 搞反：单循环（每两队只赛一场）要用 ；双循环与互赠（甲对乙、乙对甲算两件）要用 。 ⑥ 舍根只看正负：例 6 中两个根 50 与 2 都是正数，但 50 超过了地面的宽 20 m，照样要舍去 —— 还要看它有没有超过题目限定的长度或数量。 ⑦ 数字问题写错代数式：两位数不能写成 ab，应为 10a + b；也不能漏掉「每个数位上的数字只能是 0 ~ 9 的整数」这个隐含条件。 ⑧ 忘记写「答」：应用题的最后一步是把方程的根「翻译」回实际问题，没有「答」这一步，阅卷时会直接扣分。 2. 错解辨析 【题目】有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患流感。每轮传染中平均一人传染了几人？ 【错解】设每轮平均一人传染 x 人，则 = 121，解得 x = 10。答：每轮平均一人传染 10 人。 【错因】写成 1 + x + 是把「第一轮被传染的 x 人」看成不再传染别人。实际上第二轮里，第一轮被传染的每个人也都会再传染 x 人。「传染源是否继续参与下一轮」决定用哪个模型 —— 传染病要继续，所以是 ；树干长分支不再参与，才是 1 + x + 。 【正解】设每轮平均一人传染 x 人。第一轮后有 (1 + x) 人，这 (1 + x) 人再各传染 x 人，所以第二轮后有 人。 　　，即 ，解得 ，。 　　人数不能为负，所以 舍去，取 。答：每轮平均一人传染 10 人。 【题目】某商品原价每件 200 元，经过两次降价后每件 128 元，每次降价的百分率相同，求这个百分率。 【错解一】把「下降」写成了「增长」，设每次降价的百分率为 x，却列出 ，即 ，解得 x = −0.2 与 x = −1.8，两个根都不合题意。 【错解二】只乘了一个括号：200(1 − x) = 128，解得 x = 0.36，答成「每次降价 36%」。 【错因】① 下降要用 (1 − x)，不是 (1 + x)；② 「两次降价」要乘两个括号，也就是平方。两者只要错一个，答案就全错。 【正解】设每次降价的百分率为 x，则 ，即 。 　　两边开平方，得 ，所以 ，。 　　下降率必须在 0 与 1 之间，所以 舍去，取 。答：每次降价 20%。 九、方法总结 1. 本节知识结构 图 6　本节知识结构：五类实际问题共用一条建模主线 —— 审、设、列、解、验、答 2. 一句话方法 找关系：数字问题找「和与积」；面积问题找「周长、面积、勾股」；传播问题找「每轮乘 (1 + x)」；变化率问题找 ；循环问题找「每两个之间算一次还是算两次」。 设未知数：和为定值时设一个为 x、另一个为「和 − x」；两个对象并列时，可以设成「一半 + x」与「一半 − x」，方程会更简单。 画个图：面积与图形问题先画图、标尺寸；等宽的道路可以先「平移」到边上，把四块草坪拼成一个矩形，方程就一目了然。 ★ 一定要验：先看它是不是原方程的根，再看它是否符合实际意义。「不合题意的根」也是解题的一部分，必须写出来再舍去。 十、课后巩固 （一）对接教材 P19—P24 例、习题的同类题（改编） 题 题目 答案 1 一个直角三角形的两条直角边的长相差 2 cm，面积是 24 c，求两条直角边的长。 两条直角边的长分别为 6 cm 和 8 cm。（设较短边为 x cm，则 ，解得 ，负根舍去。） 2 两个连续正整数的积是 156，求这两个数。 12 和 13。（设较小的数为 x，则 ，解得 ，，负根舍去。） 3 用一根长 20 cm 的铁丝围成一个面积为 21 c 的矩形，求它的长和宽。 长 7 cm、宽 3 cm。（设一边长为 x cm，则邻边为 (10 − x) cm，有 ，解得 或 ，两根都合题意，对应同一个矩形。） 4 某商品原价 200 元，经过两次降价后售价 128 元，每次降价的百分率相同，求这个百分率。 20%。（设百分率为 x，则 ，即 ，得 ，，后者舍去。） 5 某校八年级全体学生互发一条微信，共发了 1640 条，求这个年级的学生人数。 41 人。（设共有 x 人，则 ，即 ，解得 ，，负根舍去。互发消息时「甲发给乙」与「乙发给甲」是两条，所以不除以 2。） 6 参加一次围棋单循环赛的每两队之间都进行一场比赛，一共比赛 45 场，求有多少队参加。 10 队。（设共有 x 队，则 ，即 ，解得 ，，负根舍去。单循环每两队只赛一场，所以要除以 2。） （二）自编巩固（含答案，★ 不超纲） (7) 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 73，求每个支干长出多少个小分支。 　　答：设每个支干长出 x 个小分支，则支干有 x 个、小分支有 个，所以 ，即 ，解得 ，，负根舍去。所以每个支干长出 8 个小分支。 (8) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患流感，每轮传染中平均一人传染了几人？ 　　答：设每轮平均一人传染 x 人，则 ，即 ，解得 ，，负根舍去。所以每轮平均一人传染 8 人。 (9) 某厂第一季度产量是 1000 件，第三季度产量是 1210 件，求平均每季度的增长率。 　　答：设平均每季度的增长率为 x，则 ，即 ，两边开平方得 ，解得 ，，负根舍去。所以平均每季度增长 10%。 十一、技能自查 能否独立做到 自检 ① 说清列方程解应用题的六个步骤，并说明第 ⑤ 步「验」要过哪两道关 □ 能　□ 还不太熟 ② 用代数式正确表示两位数 、连续整数、和为定值的两个数 □ 能　□ 还不太熟 ③ 画图标尺寸，把面积与图形问题化为方程（面积公式、勾股定理） □ 能　□ 还不太熟 ④ 分清传播问题的两种模型： 与 1 + x + ，并说清它们的区别 □ 能　□ 还不太熟 ⑤ 写出平均变化率公式 ，并按题意正确取 n 的值 □ 能　□ 还不太熟 ⑥ 判断循环问题是「算一次」还是「算两次」：用 还是 。 □ 能　□ 还不太熟 ⑦ 解完一元二次方程后，检验并舍去不合题意的根，再写「答」 □ 能　□ 还不太熟 十二、知识追问（想清楚再合上本子） ① 一元二次方程常常有两个根，实际问题为什么常常只取一个？请从本节「例 1」「例 6」中各举一个例子，说明另一个根是怎样被舍去的。 ② 传染病用 、树干长分支用 1 + x + ，两个模型只差一项。请用「原来的对象是否继续参与下一轮」说明这一项差在哪里。 ③ 例 6 中把两条路「平移」到矩形的边上，草坪的面积为什么不变？这样做的最大好处是什么？ ④ 「下降额」与「下降率」有什么不同？例 12 中两种药品的下降额不相等，下降率却相等，这说明了什么？ ⑤ 单循环的场数是 ，互赠的张数是 。那个「除以 2」除掉的究竟是什么？请用「甲对乙」与「乙对甲」是不是同一件事来说明。 十三、本节在第二十五章中的位置与中考对接 1. 本节在章中的位置 章内课节 研究内容 与本节的联系 25.1 一元二次方程 认识方程、一般式、方程解 本节要先有「方程」 25.2 一元二次方程的解法 开平方、配方、公式、因式分解 本节第 ④ 步靠它 25.3 实际问题与一元二次方程（本节） 建模六步 + 五类模型 本节是本章的落脚点 第二十六章 二次函数 用函数观点研究二次式与方程 本节是它的应用题背景 2. 中考对接 本节是中考「方程与不等式」板块的常考点，多以 ★ ~ ★★ 的中档题出现，常考增长率与下降率、传播、面积与图形、循环、数字五类问题。共同套路是「设未知数 → 找相等关系 → 列方程 → 解 → 检验舍根 → 答」，其中「检验舍根」是拉开分差的一步。 3. 三个必背 ① 建模六步：审、设、列、解、验、答；「验」要过两道关 —— 是不是原方程的根、是否符合实际意义。 ② 五类模型：数字（、连续整数）、面积（周长、面积、勾股）、传播（ 或 1 + x + ）、变化率（）、循环（单循环 、双循环与互赠 ）。 ③ 舍根三看：看正负、看是否为整数、看是否超过题目限定的长度或数量。三个都过了，才能写进「答」。 4. 一句话总结 实际问题 → 设未知数 → 找相等关系 → 列方程 → 解 → 检验 → 答；方程常有两个根，实际答案常常只有一个 —— 会舍根，才算真正解完一道应用题。 学科网（北京）股份有限公司 $