精品解析：山东日照市东港区北京路中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

北京路中学八年级上学期数学试题 一、选择题（每小题3分） 1. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、，能构成三角形，不合题意； B、，能构成三角形，不合题意； C、，不能构成三角形，符合题意； D、，能构成三角形，不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 2. 如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（　　） A. CF B. BE C. AD D. CD 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B． 考点：三角形的角平分线、中线和高． 3. 如图所示，，，，点恰好落在线段上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据全等三角形和性质，可得，， ，再求出的度数，然后求出 的度数，根据三角形内角和定理即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等，对应边相等的性质，也考查了三角形内角和定理等于，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 4. 下列说法中错误的是( 　　 ) ． A. 一个三角形中至少有一个角不少于60° B. 三角形的中线不可能在三角形的外部 C. 直角三角形只有一条高 D. 三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、∵三角形的内角和等于180°， ∴一个三角形中至少有一个角不少于60°，故本选项正确； B、三角形的中线一定在三角形的内部，故本选项正确； C、直角三角形有三条高，故本选项错误； D、三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分，故本选项正确， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 5. 小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 【答案】C 【解析】 【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃. 故选C. 考点：全等的条件． 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边，于点．②分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，在内两弧交于点．③作射线交边于点，若，，则的面积是（ ） A. 15 B. 60 C. 45 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作于E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E， 由基本作图可知，平分， ∵平分，，， ∴， ∴的面积， 故选：B． 7. 如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用“”得到，则，然后利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于和的关系式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 8. 已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（ ） A. 60° B. 45° C. 75° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件证明△ABD≌△ACE，再根据外角的性质得到角的替换，求解即可． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形 ∴ 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠DAF=∠ABD， ∴∠AFD=∠ABD+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=60°， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，外角的性质，解决本题的管键是合理运用外角的性质进行角的替换． 9. 如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ， ． 故选：D． 10. 如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ） ① AE DC；②AHC120；③△AGB≌△DFB；④BH平分AHC；⑤GF∥AC A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，则可根据”SAS“判定△ABE≌△DBC，所以AE＝DC，于是可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠BDC，则可得到∠BAH＋∠BCH＝60°，从而根据三角形内角和得到∠AHC＝120°，则可对②进行判断；利用”ASA”可证明△AGB≌△DFB，从而可对③进行判断；利用△ABE≌△DBC得到AE和DC边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对④进行判断；证明△BGF为等边三角形得到∠BGF＝60°，则∠ABG＝∠BGF，所以GF∥AC，从而可对⑤进行判断． 【详解】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形， ∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°， ∵∠DBE＝180°−60°−60°＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC＝120°， ∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝DC，所以①正确； ∠BAE＝∠BDC， ∵∠BDC＋∠BCD＝∠ABD＝60°， ∴∠BAE＋∠BCD＝60°， ∴∠AHC＝180°−（∠BAH＋∠BCH）＝180°−60°＝120°，所以②正确； ∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°， ∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴AE和DC边上的高相等， 即B点到AE和DC的距离相等， ∴BH平分∠AHC，所以④正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴BG＝BF， ∵∠GBF＝60°， ∴△BGF为等边三角形， ∴∠BGF＝60°， ∴∠ABG＝∠BGF， ∴GF∥AC，所以⑤正确． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．也考查了等边三角形的性质． 二、填空题（每小题3分） 11. 如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处． 【答案】4． 【解析】 【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断． 【详解】解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故答案是：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 12. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别利用等边对等角和三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图1，当等腰三角形为锐角三角形时，，，， ∴， ∵， ∴， ∴这个等腰三角形底角的度数为； 如图2，当等腰三角形为钝角三角形时，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴这个等腰三角形底角的度数为； 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 13. 如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________； 【答案】 【解析】 【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出， ，推出，代入求出即可． 【详解】解：延长AP交BC于E，如下图． ∵BP平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 14. 如图所示，________． 【答案】360 【解析】 【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形内角和，如图：根据三角形外角的性质可得、，进而得到，最后根据四边形的内角和即可解答．将所求角的和转化为四边形的内角和是解题的关键． 【详解】解：如图：根据三角形外角的性质可得： 、， 则． 故答案为360． 15. 如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等． 【答案】2或 【解析】 【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ，解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或． 【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点交于交于，过点作于，在下列结论中：①：②若，，则；③当时，；④若，则．其中正确的结论为______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴ ，故①错误； 过O点作于P， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N， 于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上，②③④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的判定和性质定理等知识，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 三、解答题 17. 如图，在中，D是上一点，，交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据定理即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． （1）求证：． （2）试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为 ； （2）若，的面积为，求的长 （3）若，，求的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用周长定义进行求解； （2）三角形面积等于底乘高，先求出长，再利用中线定义求出； （3）利用三角形外角性质先求出，再利用角平分线定义、高线性质及三角形内角和定理求出，最后求出． 【小问1详解】 解：是中线， ； ，， ， ，， ， 则和的周长差为2； 【小问2详解】 是的高， ， ， ， ， 是中线， ； 【小问3详解】 ，， ， 平分， ， ， ， ， ． 20. 阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数． 如图，______；如图，_______； （2）如图，点为外角平分线的交点，请探究图中与的关系，并加以说明． 【答案】（1）； （2）与的关系为：．说明如下： 设，， 平分点处的外角，平分点处的外角， ，， 在中， ， ， 即， 在中， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）图利用三角形内角和求出两个内角之和，结合内角平分线定义，求出与之和，再在中计算；图利用三角形外角性质与一内一外角平分线，推导出与的数量关系并求值； （2）利用外角平分线定义，表示出的两个内角，再结合三角形内角和定理，探究与之间的关系式． 【小问1详解】 解：如图： 在中， ，， ， 平分，平分， ，， 在中， ， ； 如图： 是的外角， ， 平分，平分， ，， 又是的外角， ， ， 即， ， ； 【小问2详解】 略． 21. 【特例感知】 （1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 （2）请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【答案】（1） （2）解：， 理由如下： ， ， 在和中，， ， ，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可得：； （2）证明，根据全等三角形的性质可证； （3）证明，根据全等三角形的性质可得，根据，，即可求出的长度． 【小问1详解】 解：， 根据同角的余角相等，可得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是的外角， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，即， ． 22. 解决下列问题： （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； （2）问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）；；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京路中学八年级上学期数学试题 一、选择题（每小题3分） 1. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（　　） A. CF B. BE C. AD D. CD 3. 如图所示，，，，点恰好落在线段上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 4. 下列说法中错误的是( 　　 ) ． A. 一个三角形中至少有一个角不少于60° B. 三角形的中线不可能在三角形的外部 C. 直角三角形只有一条高 D. 三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分 5. 小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边，于点．②分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，在内两弧交于点．③作射线交边于点，若，，则的面积是（ ） A. 15 B. 60 C. 45 D. 30 7. 如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（ ） A. 60° B. 45° C. 75° D. 70° 9. 如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ） ① AE DC；②AHC120；③△AGB≌△DFB；④BH平分AHC；⑤GF∥AC A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每小题3分） 11. 如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处． 12. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为_____． 13. 如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________； 14. 如图所示，________． 15. 如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点交于交于，过点作于，在下列结论中：①：②若，，则；③当时，；④若，则．其中正确的结论为______． 三、解答题 17. 如图，在中，D是上一点，，交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． （1）求证：． （2）试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 19. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为 ； （2）若，的面积为，求的长 （3）若，，求的大小． 20. 阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数． 如图，______；如图，_______； （2）如图，点为外角平分线的交点，请探究图中与的关系，并加以说明． 21. 【特例感知】 （1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 （2）请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 22. 解决下列问题： （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； （2）问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $