精品解析：山东济南市历城区华山中学2026-2027学年上学期10月学情自测八年级数学测试

10月份八年级数学测试 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 2的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ，且， ∴ 2的算术平方根是． 2. 下列运算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则，以及算术平方根、立方根的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 3. 下列各图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，并不是有唯一确定的值与之对应，故不是的函数，符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意． 4. 在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：因为目标在第三象限， 所以其坐标的符号是， 各选项只有A符合题意． 5. “凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据题中给出的两点坐标建立坐标系即可得出B点坐标． 【详解】解：根据点，，建立直角坐标系如下图： 则， 故选：C． 6. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐项判断能否得到直角三角形即可． 【详解】解：选项：∵ ∴设，， ∴，， ∴，是直角三角形，故选项不符合题意； 选项：∵， ∴设，，，由三角形内角和得解得 ， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 选项：∵， ∴， 又∵， ∴，得， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； 选项：∵， ∴设，则， ∴，， ∴，是直角三角形，故选项不符合题意． 7. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 8. 已知点，下列说法正确的是（ ） A. 点M到x轴的距离是4 B. 点N在第二象限 C. 轴 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标特征，结合点到坐标轴的距离，象限的划分，平行坐标轴的直线的坐标特征，两点距离的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：∵点，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，∴点M到x轴的距离是，A错误． 对于选项B：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，∴点N在第四象限，B错误． 对于选项C：∵点M和点N的纵坐标相同，∴轴，C错误． 对于选项D：∵，，纵坐标相同，线段的长度为横坐标差的绝对值，∴，D正确． 9. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 边上的高为2 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；利用三角形面积公式即可判断C；设边上的高为h，根据三角形面积公式求出h，即可判断D． 【详解】解：A．，故A正确； B．∵，， ∴ ∴，故B正确； C．∵ ∴ ∴，故C错误； D．∵ ∴ 设边上的高为h ∴，即 ∴ ∴边上的高为2，故D正确． 10. 如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，等边三角形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，由等边三角形的顶点规律得出“点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内”是解题的关键． 观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环，由可知，点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内，该等边三角形的边长为，连接，设的坐标为（，），由等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环， ， 点是第个等边三角形的第个顶点， 点在第四象限内，该等边三角形的边长为， 如图，连接， 设的坐标为（，）， 由等边三角形的对称性可知： ， 点是该等边三角形的中心， ， ， ， 根据勾股定理可得：， 即：， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. 比较大小：______（填，或号）． 【答案】 【解析】 【分析】直接比较分子大小即可，分子越大则分数越大． 【详解】解：∵，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的大小比较，在比较同分母的分数的大小时，可以直接比较分子的大小． 12. 若最简二次根式和能合并，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴被开方数相同，即， 解得：， 当时，，是最简二次根式，且被开方数与相同，故能合并． 故答案为：2． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特点，掌握关于y轴对称的两个点的坐标特点成为解题的关键．根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，进一步求解即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴． 故答案为：8． 14. 若函数是正比例函数，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】由题意得：，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】解答本题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 15. 小张准备乘出租车到距家超过的图书馆参观，出租车的收费标准如下： 里程数/km 收费/元 以内（含） 7.00 以外每增加1km 2.00 则小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据出租车收费标准，总车费为以内的收费与以外超出部分收费的和，据此列代数式即可得到函数关系式． 【详解】解：由题意得，当时，超出的里程为， 因此应付车费， 故小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于x轴的对称点A′，连接CA′，EA′，求出AC＋BD的最小值为EA′，即可求得答案． 【详解】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于x轴的对称点A′，连接CA′，EA′． 则E（−2，4），A′（0，−2），AC＋BD＝CA′＋CE≥EA′， ∵EA′＝， ∴AC＋BD的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，勾股定理，将AC＋BD的最小值转化为EA′是解本题的关键． 三、解答题（共9小题） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先化简二次根式，再计算除法和减法即可； （2）先化简二次根式，再计算加减法即可； （3）先计算乘法，再计算加减法即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减法即可； 熟练掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 18. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求此时点的坐标； （2）若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； （3）若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据轴上点的坐标特征进行解答即可； （）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行解答即可； （）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征进行解答即可； 本题考查了坐标与图形，熟知轴上及平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴或， 解得或， 当时，，， ∴点坐标为； 当时，，， ∴点坐标为， ∴点的坐标为或． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． ； （2）7 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查作图﹣轴对称变换、坐标与图形、三角形的面积、绝对值方程等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点关于y轴对称的点，然后顺次连接即可完成作图，再直接读出点的坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）设点P的坐标为，根据题意可列绝对值方程为，求出a的值，即可确定点P的坐标． 【小问1详解】 解：由图可得，． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵的面积为8， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 20. 某中学物理组的教师们，需要购置某种教学仪器．经物理组教师讨论，现有以下两种购置方案： 方案一：到商店直接购买成品，每件仪器单价为8元； 方案二：教师自己制作，需购买原材料，每件仪器所需原材料费用为4元，另需支付制作工具租金120元． 设现在教师需要教学仪器x件，方案一的总费用为元，方案二的总费用为元． （1）写出，关于x的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围） （2）当添置教学仪器多少件时，两种方案所需的总费用相同？ （3）若教师计划添置教学仪器60件，则采用哪种方案更便宜？ 【答案】（1）， （2）当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同 （3）选择方案二费用便宜 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式，求函数值，一元一次方程的应用． （1）方案一：总费用仪器的单价仪器的数量；方案二：总费用每件制作的成本仪器的数量工具的租用费，据此可得出方案一和方案二的函数关系式； （2）本题只需令（1）中得出的两个函数关系式相等，求出x的值，即可求得两种方案所需的费用相同时，仪器的件数； （3）可将分别代入（1）中的两个函数式中，得出函数的值，然后比较哪种方案更便宜即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，； 【小问2详解】 依题意， 即， ∴， ∴当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同； 【小问3详解】 把分别代入，中， 得，， ∵， ∴当需要的仪器为60件时，选择方案二费用便宜． 21. 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，下表是家庭户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/ 单价/（元/） 第一档 3.6 第二档 4.8 第三档 5.6 （1）当和时，分别写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1648元，求该户去年一年的用水量． 【答案】（1）当时，；当时， （2）该户这一年的水费为960元 （3）该户去年一年的用水量为 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出水费与用水量的关系式即可； （2）将代入（1）中所求得的解析式计算即可； （3）先判断该户居民的用水量，然后将代入解析式，求出即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，，整理得； 【小问2详解】 解：将代入得，元， 答：该户这一年的水费为960元； 【小问3详解】 解：当用水量为时，需交水费元， 当用水量为时，需交水费（元）， ， ， 当时，， 把代入得，， 解得， 答：该户去年一年的用水量为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，，，将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处，点在边上． （1）直接写出点的坐标； （2）求的长； （3）求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意直接求解即可； （2）由折叠性质及勾股定理求解即可； （3）由折叠性质及勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处， ， 在中，，则由勾股定理可得； 【小问3详解】 解：由（2）知，则， 设，则， 将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处，点在边上， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 解得， 点的坐标为． 23. 在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： （1）化简： ； （2）比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） （3）设有理数、满足：，则 ； （4）已知，则__________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题干规律直接作答即可； （2）根据题干规律将已知两式进行变形为两个二次根式相加，然后比较大小即可； （3）根据题干规律化简，再根据、为有理数对比未知数的系数，即可得解； （4）根据平方差公式计算，即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，， ， ，即； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 、为有理数， 与均为有理数， ； 【小问4详解】 解： ， ， ． 24. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2） （3）证明：， 等式左边等式右边； （4）①；②18 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【小问1详解】 解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ①解： ． ②， ， ， ． 25. 平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． （1）求A、B两点的坐标； （2）在射线上是否存在点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练运用坐标运算、分类讨论思想和相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的被开方数非负性求出，的值，进而确定A、B两点的坐标； （2）设出点D的坐标，根据等腰三角形的三种分类（、、），结合两点间距离公式求解； （3）先求出直线的解析式，设出点M的坐标，通过证明三角形全等得到线段关系，再结合三角形面积公式列出方程求解． 【小问1详解】 解：∵a、b满足， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：存在点D，使为等腰三角形． ∵，， ∴在中，由勾股定理可得， ∵在射线上存在点D，使为等腰三角形， ①若， ∴， ∵此时点D在轴负半轴， ∴； ②若，则点D与点重合， ∴； ③若，则， ∴； 综上所述，或或． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 过点作轴，交轴于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵点、关于轴对称， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月份八年级数学测试 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 2的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（       ） A. B. C. D. 3. 下列各图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 5. “凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 8. 已知点，下列说法正确的是（ ） A. 点M到x轴的距离是4 B. 点N在第二象限 C. 轴 D. 9. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 边上的高为2 10. 如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. 比较大小：______（填，或号）． 12. 若最简二次根式和能合并，则a的值为______． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是______． 14. 若函数是正比例函数，则的值为______________． 15. 小张准备乘出租车到距家超过的图书馆参观，出租车的收费标准如下： 里程数/km 收费/元 以内（含） 7.00 以外每增加1km 2.00 则小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（共9小题） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求此时点的坐标； （2）若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； （3）若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标． 20. 某中学物理组的教师们，需要购置某种教学仪器．经物理组教师讨论，现有以下两种购置方案： 方案一：到商店直接购买成品，每件仪器单价为8元； 方案二：教师自己制作，需购买原材料，每件仪器所需原材料费用为4元，另需支付制作工具租金120元． 设现在教师需要教学仪器x件，方案一的总费用为元，方案二的总费用为元． （1）写出，关于x的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围） （2）当添置教学仪器多少件时，两种方案所需的总费用相同？ （3）若教师计划添置教学仪器60件，则采用哪种方案更便宜？ 21. 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，下表是家庭户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/ 单价/（元/） 第一档 3.6 第二档 4.8 第三档 5.6 （1）当和时，分别写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1648元，求该户去年一年的用水量． 22. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，，，将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处，点在边上． （1）直接写出点的坐标； （2）求的长； （3）求点的坐标． 23. 在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： （1）化简： ； （2）比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） （3）设有理数、满足：，则 ； （4）已知，则__________． 24. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 25. 平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． （1）求A、B两点的坐标； （2）在射线上是否存在点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $