湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

学校 班级 姓名 学 号 04”+04444404404”4.44+04044400444”4040444”+044444440040444044+44。”4+44044044.444440.4444404044404044444”444404 ……小… 密封线内 不 要答题 2026年秋季高一数学一 命题人：李翊 审题人：赵意扬李鑫 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列表述正确的是 A.0∈N B.∈{0} C.0二{0} D.ZCO 2.已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1,3,5},则CuA中 元素个数为 A.8 B.5 C.3 D.0 3.函数f(x)-3x 1 三的定义域为 A{≥-引 B.{xx≥-3} c{>-》 D.{x|x>-3} 4.“x>1”是“<1成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5已知x>2,则代数式x十己2的最小值为 A.2 B.4 C.3 D.无最小值 6.已知实数a,b,设A={2,a十1，b},B={2,3,a,b},若A二B,则 b2= A.1 B.2 C.4 D.3 7.已知函数fx)满足fx)+2f(）=2x+兰+3，则f(2)= A.3 B.4 C.5 D.6 8.已知集合A={x∈Zx2一(m+3)x+2m+2≤0}恰有15个真子 集，则m的取值范围为 A.(-3,-2]U[4,5] B.[-3,-2]U[4,5) C.(-3,-2]U[4,5) D.[-3,-2]U[4,5] 高一数学试卷(Q)第1页（共6页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知a,b,c,d均为实数，下列说法正确的是 A若6>a>0,则日>7 B.若a>b,c>d,则a-d>b-c C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若ac2>bc2,则a>b 10.下列命题是真命题的有 A.“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不 充分条件 B.“AUB=A”是“B二A”成立的充分不必要条件 C.每个定义域为R的二次函数的图象都是轴对称图形 D.存在无理数，它的立方是有理数 1,x∈A, 11.已知全集为R,对于给定数集A,定义函数f(x)= 为 O,xEA 集合A的特征函数，若函数f(x)是数集A的特征函数，函数 g(x)是数集B的特征函数，则 A.y=f(x)+g(x)是数集AUB的特征函数 B.y=f(x)g(x)是数集A∩B的特征函数 C.y=f(x)一f(x)g(x)是数集A∩(CRB)的特征函数 D.y=f(x)十g(x)一2f(x)g(x)是集合CR(A∩B)的特征函数 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.命题“HxZ,x3一2x+1<0”的否定是 18不等式当引>牛当的解集为 14.已知a>0,b∈R,若x>0时，关于x的不等式 (ax-2)(x2+bx-4)≥0恒成立，则b+4的最小值为 高一数学试卷(Q)第2页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16,17题15分，第18， 19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.（本题满分13分) 已知集合A={xm一6≤x≤2m,m∈R},B={xx<-3或x≥2}： (1)若AUB=R,求m的取值范围； (2)若A二B,求m的取值范围. 高一数学试卷(Q)第3页（共6页） 16.（本题满分15分) 2026年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布 了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京 大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科 技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高 新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入 固定成本6200万元，生产x千件该产品，需另投人成本F(x)万 8x2+100x+7200,0<x<60, 元，且F(x)= 901x+8100-12195,x≥60， 假设该产品对外 销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全 部售完 (1)求出全年的利润G(x)万元关于年产量x千件的函数关 系式； (2)试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出 最大利润 17.（本题满分15分) 设f(x)=mx2-m.x-6+m. (1)若Vx∈[1,3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若Vm∈[一2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围； (3)已知m∈R,解关于x的不等式f(x)<m一x一5. 高一数学试卷(Q)第4页（共6页） 18.（本题满分17分) 某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生 了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实：不等式αb ≤（生，a>0,6>0可以推广至n阶.即：若实数a,a,a 均大于0，那么ag…a,≤色十针…十八，请利用上述 事实解决下列问题： (1)若x∈(o,号)，求x(1-3x)的最大值，并指明取最大值时x 的值； (2)将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为y 的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体 的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少？ (3)试证明，对任意的正整数，不等式1+)”<(1+十) 成立 高一数学试卷(Q)第5页（共6页） 19.(本题满分17分) 已知集合A中含有三个元素x,y,之，同时满足①x<y<之；②x +y>z;③x十y+之为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集 合Sm={1,2,3,…,2n}(n∈N*,n≥4)，对于集合Sm的非空子集 B,若Sn中存在三个互不相同的元素a,b,c,使得a十b,b十c,c十 a均属于B,则称集合B是集合Sn的“期待子集” (1)试判断集合A={1,2,3,5,7,9}是否具有性质P,并说明 理由； (2)若集合B={3,4,a}具有性质P,证明：集合B是集合S4的 “期待子集”； (3)已知集合M二Sn,证明：“集合M具有性质P”的充要条件是 “集合M是集合Sm的‘期待子集”. 高一数学试卷(Q)第6页（共6页） 2026年秋季高一数学一参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C B D C C ABD ACD BC 1.D【解析】对于A,0￠N",A错误；对于B,⑦二{0}，B错误；对于C,0∈{0}，C错误；对于D,ZCQ,D正确. 2.B【解析】因为U=1,2,3,4,5,6,7,8},所以CuA={2,4,6,7,8},CuA中的元素个数为5. 3C【得折由3x+1>0,得公-号所以画数人)=V行的定又城为>-号} 4.A【解析】当x>1时，由不等式的性质可得1<1，即“>1”→“1<1”； 当<1时，不坊取x=-1,则x<1,故“<1”沙x>1 x 所以>1”是“士<”成立的充分不必要条什。 5.B【解析】因为x>2→x-2>0, 所以x+已2=(x-2)+2+2≥2√x-2》·2+2=4, 当且仅当x一2=之2即x=3时取等号， 则代数式x十二的最小值为4 6.D【解析】，A二B,.集合A中的元素都在集合B中，又a十1≠2且a十1≠a. 若a十1=3，解得a=2,则集合B有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 故a+1=b,此时∈{3，a},若b=a,则b-b+1=0,方程无实数根， 故b=3,经验证， 当b=√3时，A={2,w3,3},B={2,3W3-1W3}: 当b=一√3时，A={2,-√5,3}，B={2,3,-√3-1，一√3}，均满足题意. 7.C【解析】因为fx)+2})=2x+1+3,分别令x=2,x=, 2)+2f(2)=9, f(2)=5, 联立得 解得 r3)+2f(2)=12,(合)=2. 8.C【解析】由x2-(m+3)x+2m+2≤0，得(x-2)[x-(m+1)]≤0，因为集合A={x|x2-(m+3)x+2m+2≤0} 恰有15个真子集，故不等式恰有4个整数解，则-2<m+1≤-1或5≤m+1<6,所以一3<m≤-2或4≤m<5. 9,ABD【解析】选项A,若6>。>0，则品>06~六>a·即>7，选项A正确； 选项B,若a>b,c>d,则a-b>0,d-c<0,a-b>d-c,即a-d>b-c,选项B正确； 选项C,若a>b,c>d,取a>0,b<0,c=0,d<0,则ac=0,bd>0,ac<bd,选项C错误； 选项D,若ac2>bc2,c2>0,则a>b,选项D正确. 10.ACD【解析】对于A,显然两个三角形全等必然有面积相等，直角边为3,4的直角三角形与直角边为2,6的直角三 角形面积相等且不全等，所以面积相等的三角形未必全等，所以“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形余等”的 必要不充分条件，故A正确； 高一数学参考答案(Q)一1 对于B,“AUB=A”当且仅当B是A的子集，即当且仅当“B二A”成立， 所以“AUB=A”是“B二A”成立的充分必要条件，故B错误； 对于C,所有的定义域为R的二次函数的图象都是轴对称图形，故C正确； 对于D,若x=2,则x是无理数，而x3=2,即x3是有理数，故D正确. 11.BC【解析】如图所示：I部分表示A∩B,Ⅱ表示A∩(CRB), R Ⅲ表示表示B∩(CRA),N表示(CRA)∩(CRB), 对于A,当x∈AUB时，若x取值在I部分，则f(x)=1,g(x)=1,则f(x)十g(x)=2; V 不符合特征函数的定义，即y=f(x)十g(x)不是数集AUB的特征函数，A错误； 对于B,当x∈A∩B时，f(x)=1,g(x)=1,故f(x)g(x)=1, 当x年A∩B时，f(x),g(x)中至少有一个为0，此时f(x)g(x)=0, 符合特征函数的定义，即y=f(x)g(x)是数集A∩B的特征函数，B正确； 对于C,当x∈A∩(CRB)时，f(x)=1,g(x)=0,则f(x)-f(x)g(x)=1; 当x氏A∩(CxB)时，即x取值在I,Ⅲ，IV部分， 若x取值在I部分，f(x)=1,g(x)=1,则f(x)一f(x)g(x)=0, 若x取值在Ⅲ部分，f(x)=0,g(x)=1,则f(x)-f(x)g(x)=0, 若x取值在V部分，f(x)=0,g(x)=0,则fx)一f(x)g(x)=0, 故此时符合特征函数的定义，即y=f(x)一f(x)g(x)是数集A∩(CRB)的特征函数，C正确； 对于D,当x∈CR(A∩B)时，即x取值在Ⅱ，Ⅲ，V部分， 当x取值在上图中IVN部分时，此时f(x)=0,g(x)=0,则f(x)+g(x)-2f(x)g(x)=0, 不符合特征函数定义，故y=f(x)十g(x)一2f(x)g(x)不是集合CR(A∩B)的特征函数，D错误. 三、填空题 12.3x任Z,x3-2x十1≥0【解析】命题“/x￠Z,x3-2x+1<0”的否定是“3xZ,x3-2x+1≥0”. 13.(一2,1)【解折]解不等式当>共当等价于求共当<0的解，故解集为（一2,1D。 14.4【解析】诺>0，>0，(a-2)+b-4≥0恒成立，即a(-2）2+ba-4)≥0恒成立， 所以二次式与一次式在(0，十∞)有相同的解， 故r+bx一4=(x一吕)(x十2a)才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又(-2）x+2a)=+(2a-2)k-4,故6=2a-号 6叶吾-2a-名+4=2a+名≥2√2a·名=4，当且仅当2a=名即a=1时，等号成立，故6叶兰的最小值为4 四、解答题 15.【解析】(1)因为A={x|m-6≤x≤2m,m∈R},B={x|x<-3或x≥2}，AUB=R, m-6≤-3， 所以 解得1≤m≤3，即m的取值范围为[1,3].…5分 (2m≥2， (2)当A=心时，满足A二B,此时m-6>2m,解得m<-6. 〔m-6≤2m,.m-6≤2m, 当A≠0时， 或〈 (2m<-3,(m-6≥2， 解得-6≤m<-是或m≥8， 综上，m<-号或m≥8，即m的取值范国为(-0，-是)U[8,十o). 高一数学参考答案(Q)一2 16.【解析】(1)当0<x<60时，G(x)=900x-(8x2+100.x+7200)-6200=一8.x2+800x-13400, 当x≥60时，G0x)=90z-(901x+8100-12195）-620=-(x+8100)+595, x -8x2+800x-13400,0<x<60, 所以G(x)= -(x+810）+59095,≥60， …6分 (2)若0<x<60,则G(x)=-8.x2+800x-13400,当x=50时，G(x)mx=6600; 若≥60.Gx)=-(+809)+595≤-2.8+595，当且仅当x=810,即=90时，等号成立，此时 x x G(x)mx=5815. 因为6600>5815，所以该企业全年产量为50千件时，所获利润最大为6600万元.…15分 17.【解析】(1)要使f(x)=mx2-mx一6+m=m(x2一x十1)一6<0在[1,3]上恒成立， 即m(x2-x+1)<6,x∈[1,3]， 6 因为当x[1,3]时，t-x+1[1,7],则有m<2-+在[1,3]上恒成立， 6 6 6 所以<2-x+在[1,3]上恤成立，则mh(xm, 即m<号，故实数m的取值范国为(-∞，号）)， …4分 (2)设g(m)=f(x)=mx2-mx-6+m=m(x2-x+1)-6, 则g(m)是关于m的-次画数，且-次项系数为2-x十1=(-号)+是>0， 所以g(m)<0等价于g(2)=2(x2-x十1)-6<0，解得-1<x<2, 故实数x的取值范围为（一1,2）.… …8分 (3)由f(x)<m-x-5化简得m.x2+(1-m)x-1<0,即(mx+1)(x-1)<0, 当m=0时，x-1<0,解得x<1. 当m>0时，对于不等式(mx+1D(x-10<0,解得-<<1， 当-1<m<0时，对于不等式(mx十1)(x-1)<0,解得x<1或>-品， 当m=一1时，对于不等式(mx十1)(x-1)<0,解得x<1或x>1, 当m<-1时，对于不等式(mx十1)(x-1)<0,解得>1或<-品 综上所述：当m≤-1时，关于x的不等式解为(-0，一品)U(1,十o∞)， 当-1<m<0时，关于x的不等式解为(-©，1)U(-品十∞)： 当m=0时，关于x的不等式解为（一∞，1）； 当m>0时，关于x的不等式解为（一小 …15分 18【解折11r1-3x)=xx·x(1-3x)≤[++21-32]=当且仅当x=子时取得等号， 4 所以(1-3x)的最大值为6 ………4分 ②由题意0心<1，长方体的体软为：62-2y=子2-2)2-2)X4≤[2-2》十2-2》+丁 易当且仅当)=号时取等号， 高一数学参考答案(Q)一3 所以要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为子 ………9分 (3)证明：当=1时，左式=(1+1)1=2，右式=(1+号)°=是，且2<是 当≥2时，(1+)°=(1+)×(1+)×…×(1+)=(1+)×(1+)×…×(1+)×1 ++ n+1 n+1 -()-(+本)， 显然1+≠1，所以等号不能取，所以(1+元）”<(1+n十)” 筛上可知，(1+分)广<1十)广恒成立. …17分 19.【解析】(1)集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性质P,理由如下： (ⅰ)从集合A中任取三个元素x,y,之均为奇数时，x十y十之为奇数，不满足条件③. （iⅱ)从集合A中任取三个元素x,y,之有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设y=2,x<之， 则有之一x≥2，即之一x≥y,不满足条件②， 综上所述，可得集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性质P. …4分，未说明理由只给1分 (2)由3十4十a是偶数，得实数a是奇数， 当a<3<4时，由a+3>4,得1<a<3,即a=2,不合题意， 当3<4<a时，由3+4>a,得4<a<7,即a=5,或a=6(舍)， 因为3十4十5=12是偶数，所以集合B={3,4,5},… …7分，少讨论一种情况扣1分 令a十b=3,b+c=4,c十a=5,解得a=2,b=1,c=3, 显然a,b,c∈S4={1,2,3,4,5,6,7,8},所以集合B是集合S4的“期待子集”，得证.…8分 (3)先证充分性： 当集合M是集合Sn的“期待子集”时，由n≥4可知，存在三个互不相同的元素a,b,c,使得a十b,b十c,c十a均属于 M, 不妨设a<b<c,令x=a十b,y=a十c,之=b十c,则z<y<之，即满足条件①， 因为x+y-z=(a十b)+(a十c)-(b+c)=2a>0,所以x+y>z,即满足条件②， 因为x十y十z=2(a十b十c),所以x十y十之为偶数，即满足条件③， 所以当集合M是集合Sn的“期待子集”时，集合M具有性质P.… ……12分 再证必要性： 当集合M具有性质P,则存在x,y,z,同时满足①x<y<2;②x十y>z;③x十y十之为偶数， 令a=+)叶-，b=+)十-y,c=+)叶-，则由条件①得a<<c, 2 2 2 由条件②得a=中牛-g计>0， 2 由条件③得a,b,c均为整数， 因为一=对x-+)叶=+多二%+(》-二义-2一>0， 2 2 2 所以0<a<b<c<z,且a,b,c均为整数， 所以a,b,c∈Sn, 因为a十b=x,a+c=y,b十c=x, 所以a十b,b十c,c十a均属于M, 所以当集合M具有性质P时，集合M是集合Sm的“期待子集” 综上所述，“集合M具有性质P”的充要条件是“集合M是集合Sn的‘期待子集”.…17分 高一数学参考答案(Q)4