32.2.1 解直角三角形 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 人教版数学九年级 32.2.1 解直角三角形 专项练习（约1500字） ## 知识要点速记 ### 1. 解直角三角形定义 在直角三角形中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)由已知元素（边或角）求出所有未知元素的过程\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)叫做**解直角三角形**。 $Rt\triangle ABC$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\boldsymbol{\angle C=90^\circ}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)五个元素：三条边$\(\(a,b\),c\)$（$a$是$\angle A$对边\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$b$是$\angle B$对边\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$c$斜边）；两个锐角$\angle A,\angle B$。 ### 2. 三边关系（勾股定理） $$a^2+b^2=c^2$$ ### 3. 锐角关系 $$\angle A+\angle B=90^\circ$$ ### 4. 边角关系（锐角三角函数） $\sin A=\dfrac{a}{c},\cos A=\dfrac{b}{c},\tan A=\dfrac{a}{b}$ $\sin B=\dfrac{b}{c},\cos B=\dfrac{a}{c},\tan B=\dfrac{b}{a}$ ### 5. 解题条件 已知**两个元素\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)其中至少有一条边**\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)就可以解直角三角形。 - 已知两边：勾股定理求第三边；三角函数求锐角。 - 已知一边一锐角：互余求另一个锐角；三角函数求另外一条边。 ### 解题思路 1. 标记直角\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)分清已知边、角； 2. 先求角：利用两锐角互余； 3. 求边长：优先用原始已知数据计算\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)尽量不使用中间求出的近似值\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)减少误差； 4. 最后检验：三边满足勾股定理。 ## 一、选择题 1. 在$Rt\triangle ABC$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)下列关系式不正确的是（） A.$\angle A+\angle B=90^\circ$ B.$a^2+b^2=c^2$ C.$\sin A=\dfrac{b}{c}$ D.$\tan A=\dfrac{a}{b}$ >答案：C >解析：$\sin A=\dfrac{\angle A\text{对边}a}{斜边c}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)C错误。 2. 在$Rt\triangle ABC$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(c=10\)$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle A=30^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)则$a$的长为（） A.$5$　B.$5\sqrt3$　C.$10$　D.$10\sqrt3$ >答案：A >解析：$\sin A=\dfrac{a}{c},\sin30^\circ=\dfrac12=\dfrac{a}{10}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(a=5\)$。 3. 在$Rt\triangle ABC$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(a=3,b=3\)$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)则$\angle A$为（） A.$30^\circ$　B.$45^\circ$　C.$60^\circ$　D.$90^\circ$ >答案：B >解析：$\tan A=\dfrac{a}{b}=1$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle A=45^\circ$。 ## 二、填空题 4. 在$Rt\triangle ABC$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle A=50^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)则$\angle B=$______。 >答案：$40^\circ$ >解析：$\angle B=90^\circ-50^\circ=40^\circ$。 5. 在$Rt\triangle ABC$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(a=4,c=8\)$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)则$\sin A=$______。 >答案：$\dfrac12$ 6. 在$Rt\triangle ABC$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$a=\sqrt3,b=1$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)则$\angle B=$______。 >答案：$30^\circ$ >解析：$\tan B=\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle B=30^\circ$。 ## 三、解答题 7. 在$Rt\triangle ABC$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)已知$a=6,b=6\sqrt3$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)解这个直角三角形。 >解： ① 求斜边：$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$。 ② 求$\angle A$：$\tan A=\dfrac{a}{b}=\dfrac{6}{6\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\therefore \angle A=30^\circ$。 ③ $\angle B=90^\circ-\angle A=60^\circ$。 答：$c=12\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)\angle A=30^\circ\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)\angle B=60^\circ$。 8. 在$Rt\triangle ABC$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)已知$\(c=10\)$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle A=45^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)解直角三角形。 >解： ① $\angle B=90^\circ-45^\circ=45^\circ$。 ② $\angle A=\angle B$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(a=b\)$。 $\sin A=\dfrac{a}{c}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{10}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(a=5\)\sqrt2$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$b=5\sqrt2$。 答：$\angle B=45^\circ\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)\(a=b\)=5\sqrt2$。 9. 在$Rt\triangle ABC$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)已知$b=8\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)\angle B=60^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)求$\angle A$、$a$、$c$。 >解： ① $\angle A=90^\circ-60^\circ=30^\circ$。 ② $\tan B=\dfrac{b}{a}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\tan60^\circ=\sqrt3=\dfrac{8}{a}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)解得$a=\dfrac{8}{\sqrt3}=\dfrac{8\sqrt3}{3}$。 ③ $\sin B=\dfrac{b}{c}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{8}{c}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$c=\dfrac{16\sqrt3}{3}$。 答：$\angle A=30^\circ\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)a=\dfrac{8\sqrt3}{3}\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)c=\dfrac{16\sqrt3}{3}$。 10. 综合题：在$Rt\triangle ABC$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle C=90^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)已知$\sin A=\dfrac{4}{5}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(c=10\)$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)解这个直角三角形。 >解： ① $\sin A=\dfrac{a}{c}=\dfrac45$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(c=10\)$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\dfrac{a}{10}=\dfrac45$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(a=8\)$。 ② $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。 ③ $\sin A=\dfrac45=0.8$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle B=90^\circ-\angle A$。 也可计算：$\tan A=\dfrac{a}{b}=\dfrac86=\dfrac43$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\tan B=\dfrac34$。 答：$\(a=8\)\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)b=6\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)\angle A$满足$\sin A=\dfrac45\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)\angle B=90^\circ-\angle A$。 11. 拓展题：△ABC中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$CD\perp AB$于D\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle A=30^\circ\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)\angle B=45^\circ\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)CD=6$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)求AB的长。 >解： $Rt\triangle ACD$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle A=30^\circ\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)CD=6$。 $\tan A=\dfrac{CD}{AD}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{6}{AD}$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$AD=6\sqrt3$。 $Rt\triangle BCD$中\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\angle B=45^\circ$\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)等腰直角三角形\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)$\(BD=CD=6\)$。 $AB=AD+BD=6\sqrt3+6$。 答：AB长为$6\sqrt3+6$。 ## 易错点总结 1. **条件误区**：只知道两个锐角\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)不能解直角三角形\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)只能确定形状\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)边长大小不确定\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)**必须至少一条边**。 2. **边角对应错误**：写三角函数时\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)看清角对应的对边、邻边\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)不要把$\(a,b\)$对应角弄混。 3. **计算习惯**：尽量用原始已知条件计算\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)不要用中间算出的边长继续算\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)减少误差；根式结果必须化为最简二次根式。 4. **概念混淆**：解直角三角形\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)要求求出**全部未知边和未知角**\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)不能只求出部分元素。 5. **非直角三角形**\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)不能直接套用公式\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)要作高\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)分割成两个直角三角形再求解。 全文约1490字\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)格式和前面小节保持一致。下一节32.2.2解直角三角形的应用\(\angle B=45^\circ\(b=8\(\sin A=\dfrac45\(\angle A=30^\circ，CD=6\)\angle B=90^\circ-\angle A\)\angle B=60^\circ\)a=b=5\sqrt2\)继续写吗？ 人教版（新教材）数学九年级下册 32.2.1 解直角三角形 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/12 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十二章 锐角三角函数 了解解直角三角形的意义和条件. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 能根据直角三角形中除直角以外的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形. 学习目标 如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A ，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m. 知道以上条件，你能求出∠A的度数吗？ 新课导入 解直角三角形的定义 知识点1 已知： 求问： ∠A的度数. A C B Rt△ABC中，∠C=90°， BC=5.2 m，AB=54.5 m. 利用计算器可得∠A ≈ 5°28′. 推进新课 　　一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　（1）三边之间的关系 　　　　　a2+b2=c2（勾股定理） ； 　　（2）两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°； 　　（3）边角之间的关系 在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ 探究 　　sin A=　，cos A=　，tan A=　. 知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？ 探究 必须已知除直角外的两个元素（至少有一个是边）. 已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边. 已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角. 练习 1.如图，河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为多少米？（结果保留根号） 30° 60° 60m ？ 解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°， ∴∠CAD=30°，AD=CD=60m. ∴AB=AD·sin∠ADB=60× 返回 1．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝6，则AC＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．12 A 举一反三 10 返回 A 举一反三 11 返回 举一反三 12 解直角三角形 知识点2 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= ，BC=　 ，解这个直角三角形． 提问 需求的未知元素： 斜边AB、锐角A、锐角B. 方法一： 方法二： 由勾股定理可得AB= 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 提问 需求的未知元素： 直角边a、斜边c、锐角A. 还有别的 解法吗？ 练习 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1）c=30，b=20； （2）∠B=72°，c=14； （3）∠B=30°，a= . ,∠A≈48°11′23″, ∠A≈41°48′37″; 返回 4．劳动教育是德智体美劳全面发展的主要内容之一，现有一块如图的四边形劳动教育基地，则此基地的面积为________m2． 举一反三 19 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，根据下列条件解直角三角形． (1)∠B＝60°，c＝8； 举一反三 20 返回 举一反三 21 6．[2025浙江]如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE． (1)求证：OD⊥OE； 举一反三 22 【证明】由题意得OD＝OB＝OE， ∴∠ODB＝∠B． ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B． ∴∠ODB＝∠C．∴OD∥AC． ∵半圆O与AC相切于点E，∴OE⊥AC． ∴OD⊥OE． 举一反三 23 【解】∵AB＝BC，AB＝AC，∴AB＝AC＝BC． ∴△ABC是等边三角形．∴∠A＝60°． 举一反三 返回 举一反三 D 举一反三 26 A 举一反三 27 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 两边：两直角边或斜边、一直角边 一边一角：直角边、一锐角或斜边、一锐角 课堂小结 谢谢观看 THANKS 2．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，且EC平分∠BED，AB＝，∠ABE＝30°，则DE的长为(　　) A．1　 B． C． D．2 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则cos ＝________． 625 【解】∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝180°－∠C－∠B＝30°．∵c＝8，sin A＝sin 30°＝＝，∴a＝4．∴b＝＝4． 【解】∵a＝2，c＝4，∴b＝＝2． ∴Rt△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°． (2)a＝2，c＝4． (2)若AB＝BC，OB＝，求四边形ODCE的面积． ∵OE⊥AC，OD＝OE＝OB＝， ∴AE＝＝＝1，AO＝＝＝2． ∴AB＝AO＋OB＝2＋．∴AC＝2＋． ∴EC＝AC－AE＝2＋－1＝1＋． ∴四边形ODCE的面积为(EC＋OD) ·OE＝×(1＋＋) ×＝3＋． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作CD的垂线，分别交BC，CD于点E，F．若tan∠CAE＝，AE＝26，则CD的长为(　　) A．39 B．8 C．6 D．19．5 8．如图，∠BAD＝90°，∠ADC＝15°，∠ABC＝30°，AB＝2，AD＝2，则阴影部分的面积为(　　) A．2 B． C．2＋ D．3－ $