28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“利用仰俯角解直角三角形”，通过探险者估算山峰水平距离的问题引入，衔接锐角三角函数定义与解直角三角形基础，为实际应用搭建学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过热气球测楼高、测量塔高的典例精析发展数学思维，总结四类基本模型强化数学语言表达。学生能提升问题解决能力，教师可依托清晰例题与练习体系提高教学效率。

锐角三角函数 解直角三角形及其应用 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 余弦函数和正切函数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 利用仰俯角解 直角三角形 解直角三角形的简单应用 应用举例 解直角三角形 正弦函数 利用方向角、坡度解直角三角形 新知一览 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 28.2.2 应用举例 28.2 解直角三角形及其应用 第二十八章 锐角三角函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 某探险者某天到达如 图所示的点 A 处时，准备 估算出离他的目的地—— 海拔 3 500 m 的山峰顶点 B 处的水平距离. 他能想 出一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行. ． A B ． ． 问题引入 导入新课 解与仰俯角有关的问题 如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 新课讲授 例 1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120 m，这栋高楼 有多高（结果精确到 0.1 m）？ A B C D α β 仰角 水平线 俯角 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α = 30°，β = 60°. 典例精析 在 Rt△ABD 中，α = 30°，AD = 120，所以利用解直角三角形的知识可求出 BD 的长；同理可求出 CD 的长，进而求得 BC 的长，即这栋楼的高度. 5 解：如图，α = 30°，β = 60°， AD = 120． 答：这栋楼高约为 277.1 m. A B C D α β 建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）. A B C D 40 m 54° 45° A B C D 40 m 54° 45° 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°， BC = DC = 40 m. 在 Rt△ACD 中， ∴AB = AC－BC ≈ 55.1－40 = 15.1 (m). 练一练 例2 如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处.测得仰角为 60°，小明的身高 1.5 m.那么该塔有多高? (结果精确到 1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ B D C′ C 分析：由图可知，塔高 AB 可以分为上下两部分，上部分 AB′ 可以在 Rt△AD′B′ 和 Rt△AC′B′ 中利用仰角的正切值求出，B′B 与 D′D 相等. 解：如图，设 AB′ = x m. 由题意知∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°， D′C′ = 50 m. ∴∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50 m ， D′ A B′ B D C′ C 如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37° 和 45°，求飞机的高度.（结果 取整数. 参考数据：sin37° ≈ 0.6，cos37° ≈ 0.8，tan 37° ≈ 0.75） A B 37° 45° 400 米 P 练一练 A B O 37° 45° 400 米 P 在 Rt△POB 中，∠PBO = 45°， 在 Rt△POA 中，∠PAB = 37°， ∴ OB = PO = x 米. 解得 x = 1200. 解：作 PO⊥AB 交 AB 的延长线于点 O，设 PO = x 米. 即 故飞机的高度为 1200 米. 1. 如图①，在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测 得它的俯角为 45°，则船与观测者之间 的水平距离 BC =_____米. 2. 如图②，两建筑物 AB 和 CD 的水平距 离为 30 米，从A点测得 D 点的俯角为 30°，测得 C 点的俯角为 60°，则建筑 物 CD 的高为_____米. 100 图① B C A 图② B C A D 30° 60° 当堂练习 3. 如图，为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高 度是 1.72 米，则树高 (精确到 0.1 米). A D B E C 20.9 米 13 4. 如图，在电线杆上离地面高度 5 m 的 C 点处引两根 拉线固定电线杆，一根拉线 AC 和地面成 60° 角， 另一根拉线 BC 和地面成 45° 角．则两根拉线的总 长度为 m (结果 保留根号). 5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶B的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39°．（tan39° ≈ 0.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离 AC； 解：由题意知，AC＝AB＝610（米）. 15 (2) 求大楼的高度 CD（精确到 1 米）. 解：DE＝AC＝610（米）， 在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝ . 故 BE＝DE·tan39°． ∴ CD＝AE＝AB－BE＝AB - DE·tan39° ＝610－610×tan39° ≈ 116（米）. 16 45° 30° O B A 200 米 6. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和 45°，求飞机的高度 PO. P 解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C. C 则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°． ∴ PC = BC = 200 + AC，tan30° = ∴ AC = 米．∴ PO = BC = 米. 利用仰、俯角 解直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形的知识解决仰角、俯角问题 课堂小结 模型一 模型二 模型三 模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B E C C D A B A C B D $