32.2.2应用举例（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦解直角三角形的实际应用，通过复习引入环节梳理已知两边或一边一锐角时解直角三角形的方法，搭建新旧知识桥梁，为实际问题转化为数学问题提供学习支架。 其亮点在于以合作探究（如屋顶人字架、天宫空间站观测地球等问题）和典例分析（电线杆拉线、开山修路等实例）为载体，培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）和模型意识，通过“实际问题—数学建模—解直角三角形”的流程总结，帮助学生提升问题解决能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

32.2.2 应用举例 （第1课时） 人教版九年级下册 第三十二章 锐角三角函数 32.2 解直角三角形及其应用 学习目标 将实际问题转化为数学问题(解直角三角形问题)来解决，进一步提高数学建模能力. 一 通过综合运用勾股定理，直角三角形的性质及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能力. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 温故 解直角三角形的方法： 已知条件 解法 两条边 两条直角边 a 和 b c=_________，由________求∠A，∠B=_________ 直角边 a 和斜边 c b=_________，由________求∠A，∠B=_________ 一个锐角和一条边 斜边 c 和 锐角∠A ∠B=_________，由________，_________求a，b 直角边 a 和锐角∠A ∠B=_________，由________，_________求b，c tanA= 90°−∠A sinA= 90°−∠A sinA= 90°−∠A cosA= sinA= 90°−∠A tanA= 合作探究 问题1 如图，屋顶的人字架为等腰三角形， 跨度BC=30 m，∠B=18° . 求中柱AD(D为底边中点)和上弦AB的长(结果保留小数点后 一位). 直角三角形 三线合一 实际问题 等腰三角形 抽象 一边一锐角 解直角三角形 求出AD，AB sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325 合作探究 解：由题意知△ABD是直角三角形. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=18°，BD=15. ∵tanB= ， ∴AD=BD·tanB=15×tan18°≈4.9. ∵cosB= ， ∴AB= = ≈15.8. 因此，中柱AD的长约为4.9 m，上弦AB的长约为15.8 m. 问题2 如图，PA 切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，⊙O的半径为 3 ，PB=3 ，则∠AOB= ， = ． 60° π 合作探究 合作探究 问题3 天宫空间站在远地点高度约399 km、近地点高度约385.6 km的轨 道上运行.如图，当空间站运行到远地点F时，从中能直接看到的地球表面最远点在什么位置?连接地球中心O与点F，交地球表面于点P，最远点与点P的表面距离是多少(地球半径约为6400 km，π取3. 142，结果取整数)? 追问1 从空间站能直接看到的地球表面最远的点在 处. 视线与地球相切时的切点 追问2 在平面图形中，用 可表示地球，用 可表示观测点，请根据题中的相关条件画 出示意图． 圆 点 合作探究 示意图 用⊙O表示地球， 是空间站的位置， 是⊙O的切线， 是从空间站观测地球时的最远点． 追问3 问题中求“最远点与点P的表面距离”实际上是要求 ，需先求 . 的长 点F FQ 切点Q ∠POQ（即α） 问题3 天宫空间站在远地点高度约399 km、近地点高度约385.6 km的轨 道上运行.如图，当空间站运行到远地点F时，从中能直接看到的地球表面最远点在什么位置?连接地球中心O与点F，交地球表面于点P，最远点与点P的表面距离是多少(地球半径约为6400 km，π取3. 142，结果取整数)? 合作探究 解：如图是空间站与地球位置关系的示意图，其中⊙O的圆心为地 球中心、半径为地球半径，F是空间站运行的远地点，FQ是⊙O的切线.可以发现，切点Q就是从空间站中观测地球时的最远点. 根据切线的性质，∠OQF=90°，△FOQ是直角三角形. 设∠POQ=α， ∵cosα= = ≈0.9413， ∴ α≈19.73°. ∴ 的长为 × 6400 ≈ ×6400≈2204(km). 由此可知，当空间站运行到远地点F时，从中观测地球表面的最远点与点P的表面距离约为2204 km. 合作探究 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： 实际问题 数学问题 (解直角三角形) 抽象 数学问题 的答案 实际问题 的答案 目标 证明(构造) 直角三角形 解直角三角形 画出平面图形 解：由题意知△ACD是直角三角形. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠A=60°，CD=5. ∵tanA= ， ∴AD= = ≈2.89. ∵sinA= ， ∴AC= = ≈5.77. 因此，拉线AC的长约为5.77 m，拉线下端点A与杆底D的距离约为2.89 m. 典例分析 例1 如图，在离地面高度5 m的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角.求拉线AC的长及拉线下端点A与杆底D的距离(结果保留小数点后两位). 解：∵∠E=∠ABD-∠D=90°，∴△BED是直角三角形. 在Rt△BED中，∠D=50°，BD=520. ∵cosD= ， ∴ED= BD·cosD = 520×cos50° ≈334.3. 因此，另一边开挖点E离D约334.3 m， 正好使A，C，E三点在同一直线上. 典例分析 例2 如图，施工队沿AC方向开山修路.为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.为此在AC上取一点B，使∠ABD=140°，BD=520 m，∠D=50°. 那么另一边开挖点E离D多远，正好使A，C，E三点在同一直线上(结果保留小数点后一位)? 解:由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE=18 m，DE=30 m. ∴∠ACB=180°−∠ACD=180°−90°=90°， CD=AE=18 m，AC=DE=30 m， ∵在Rt△ABC中，tan∠BAC= ， ∴BC=AC⋅tan∠BAC=30×tan35° =30×0.7=21 m， ∴BD=BC+CD=21+18=39 m， 答：乙楼的高为39 m． 典例分析 例3 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 巩固练习 1.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为16°，若楔子沿水平方向前进8 cm（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A．8cos16°cm B．8sin16°cm C． cm D．8tan16°cm D 巩固练习 2.某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为1.8米，∠CAD的度数为150°，则此时“天幕”的宽度CD是（     ） A．1.8sin15°米 B．3.6cos75°米 C．3.6sin75°米 D．1.8tan15°米 C 巩固练习 3.西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）约为_______尺．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1尺） 15.1 巩固练习 4.小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒CD与竖直放置的档案盒的夹角∠DCB=37°，DF=71cm，档案盒长CD=35cm．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）． 巩固练习 解：由题意得，在Rt△CBD中，∠DCB=37°，CD=35cm，sin∠DCB=， ∴BD=CD⋅sin∠DCB=35sin37°≈35×0.6=21cm， ∴BF=DF−BD=71−21=50cm， ∴档案盒的厚度为50÷10=5cm． 归纳总结 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： 实际问题 数学问题 (解直角三角形) 抽象 数学问题 的答案 实际问题 的答案 目标 证明(构造) 直角三角形 解直角三角形 画出平面图形 感受中考 1.（2026年浙江）如图，一辆高AB为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为15°的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离BC为___________． （注：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 2米 感受中考 2.（2025年四川眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2 m，当a=65°时，人字梯顶端离地面的高度是________m．（结果精确到0.1 m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 1.8 感受中考 3.（2026年湖南）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB 垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB 于点E．已知AC=a，EF=b，∠ACF=α，且a>b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（     ） A．a⋅tanα B．(a−b)sinα C．(a−b)cosα D．(a−b)tanα D 感受中考 4.（2026年吉林）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A点，到河岸的距离AB为10m，刚好正对河对岸的一棵大树P，此时点A，B，P在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了93 m，到达C点，此时测得∠ACP=35°．求这条河的宽度PB（结果保留整数）．（参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70） 感受中考 解：由题意知，∠PAC=90°， 在Rt△PAC中，∠PCA=35°，AC=93m， ∴AP=AC·tan35°=93×0.7=65.1m， ∵AB=10m， ∴PB=65.1−10≈55m， 答：这条河的宽度PB为55m． 感受中考 5.（2025年贵州）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知BD=28m，CD=21m，该地冬至正午太阳高度角α为35°．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务.任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长； 感受中考 解：任务一：如图，过A作AE⊥CD于E， 结合题意可得：四边形AEDB为矩形，∠AEC=90°， ∵BD=28m，CD=21m， ∴AE=BD=28m，AB=DE， ∵∠CAE=α=35°， ∴CE=AE⋅tanα≈28×0.7=19.6， ∴AB=DE=21−19.6=1.4m. 感受中考 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．结果保留小数点后一位） 感受中考 解：任务二：如图，过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ， AE交于点T，过Q作QK⊥BD于K， ∴∠QBK=∠ATB=∠CAE=35°，四边形CDKQ为矩形， ∴CD=QK=21， ∴BK= = =30m， ∴DK=30−28=2m； ∴该活动中心移动了2米. 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 直角三角板 特殊锐角的三角函数值 从一般到特殊 解直角三角形 应用 布置作业 必做题：习题32.2 第2，8题. 1 探究性作业：习题32.2 第12题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $