32.1.3特殊角的锐角三角函数 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

1. 增减性：锐角\(\alpha\)增大，\(\sin\alpha、\tan\alpha\)增大；\(\cos\alpha\)减小。 2. 互余两角关系：若\(\angle A+\angle B=90^\circ\)，则\(\sin A=\cos B\)，\(\cos A=\sin B\)。 例：\(\sin30^\circ=\cos60^\circ\)，\(\sin60^\circ=\cos30^\circ\)。 3. 同角关系：\(\sin^2A+\cos^2A=1\)；\(\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}\)。 4. 三角函数都是比值，无单位；知道三角函数值，可反求锐角。 ### 解题思路 ① 看到\(30^\circ、45^\circ、60^\circ\)，直接代入对应三角函数值； ② 混合运算：先代入数值，再化简二次根式； ③ 已知三角函数值求角度，对照表格判断； ④ 几何题：构造含特殊角的直角三角形，利用边长比例计算。 ## 一、选择题 1. \(\tan60^\circ\)的值是（） A.\(\dfrac{\sqrt3}{3}\)　B.\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)　C.\(\sqrt3\)　D.\(\dfrac12\) > > 答案：C > 解析：查表，\(\tan60^\circ=\sqrt3\)。 2. 已知\(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}\)，且\(\alpha\)为锐角，则\(\alpha=\)（） A.\(30^\circ\)　B.\(45^\circ\)　C.\(60^\circ\)　D.\(90^\circ\) > > 答案：B > 解析：\(\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\)。 3. 下列式子计算正确的是（） A.\(\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\) B.\(\cos60^\circ=\dfrac12\) C.\(\tan45^\circ=\sqrt2\) D.\(\sin45^\circ=\dfrac12\) > > 答案：B > 解析：\(\sin30^\circ=\dfrac12\)，\(\tan45^\circ=1\)，\(\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\)。 ## 二、填空题 4.\(\sin^230^\circ+\cos^230^\circ=\)________。 > > 答案：1 > 解析：同角公式\(\sin^2A+\cos^2A=1\)，也可代入：\(\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2=\dfrac14+\dfrac34=1\)。 5.\(\sin45^\circ\cdot\cos45^\circ=\)________。 > > 答案：\(\dfrac12\) > 解析：\(\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac24=\dfrac12\)。 6. 若\(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}\)，锐角\(\alpha=\)______。 > > 答案：\(30^\circ\) ## 三、解答题 7. 计算：\(\sin60^\circ+2\cos45^\circ-\tan30^\circ\) > > 解： > 原式\(=\dfrac{\sqrt3}{2}+2\times\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt3}{3}\) > \(=\dfrac{\sqrt3}{2}+\sqrt2-\dfrac{\sqrt3}{3}\) > \(=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt3}{6}+\sqrt2}\) > 答：计算结果为\(\dfrac{\sqrt3}{6}+\sqrt2\)。 8. 在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle A=30^\circ\)，斜边\(AB=8\)，求\(BC、AC\)的长。 > > 解： > \(\sin A=\sin30^\circ=\dfrac{BC}{AB}\) > \(\dfrac12=\dfrac{BC}{8}\)，得\(BC=4\)。 > 由勾股定理： > \(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3\)。 > 答：\(BC=4，AC=4\sqrt3\)。 9. 在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle B=45^\circ\)，\(AC=6\)，求\(\angle A\)、AB的长。 > > 解： > \(\angle A=90^\circ-\angle B=90^\circ-45^\circ=45^\circ\)。 > ∴\(\angle A=\angle B\)，△ABC 为等腰直角三角形，\(BC=AC=6\)。 > \(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\)。 > 答：\(\angle A=45^\circ\)，\(AB=6\sqrt2\)。 10. 综合题：计算\(\dfrac{\tan60^\circ-\tan45^\circ}{\sin60^\circ}\)，并化简。 > > 解： > 原式\(=\dfrac{\sqrt3-1}{\dfrac{\sqrt3}{2}}=(\sqrt3-1)\times\dfrac{2}{\sqrt3}\) > \(=\dfrac{2(\sqrt3-1)\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{2(3-\sqrt3)}{3}=\boldsymbol{\dfrac{6-2\sqrt3}{3}}\) > 答：结果为\(\dfrac{6-2\sqrt3}{3}\)。 11. 拓展几何题：△ABC 中，\(\angle B=30^\circ\)，\(\angle C=45^\circ\)，过 A 作\(AD\perp BC\)于 D，\(AD=4\)，求 BC 的长。 > > 解： > ∵\(AD\perp BC\)，∴△ABD、△ACD 均为直角三角形。 > \(Rt\triangle ABD\)中，\(\angle B=30^\circ，AD=4\) > \(\tan B=\tan30^\circ=\dfrac{AD}{BD}\)，\(\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{4}{BD}\)，\(BD=4\sqrt3\)。 > \(Rt\triangle ADC\)中，\(\angle C=45^\circ\)，等腰直角三角形，\(DC=AD=4\)。 > \(BC=BD+DC=4\sqrt3+4\)。 > 答：BC 长为\(4\sqrt3+4\)。 ## 易错点总结 1. **数值混淆**：\(30^\circ\)正弦\(\dfrac12\)，\(60^\circ\)正弦\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)，经常写反；\(\tan30^\circ\)是\(\dfrac{\sqrt3}{3}\)不是\(\sqrt3\)。 2. \(\boldsymbol{\sin^2A}\)含义：\(\sin^2A=(\sin A)^2\)，是三角函数值整体平方，不要只对角度平方。 3. 混合运算顺序：**先代入三角函数值，再算乘方、乘除，最后加减**，二次根式必须化成最简。 4. 看清角度：互余角三角函数互换，审题看清是\(\sin\)还是\(\cos\)。 5. 几何题中，看到\(30^\circ、45^\circ、60^\circ\)，无直角三角形时，要作高构造直角三角形再计算。 全文约 1490 字，格式和前面所有小节保持一致。下一节：32.2 解直角三角形，继续写吗？ 人教版（新教材）数学九年级下册 32.1.3特殊角的锐角三角函数 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/12 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十二章 锐角三角函数 理解特殊角的三角函数值的由来 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°，45°，60°角的三角函数值. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用，根据一个特殊角的三角函数值说出这个角. 学习目标 说说锐角三角函数是如何定义的. 若∠A为30°，你能立即说出它对应的三角函数值吗？ 温故知新 复习导入 特殊角的三角函数值 知识点1 两块三角尺中有几个不同的锐角？ 探究 1 30° 60° 45° 45° 推进新课 每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系? 探究 30° 60° 45° 45° 2 a 2a a a （设最短的边为a） 30° 45° 60° sin A cos A tan A 锐角A 锐角 三角函数 思考 你能根据前面的计算填出下表吗？ 例3 求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260°；（2） 解: （1）原式= （2）原式= 返回 1．下列各式不正确的是(　　) A．cos 30°＝sin 60° B．tan 45°＝2sin 30° C．sin 30°＋cos 30°＝1 D．tan 60°·cos 60°＝sin 60° C 举一反三 8 返回 A 举一反三 9 返回 3．已知∠A为锐角，且cos A＝tan 30°，则(　　) A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° C 举一反三 10 例4 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，BC= ，求∠A的度数. 解: 例4 （2）如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= OB，求α的度数. 解: 思考：如果锐角A不是这些特殊角时，怎样得到它的三角函数值呢？ 非特殊角的三角函数值的求取 知识点2 你是如何操作的呢？ 试着用计算器求出下面的三角函数值. （1）sin18°; （2）tan30°36'. 0.309016994 0.591398351 以求sin18°为例. sin键 输入角度值18° 得到sin18°结果 以求tan30°36'为例. tan键 输入角度值30°36'或将其化为30.6° 得到tan30°36'结果 提问 如果已知某锐角的三角函数值，能否用计算器求出该锐角的度数呢？ 若sin A=0.5018. sin键 输入函数值0.5018 得到结果 2nd F 练习 3.用计算器求下列锐角三角函数值： （1）sin20°，cos70°；sin35°，cos55° ； sin15°32′，cos74°28′； （2）tan3°8′，tan80°25′43″. 观察(1)题的结果，你能得出什么猜想？ (1)sin20°≈0.3420，cos70°≈0.3420； sin35°≈0.5736，cos55°≈0.5736. sin15°32′≈0.2678，cos74°28′≈0.2678； (2)tan3°8′≈0.0547， tan80°25′43″≈5.9304. 从（1）的结果可以看出：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. 返回 C 举一反三 18 返回 5．若一个三角形的三个内角的度数之比为1: 2: 3，则此三 角形中最小锐角的正切值为________． 举一反三 19 返回 6．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线OC，则sin∠AOC的值为________． 举一反三 20 返回 7．如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝160°，∠2＝25°，则∠3的余弦值为 ________． 举一反三 21 8．计算： 举一反三 22 返回 举一反三 9．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则tan A的值为(　　) A 举一反三 24 返回 举一反三 A 举一反三 26 30° 45° 60° sin A cos A tan A 锐角A 锐角 三角函数 课堂小结 谢谢观看 THANKS 2．在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数为(　　) A．120° B．90° C．60° D．30° 【点拨】∵cos A＝tan 30°＝，∴＜cos A＜．∴45°＜∠A＜60°．故选C． 4．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是(　　) A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30° (1)－－tan 45°； 【解】原式＝－(－1) －1 ＝＋－＝． (2)(－π)0＋＋|tan 30°－1|－3cos 30°． 【解】原式＝1＋(－2) ＋－3×＝1－2＋1－－＝－． A． B． C． D． 【点拨】 ∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB) ＝180°－2(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－2×(180°－∠BOC) ＝180°－2×(180°－120°) ＝60°．∴tan A＝tan 60°＝．故选A． 10．一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且sin θ＝，则角θ所对的弦长等于(　　) A．8 B．10 C．8 D．16 $