32.2 解直角三角形及其应用 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦解直角三角形及其应用，涵盖直角三角形边角关系（三边、锐角、边角）和锐角三角函数应用，通过已知2元素（至少1边）求其余元素导入，衔接勾股定理、锐角互余与三角函数定义，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点是以实例剖析为核心，结合分类讨论（如例4分锐角、钝角三角形求BC）和实际问题（如俯角问题求楼高），培养数学思维中的推理意识和运算能力，数学语言中的模型意识。采用“知识导航-实例剖析-能力训练”结构，学生能提升逻辑推理和问题解决能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

解直角三角形及其应用 模块一 ： 解直角三角形 已知两边解直角三角形 一 在图中的Rt△ABC中， (1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° (2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. A B C 解： 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形. 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A B C b=20 c a 35° 解： 例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ， BC = 5， 试求AB的长. A C B 解： 设 A C B ∴ AB的长为 图① 提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论. 例4 在△ABC中，AB= ，AC=13，cosB= ，求BC的长. 解：∵cosB = ，∴∠B=45°. 当△ABC为钝角三角形时，如图①， ∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5. ∴BC=BD-CD=12-5=7； 图② 当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. ∴ BC的长为7或17. C 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是 ( ) D 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b=a·tanA B. b=c·sinA C. b=c·cosA D. a=c·cosA A C B  3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则 AC = (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75). 4. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB = ，则 AC 的长为 . 24 3.75 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形. 解： ∵ AD平分∠BAC， D A B C 6 解：过点 A作 AD⊥BC于点D. 在△ACD中，∠C=45°，AC=2， ∴CD=AD=sinC · AC= 2sin45°= . 在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= ∴BC=CD+BD= 6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2， 求BC的长. D A B C 模块二 ： 锐角三角函数的应用 例1.如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值. 解：过点P作PA⊥x轴，P(3，4)， ∴A(3，0) A (0，3) 在△APO中，由勾股定理得 因此 α A B C 6 例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6， sinA= ，求cosA、tanB的值. 解：∵ 又 ∴ 【点睛】在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值 例3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=5，则sin∠BFD的值为（      ） A． B． C． D． 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8， ∴∠A=∠B， 由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF， ∴∠EDF=∠A， ∴∠EDF=∠B， ∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°， ∴∠CDE=∠BFD． 又∵AE=DE=5， ∴CE=8-5=3， ∴在直角△ECD中，sin∠CDE=， ∴sin∠BFD=． A 例4.如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长． 解：过A作，垂足为点H，如图所示： 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 1.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣6，4），则sin∠OBC的值为（     ） A． B． C． D． C 2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°,AD∥BC，AD=2BC,AC与BD交于点E,AC⊥BD，则tan∠BAC的值等于______. 3.如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=， 求：(1)CD的长 (2)cosB的值 （1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵在Rt△ADC中，， ∴； （2）解：由（1）得CD=4， ∴BD=BC-CD=8， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴． 4.求下列各式的值： (1) (2) 解：(1)原式 5.求下列各式的值： (1)1-2sin30°cos30° (2)3tan30°-tan45°+2sin60° (3)(cos230°+sin230°)×tan60° 解：(1)原式 (3)原式 (2)原式 6.如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ D 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在RtΔACD中，， AC＝5， ∴CD=ACcosC＝5=4． ∴由勾股定理得：AD＝＝3． ∵sinB＝， ∴∠B＝45°． ∴∠BAD＝∠B＝45°． ∴BD＝AD＝3．∴S△ABC＝BC•AD＝（3+4）×3＝10.5． 解:如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形. ∴EF=CD，CF=DE=1Om 由题意得∠DAC=∠ADC=45°，∠BEF=30° 设AC=xm,则CD=EF=xm,BF=AC-CF-AB=(x-16)m 在Rt△BEF中，tan∠BEF= 即 ，解得x≈37.8(m) 答:乙楼AC的高度约为37.8m 7.如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB=6m,DE=10m，求乙楼AC的高度(参考数据: ≈1.41,≈1.73,精确到0. 1m). $