广东省惠州市高一数学上学期单元整合作业（人教A版必修第一册第三章）

人教A版必修第一册第三章《函数的概念与性质》单元整合作业 【应用场景】本作业适用于广东省惠州市普通高中一年级学生，对应人教A版（2019）必修第一册第三章“函数的概念与性质”单元教学，可用于课前预习、课中检测与课后反馈，建议学生完成总时长不超过90分钟。 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 人教A版（2019）必修第一册第三章《函数的概念与性质》单元整合作业 学段学科 高中数学 适用年级 高一年级 教材版本 人教A版（2019）必修第一册 对应内容 第三章 函数的概念与性质（3.1 函数的概念及其表示；3.2 函数的基本性质；3.3 幂函数；3.4 函数的应用（一）） 作业类型 单元作业 完成时长 总时长90分钟 设计者 叶龙州 适用地区 广东省惠州市 考查范围 人教A版（2019）必修第一册第三章（3.1—3.4） 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》“函数”主题的内容要求：理解函数的概念，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域；能使用恰当的方法表示函数，理解分段函数并能简单应用；借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值；结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；结合学过的函数实例，了解幂函数的概念，借助图象了解其变化情况；能对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型。本作业重点发展数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象与数学建模素养，对应“函数”主题学业质量水平二的要求。 · 教材地位：函数是高中数学的核心概念与重要主线。本章“函数的概念与性质”承上（集合与常用逻辑用语）启下（指数函数、对数函数、三角函数），是研究一切具体函数的统一框架。本单元承载的核心概念是函数的三要素与基本性质，核心方法是“图象语言与符号语言相结合”的数形结合方法，核心价值是用函数刻画现实世界中运动变化的规律。 · 教学重难点：重点——函数的概念（三要素）、函数的单调性与奇偶性、幂函数的图象与性质；难点——抽象函数恒等式背景下的奇偶性与单调性推理、含参二次函数在闭区间上的最值分类讨论、用函数模型解决实际优化问题。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已完成必修第一册第一章（集合与常用逻辑用语）和第二章（一元二次函数、方程和不等式）的学习，具备集合语言、一元二次函数图象与最值、解不等式等基础；对函数概念已有初中阶段的初步经验，能识别常见的函数图象。 现有困惑 易将“定义域相同而对应关系不同”的两个函数误判为同一函数；求分段函数值时常忽略自变量所属区间的判断；抽象函数问题缺乏推理抓手；含参二次函数最值的分类讨论不完整、不严谨。 差异分析 其中约三分之一的学生能独立完成提高题，约六分之一的学生能完成拓展题的深度探究；需通过分层设题与小组讲评发挥其示范带动作用，实现以评促学。 3. 设计意图 本作业以“函数概念—基本性质—幂函数—函数应用”为主线，设置基础题、提高题、拓展题三个层次：课前预习唤醒概念与基本方法，课中检测检验性质的综合运用，课后反馈深化抽象推理与建模探究。原创题聚焦抽象函数性质探究与含参二次函数最值分类讨论，突出逻辑推理与数学建模素养，促进教师依据作业反馈调整教学、优化分层策略，实现教、学、评一体化。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能准确理解函数概念及三要素，熟练求定义域、值域与分段函数值；掌握幂函数的概念、图象与性质。 数学抽象 概念辨析正确率、性质复述 能力运用 B 会用定义证明函数的单调性与奇偶性；会求含参二次函数在闭区间上的最值；能综合运用函数性质比较大小、解不等式。 数学运算、逻辑推理 解题过程规范、方法选用恰当 思维发展 C 能探究抽象函数恒等式背景下的奇偶性与单调性并完成推理证明；能构建二次函数、分段函数模型解决较复杂的实际问题，体会分类讨论与转化化归思想。 直观想象、逻辑推理 论证思路清晰、结论严谨 情感态度 D 体会函数是刻画现实世界运动变化的重要模型，在建模与探究中形成严谨求实的科学态度与主动反思的学习习惯。 数学建模 建模表述、学习反思 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 求含根式、分式的函数的定义域 A 巩固函数三要素，强化定义域优先意识 (-2,+∞) 2 选择题 分段函数求复合函数值 f(f(-1)) A 考查分段函数值的运算顺序与区间判断 B（3） 3 选择题 判断函数的值域 A 辨析常见函数值域，发展数学抽象 A（y=x²） 4 选择题 由幂函数过点求性质 A 理解幂函数概念，辨析奇偶性、单调性 C（定义域上单调递增） 5 选择题 二次函数单调性求参数范围 A 用对称轴与单调区间关系求参数 A（a≤-3） 6 选择题 奇函数与单调性解不等式 A 综合奇偶性、单调性解不等式 A（(-2,0)∪(0,2)） 7 填空题 求含根式、分式的函数定义域 A 定义域求解的规范训练 [-2,1)∪(1,2] 8 填空题 二次函数在闭区间上的值域 A 配方结合图象求值域 [2,6] 9 填空题 偶函数求参数及单调递减区间 B 由奇偶性求参数，再研究单调性 [0,+∞) 10 填空题 幂函数过点求指数及单调区间 A 巩固幂函数解析式与性质 -2；(0,+∞) 11 解答题 偶函数求值、补全解析式与最值 B 综合奇偶性与最值，规范书写步骤 f(-2)=3，f(-3)=0；解析式分段；最大值4、最小值-5 12 选择题 偶函数单调性解含参不等式 B 转化为自变量绝对值比较 A（a<-3或a>1） 13 选择题 分段奇函数求参数 B 用奇函数定义求参数 B（m=2） 14 选择题 含参二次函数最值求参数 B 分类讨论对称轴位置 C 15 选择题 幂函数定义与单调性求参数 B 系数为1与指数符号的判断 A（m=1） 16 解答题 （原创）含参二次函数最值分类讨论 C 原创题：轴动区间定，分类讨论求最值 值域[-1,0]；h(a)分段；a≥2或a≤-2 17 解答题 偶函数综合（解析式、单调区间、不等式） B 综合奇偶性、单调性解不等式 分段解析式；[-2,-1]与[0,1]递增；a∈(-1,0)∪(0,1)∪(1,2) 18 解答题 （原创）幂函数性质综合探究 C 原创题：系数与指数判定、奇偶性、最值 m=1，f(x)=x²；偶函数，(-∞,0)递减、(0,+∞)递增；最小值为2 19 解答题 商品销售利润最优化建模 C 构建分段函数模型解决实际优化问题 降价5元时y最大为2250；涨价6元时最大约2464；定价56元时利润最大为2250元 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念辨析精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确，偶有疏漏 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，分类讨论完整，论证充分，有独创性 表达清楚，论证欠严密 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极探究，乐于协作；目标明确，主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务，基本参与合作 态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 6、 试题详情 第一部分　基础题（建议用时30分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的定义域为（　　） 　　A．　　 B．　　 C．　　 D．　 2．已知函数，则的值为（　　） 　　A．2　 B．3　 C．5 　D．1 3．下列函数中，值域为的是（　　） 　　A．　　 B．　　 C．　　 D．　 4．已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（　　） A．　　是奇函数　 B．　　是偶函数　 C．　　在其定义域上单调递增　D．　　的定义域为　 5．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） 　　A．　　 B．　 　C．　　 D．　 6．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（　　） 　　A．　　 B．　　 C．　　 D．　 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。） 7．函数的定义域为________。 8．函数，的值域为________。 9．若函数是偶函数，则的单调递减区间为________。 10．已知幂函数的图象经过点，则________，的单调递减区间为________。 三、解答题（本大题共1小题，共12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 11．（本小题12分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，。 （1）求与的值； （2）求当时的解析式； （3）求在上的最大值与最小值。 第二部分　提高题（建议用时35分钟） 一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 12．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（　　） 　　A．　　B．　　C．　　D．　 13．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为（　　） 　　A．　 　B．2　 C．1　 D．　 14．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（　　） 　　A．　 　B．　　 C．　　或　　 D．　 15．已知是幂函数，且在上单调递减，则的值为（　　） 　　A．1 　B．2　 C．1或2 　D．0 二、解答题（本大题共2小题，共26分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） （原创）16．（本小题12分）已知函数，。 （1）当时，求在上的值域； （2）求在上的最小值（用含的式子表示）； （3）若在上的最小值不小于0，求的取值范围。 17．（本小题14分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，。 （1）求在上的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若，求实数的取值范围。 第三部分　拓展题（建议用时25分钟） 三、解答题（本大题共2小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） （原创）18．（本小题16分）已知幂函数在上单调递增。 （1）求的值及的解析式； （2）判断的奇偶性，并写出其单调区间； （3）设（），判断的奇偶性，并求的最小值。 19．（本小题14分）某商场销售某种商品，每件进价为40元，当售价为60元时，每天可售出100件。经调查：每降价1元，每天可多售出10件；每涨价1元，每天少售出4件。 （1）若每件降价元（），写出每天的利润（元）与的函数关系式，并求的最大值及相应的售价； （2）若每件涨价元（），写出每天的利润（元）与的函数关系式，并求的最大值； （3）问商场应如何定价，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 7、 答案与解析 1．A　解析：，得。 2．B　解析：，。 3．A　解析：的值域为；的值域为；的值域为；的值域为。 4．C　解析：由得，，定义域为，在其定义域上单调递增，非奇非偶。 5．A　解析：对称轴，在上单调递减需，即。 6．A　解析：，由奇函数得；在上单调递增，故时，时；由奇函数对称性，时，时。故的解集为。 7．　解析：且。 8．　解析：，，最小值，最大值。 9．　解析：偶函数得，，，单调递减区间为。 10．；　解析：由得，，单调递减区间为。 11．（1）；。（2）当时，。（3）时，最大值4，最小值；时，最大值4，最小值。故在上的最大值为4，最小值为3。 12．A　解析：偶函数且上单调递增，，得或。 13．B　解析：对，，，故。 14．C　解析：。当时，最小值（成立）；当时，最小值，得，取；当时，最小值，得，不合，舍去。故或。 15．A　解析：，得或；时指数，在上单调递减；时指数，单调递增，舍去。故。 16．（1）当时，，，最小值（时），最大值，值域为。（2）对称轴。当时，；当时，；当时，。故。（3）由：当时，得；当时，不成立；当时，得，即或，取。综上，。 17．（1）当时，。故。（2）时，递增区间为；时，递增区间为。故单调递增区间为和。（3）。由（1）（2）知在上的最小值为，且在处取得。等价于，故，即且；又，得。故的取值范围为。 18．（1）由，得或。时指数，在上单调递减，不合；时指数，在上单调递增。故，。（2）为偶函数，单调递减区间为，单调递增区间为。（3），定义域为，，为偶函数。，当时取等号，故最小值为2。 19．（1）降价元时，售价元，日销量件，，。对称轴，，此时售价为55元。（2）涨价元时，售价元，日销量件，，。对称轴，（元）。（3）比较（1）（2）知降价策略利润更大，故定价55元时每天的利润最大，最大利润为2250元。 学科网（北京）股份有限公司 $