第01讲 4.1指数讲义（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“指数”核心知识点，系统梳理整数指数幂定义与运算法则、根式概念及性质、分数指数幂意义，进而拓展到有理数与无理数指数幂，构建从基础到拓展的知识支架。 资料设计含思维导图（辅助整体认知）、即学即练（即时巩固）、分题型精讲（典例与变式结合）及分层精练，通过推理运算培养数学思维，规范表达提升数学语言能力，课中助教师分层教学，课后利学生查漏补缺。

第01讲 4.1指数 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点02：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【即学即练1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则______. 知识点03：分数指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【即学即练2】（多选）（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 知识点04：有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点05：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【即学即练3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01根式的概念 【典例1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．负数的次方根不存在，其中 B．因为，所以是的五次方根 C．因为，所以81的四次方根是3 D．1的次方根是1，其中 【典例2】（多选）（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 【变式1】有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误 （1）当时，有意义．( ) （2）. ( ) （3）只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( ) （4）0的任何指数幂都等于0. ( ) 【变式3】（26-27高一上·全国·课后作业）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 题型02根式的化简(求值) 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期中）若，则化简=（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 题型03分数指数幂的简单计算 【典例1】（25-26高一上·天津·期中）计算 (1)； (2) 【典例2】（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【变式1】（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）（1）； （2）． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3). 【变式3】（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 题型04条件求值 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）化简与求值：已知，求的值． 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）已知，求以及的值． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 【变式2】若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式3．化简求值：若，求下列各式的值： (1)； (2). 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西桂林·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知正数满足，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（多选）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一上·湖南常德·专题练习）计算：__________． 8．（25-26高一上·贵州·期中）计算__________． 9．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若 有意义，化简 －|3－x|； （2）已知y＝＋＋，求实数x及y. 10．（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. B能力提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）化简下式：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 4.1指数 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点02：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【即学即练1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则______. 【答案】 【详解】因为，所以. 知识点03：分数指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【即学即练2】（多选）（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 知识点04：有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点05：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【即学即练3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 第三部分 题型精讲 题型01根式的概念 【典例1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．负数的次方根不存在，其中 B．因为，所以是的五次方根 C．因为，所以81的四次方根是3 D．1的次方根是1，其中 【答案】B 【详解】对于A，的三次方根为，A错误； 对于B，由，得是的五次方根，B正确； 对于C，81的四次方根是，C错误； 对于D，的平方根是，D错误. 【典例2】（多选）（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 【答案】CD 【详解】对于A，偶次根式的结果只能是正数，故A错误；对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，故B错误；对于C，D，根据指数幂的运算法则可知C，D正确． 【变式1】有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据实数n次方根的性质判断各项正误即可. 【详解】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在； 正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数； ①③错误，②④正确． 故选：C 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误 （1）当时，有意义．( ) （2）. ( ) （3）只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( ) （4）0的任何指数幂都等于0. ( ) 【答案】 错误 正确 正确 错误 【分析】利用根式有无意义以及根式与分数指数幂的互化即可判断正误. 【详解】对于（1），负数的偶次方根没有意义，若时，没有意义，所以（1）错误； 对于（2），因为，所以可得，即（2）正确； 对于（3），只要根式有意义，根式和分数指数幂就能实现互化，所以（3）正确； 对于（4），0的0次幂没有意义，所以（4）错误. 故答案为：错误；正确；正确；错误 【变式3】（26-27高一上·全国·课后作业）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 【答案】②④ 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故①错误； 16的4次方根有两个，为，故②正确； 当为奇数时，；当为偶数时，，故③错误； 当时，；当时，，故，故④正确． 题型02根式的化简(求值) 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的性质求解的范围，再根据根式的性质化简即可. 【详解】由题意得：，解得， 故. 故选：C. 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期中）若，则化简=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质求解. 【详解】，，， . 故选：B. 【变式2】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据根式运算法依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，，A正确 对于B，，B正确， 对于C，，C错误， 对于D，，D错误， 故选：AB. 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 【答案】②④⑤ 【详解】当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故，①错误； 16的4次方根有两个，为，②正确；，③错误； ，所以，④正确． 由题意知， 故,⑤正确． 题型03分数指数幂的简单计算 【典例1】（25-26高一上·天津·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）（2）由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案. 【详解】（1） ； （2） . 【典例2】（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 【变式1】（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. （2）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1） . （2）原式 . 【变式2】计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)0 (3) 【分析】（1）（2）（3）运用指数幂的性质公式求解计算即可． 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）（3）原式 【变式3】（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【分析】利用指数运算法则和根式运算法则计算即可. 【详解】（1） ； （2）. 题型04条件求值 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）化简与求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，结合完全平方公式得到和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】由， 两边取平方得，即 两边再取平方，得， 故． 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）已知，求以及的值． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式和立方和公式，逐步求出、、的值即可求解 【详解】对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7； (2)47. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以 ． （2）由（1）知，两边平方，得， 所以． 【变式2】若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. 【变式3．化简求值：若，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)7 (2) 或 【分析】（1）将已知等式两边平方化简可得所求； （2）由题可知，设，结合完全平方公式化简运算即可得所求. 【详解】（1）∵，∴， 即， ∴，∴； （2）由题可知，设，则， 即，∴， 又∵，∴，∴， ∴或. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，算术平方根的运算结果为非负数，因此，而非. 选项B，根据幂的运算法则，. 选项C，根据完全平方差公式，，题干中等式右侧为完全平方和公式的展开式. 选项D，提取公因式，. 2．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误； 积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误； 完全平方公式展开得，故C错误； 将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确. 3．（25-26高一上·广西桂林·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式的性质判断A，根据指数幂的运算法则判断BCD. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：C 4．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知正数满足，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】将给定式子两边平方后，即可得解. 【详解】正数满足，则， 可得． 故选：A． 6．（多选）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用指数运算逐项计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 7．（2025高一上·湖南常德·专题练习）计算：__________． 【答案】 【分析】根据根式和指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】. 故答案为：. 8．（25-26高一上·贵州·期中）计算__________． 【答案】6 【分析】利用指数幂的运算规则可得答案. 【详解】原式 . 故答案为：6 9．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若 有意义，化简 －|3－x|； （2）已知y＝＋＋，求实数x及y. 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）由题意知，则。 （2）由题意知 所以，从而. 10．（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以. B能力提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 2．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 3．（多选）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 4．（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解出的取值范围. 【详解】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）化简下式：. 【答案】 【详解】 学科网（北京）股份有限公司 $