专题01 集合及其运算12大题型58题（期中专项训练）高一数学上学期沪教版

专题01 集合及其运算 基础·固本强基 题型一、元素与集合的判定 题型二、集合元素个数相关问题（重点） 题型三、集合的子集与真子集 题型四、集合交、并、补基础运算（重点） 题型五、Venn图的理解与运算 提升·进阶突破 题型六、集合元素互异性的应用求参数（重点） 题型七、集合包含关系的判定与参数求解（重点） 题型八、集合相等的判定与求参数（重点） 题型九、交并补混合运算（重点） 题型十、根据集合的交并补运算求参数（难点） 拔高·压轴破难 题型十一、容斥原理实际应用（难点） 题型十二、集合新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、元素与集合的判定 【模型】依托集合三大特性（确定性、互异性、无序性），核心依据确定性判断对象能否构成集合，依据从属关系判断元素归属。 【步骤】①判断研究对象是否确定；②确定集合范围；③依据定义判断元素或集合。 【易错】模糊、不确定的对象误判为集合；混淆元素与集合、集合与集合的关系符号。 1．设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项， 且 ，所以，A选项错误； B选项， ，所以，B选项错误； C选项， ，所以 ，C选项错误； D选项， 且 不成立，所以，D选项正确. 2．下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，若，则，可得，所以，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 4．已知集合中元素满足，且，求集合中的元素． 【答案】2，3，4 【详解】由可知为6的正约数，故的值为1，2，3，6，， 所以的值为4，3，2，其中-1舍去，所以集合中的元素有2，3，4． 题型二、集合元素个数相关问题 【模型】基于集合元素互异性，统计有效元素数量，含参数题型需结合条件限定元素个数。 【步骤】①罗列集合所有元素；②剔除重复元素；③统计个数，含参题结合个数条件求参数。 【易错】忽略元素互异性，直接统计含重复的元素；未检验参数取值有效性。 5．若是由歌曲名《双双草鞋送红军》中的所有字组成的集合，则中元素的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】因为双，草，鞋，送，红，军，所以中元素的个数是6． 6．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 7．若集合中只含有一个元素，则a的值为______． 【答案】或 【详解】当时，，符合题意； 当时，因集合中只含有一个元素，则，得， 故或. 故答案为：或 8．已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 题型三、集合的子集与真子集 【模型】利用公式求解子集、真子集个数，个元素集合有个子集、个真子集。 【步骤】①确定集合有效元素个数；②代入对应公式计算；③按需枚举写出所有子集、真子集。 【易错】混淆子集与真子集公式；遗漏空集和集合本身；非空子集计算出错。 9．若集合有且仅有三个真子集，则的取值范围是__________ 【答案】 【详解】因为集合有且仅有三个真子集，则该集合包含2个元素， 即方程有两个不同的实数解， 则，解得或， 故的取值范围是. 10．若集合，，则集合的所有子集的个数是______． 【答案】 【详解】因为，且， 所以当时，；当时，；当时，. 因此， 所以集合的所有子集的个数为. 11．若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________ 【答案】 【详解】 因为所有三元子集中每个元素共出现3次， 所以所有三元子集的元素之积， 所以， 用120分别除以中的元素即得． 12．已知集合，请写出集合的子集及其真子集. 【答案】 子集：， 真子集：. 【详解】， 子集：， 真子集：. 题型四、集合交、并、补基础运算（重点） 【模型】依托集合运算定义，交集取公共元素、并集取全部元素、补集取全集剩余元素。 【步骤】①明确全集与已知集合范围；②找准对应元素区间；③按定义完成基础运算。 【易错】混淆交、并集运算逻辑；区间端点开闭判断错误；遗漏全集限定范围。 13．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则. 14．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合，， 根据集合并集的定义与运算，可得. 15．已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】由题可得，， 故，则中的元素个数为3. 16．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】全集， 又因为， 所以. 17．已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由全集，且，可得， 因为集合，所以. 题型五、Venn图的理解与运算 【模型】将图形区域转化为集合语言，通过Venn图区块对应交、并、补集合运算关系。 【步骤】①标注图中各区域对应集合；②转化为文字或区间集合；③结合集合运算法则求解。 【易错】看错区块对应运算关系；混淆重叠区域与独立区域的集合含义。 18．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为， 因为全集，集合，所以， 又因为，所以. 19．如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） (注：图中阴影部分为集合与的交集，但排除集合的部分) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分位于集合和的交集内部，但位于集合的外部. 因此表示为 . 20．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【详解】，，， 图中阴影部分表示的集合为， 其中， 故， 故阴影部分表示的集合的真子集的个数为. 21．已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个． 【答案】2 【详解】阴影部分对应的集合为，包含元素为不小于且不大于的正奇数， 即，共有个元素. 提升·进阶突破 题型六、集合元素互异性的应用求参数 【模型】集合内任意两个元素互不相等，结合等式条件列方程求参，最终必须验证取值。 【步骤】①根据题意列方程求解参数；②代入检验元素互不重复；③舍去不符合条件的参数值。 【易错】求出参数后不回代检验；忽略互异性导致集合元素重复，出现增根。 22．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，是集合的元素，则或， 得 或. 当时，且，集合中出现重复元素，故舍去； 当时，，，集合，符合题意. 综上，. 23．含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】对于，由题意得， 若，则，解得，此时， 而，可得或， 当时，不符合互异性，排除， 当，解得（舍去）或，此时，符合题意， 得到. 24．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【详解】因为集合，且， 所以当时，，此时， 集合中的元素出现重复，故舍去； 当时，，解得（舍去）或． 若，则，符合题意．综上所述，. 25．由数集中的元素不能取的值所构成的集合是__________． 【答案】 【详解】解：由集合中的元素满足互异性可知， 解得且且且． 故答案为： 26．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【分析】 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 题型七、集合包含关系的判定与参数求解 【模型】依据定义，集合A所有元素均在集合B中，含参题型需分类讨论。 【步骤】①优先讨论空集情况；②非空集合对比元素/区间范围；③列不等式求解参数范围。 【易错】解题遗漏空集讨论；区间包含端点取值判断失误，范围扩大或缩小。 27．已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 28．设集合，，且，则实数的值组成的集合为_____________. 【答案】 / 【详解】集合，， 由，可得， 所以实数的取值组成的集合为. 29．已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得或或或， 当时，满足，解得， 将代入方程，可得， 此时，满足条件， 将代入，得到，上面已经验证满足条件， 综上所述，的取值范围是． 30．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 31．设集合，，若，则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 若，此时，，因为，但，所以不成立； 若，此时，，所以成立. 综上可得，. 题型八、集合相等的判定与求参数 【模型】两个集合元素完全相同则集合相等，无序对应，通过元素对应相等列条件求参。 【步骤】①匹配两个集合元素对应关系；②列方程求解参数；③结合互异性检验取值合理性。 【易错】忽略集合无序性，固定元素对应位置；未检验互异性导致结果出错。 32．设，若，则=__________. 【答案】 【详解】， 根据集合相等条件可得，. . 故答案为：. 33．已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以 故选：C. 34．已知集合，，且，则集合________． 【答案】 【详解】由于，得或， 结合集合的元素的互异性，得， 所以集合， 故答案为： 35．设，集合，，若，则_____. 【答案】0 【详解】集合，，因为，所以， 则. 故答案为：0. 36．若集合，则实数a的取值范围为________________． 【答案】 【详解】令，则， 化简得，即， 而集合， 可得，解得. 故答案为： 题型九、交并补混合运算 【模型】遵循集合运算优先级，先算补集，再算交集、并集，多层嵌套逐层化简。 【步骤】①优先计算括号内集合、补集运算；②依次进行交、并运算；③整理最终集合结果。 【易错】运算顺序混乱；多层运算混淆区间范围；重复、遗漏元素化简失误。 37．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，则 由，解得， 又因为，故，则， 则. 38．已知集合，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 又，. 39．已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可得，，，，， 故A、B、D正确，C错误． 40．已知，，的子集个数为_______ 【答案】 【详解】因为， 所以，, 所以的子集个数为个. 41．全集，，，，，则________，________ 【答案】 【详解】法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知，． 法二：∵， ∴． 又， ∴． ∵，， ∴． 42．已知全集，集合，． (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)，； (2)，或 【分析】 【详解】（1）因为集合， 又集合， 所以， ． （2）因为全集，，， 所以或，或， 所以或， 或或或. 题型十、根据集合的交并补运算求参数 【模型】结合交并补运算结果特征，反向推导集合范围，建立方程或不等式求解参数。 【步骤】①根据运算结果锁定集合关系；②列等式或不等式组；③求解并检验参数取值范围。 【易错】忽略空集特殊情况；区间端点取舍错误；未验证运算结果匹配题意。 43．已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（    ） A．或0 B．或1 C．0或2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以， 或， 又，所以和不可能都是方程的解， 所以和中的一个是方程的解，另一个是方程的解. 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 所以只有选项A正确. 44．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 45．设全集，集合，若或，则实数a的取值范围为__________ 【答案】 【详解】已知全集，集合，因为或，所以, 即， 又因为为连续区间，所以有，解得. 46．设全集，，； (1)求，. (2)设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由，，得， 而全集，则或，所以. （2）， 因为，，所以且， 所以或， 所以实数的取值范围是. 47．已知、，集合，． (1)若，求、的值； (2)若，求、的值． 【答案】(1) 或 (2)①当 时， 为任意实数；②当 时，；③当 时，；④当 时，。 【分析】 【详解】（1）由题意： ， 对于集合，方程可化为， 所以方程的解为 若，所以， 所以，由，代入的方程得： 此时的方程为 即 由 ，分两种情况： 若，则，满足； 若，则，需，得， 所以 （2）因为，所以， 对中方程的判别式分类讨论： ①当，即时，，显然，此时为任意实数. ②当时： 若，即，则，需，即，得； 若，即，则，需，即，得； ③当时，方程有两个不同实根，要，只能，即（由 解得），此时需，得. 综上： ①当时，为任意实数； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 48．已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】 【详解】（1）因为 所以，所以或 （2）因为，且，即集合数轴表示要有公共部分， 所以，即的取值范围是. 拔高·压轴破难 题型十一、容斥原理实际应用 【模型】依托Venn图计数公式，两类集合计数：，解决重叠计数问题。 【步骤】①梳理两类集合数量与重叠数量；②代入容斥公式；③计算总数量或单独集合数量。 【易错】忘记减去重叠部分数量；重复计数或漏计，混淆并集与交集数量关系。 49．为提升学生的综合素养，某校开展了“阅读”“科创”“志愿服务”三大素养提升活动．高一某班学生中选择阅读的有26名，选择科创的有21名，选择志愿服务的有19名，同时选择阅读和科创的有6名，同时选择阅读和志愿服务的有4名，同时选择科创和志愿服务的有3名，三类都选择的有2名．若该班每人至少选择了一类活动，则该班的总人数是（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】D 【详解】设集合{选择阅读的学生}，集合{选择科创的学生}，集合{选择志愿服务的学生}， 则，，， ，，，， ， 所以该班的总人数是55. 50．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．只参加400米比赛的有3人 B．只参加100米比赛的有2人 C．三项比赛都参加的有2人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】C 【详解】记“参加100米比赛同学”，“参加400米比赛同学”，“参加1500米比赛同学”， 不妨用表示集合的元素个数，则由集合的容斥原理： 设三个项目都参加的人数为，即, 由题意， ，解得，即三项都参加的有人，正确； 计算只参加各项目人数： 只参加100米比赛人数：，错误； 只参加400米比赛人数：，错误； 只参加1500米比赛人数：，错误. 51．某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（     ） A．110人 B．108人 C．106人 D．104人 【答案】C 【详解】 高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛． 参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛； 同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人． 作出韦恩图可得高一年级参加比赛的同学有人. 52．为了积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对学生假期玩游戏的时长进行了调查．某班共有人，其中人玩游戏，人玩游戏，人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，则班上这三种游戏都不玩的学生有_____人． 【答案】 【详解】根据题意，设只玩的人数、同时玩和的人数、只玩的人数均为， 拆分玩的人群：已知玩的人均不玩， 因此玩的7人仅分为两类：只玩的人，同时玩和的人， 利用玩的总人数列方程：玩的12人包含只玩、同时玩、同时玩三类， 代入人数得：，解得， 统计各类玩游戏的人数： 只玩：玩总人数减去同时玩的人数，即； 只玩：；只玩：；同时玩：；同时玩：， 至少玩一种游戏的总人数：， 三种游戏都不玩的人数：班级总人数减去至少玩一种游戏的人数，即. 题型十二、集合新定义问题 【模型】依托题目自定义集合运算规则，迁移基础集合知识，套用新规则解题。 【步骤】①读懂并拆解新定义规则；②结合集合运算、元素性质套用规则；③化简得出结果。 【易错】曲解新定义运算逻辑；套用固有公式替代新规则，解题偏离题意。 53．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 54．对于任意的集合，，规定.若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由新定义可知：，为属于但不属于的元素构成的集合； ，为属于但不属于的元素构成的集合， 已知，若存在，则且，显然，与矛盾，因此. 由可得：所有属于的元素都属于，即； 由可得：所有属于的元素都属于，即，所以，故A正确； 若，则，与矛盾，故B错误； 若，则，与矛盾，故C错误； 若，表示和没有公共元素，与的结论矛盾，故D错误. 55．设集合，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的范围的“长度”是_____． 【答案】 / 【详解】由集合是集合的子集， 得，所以. 由是集合的子集， 得，所以. 集合的长度为， 集合的长度为， 当集合与集合的公共元素最少时，的“长度”最小，最小值为； 当集合与集合的公共元素最多时，的“长度”最大， 又，所以的“长度”的最大值为. 所以集合的“长度”的范围是， 所以集合的“长度”的范围的“长度”是. 56．已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________. 【答案】210 【详解】因集合满足：①每个集合恰有8个元素②.故集合中一定分别含有8个不同数值. 当集合中元素的最小值分别是6，7，8时，最大值为29，22，15时，幸运数的和最小， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最小值为； 当集合中元素的最小值分别是6，13，20时，最大值为29，28，27时，幸运数的和最大， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最大值为. 故的最大值与最小值之和为. 故答案为：210. 57．设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是“好集”，理由如下： 由，得. 因为， 所以是“好集”． (2)，，，， 【分析】 【详解】（1）略 （2）由于 所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 58．已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【分析】 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. $专题01 集合及其运算 基础·固本强基 题型一、元素与集合的判定 题型二、集合元素个数相关问题（重点） 题型三、集合的子集与真子集 题型四、集合交、并、补基础运算（重点） 题型五、Venn图的理解与运算 提升·进阶突破 题型六、集合元素互异性的应用求参数（重点） 题型七、集合包含关系的判定与参数求解（重点） 题型八、集合相等的判定与求参数（重点） 题型九、交并补混合运算（重点） 题型十、根据集合的交并补运算求参数（难点） 拔高·压轴破难 题型十一、容斥原理实际应用（难点） 题型十二、集合新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基题型一、元素与集合的判定 【模型】依托集合三大特性（确定性、互异性、无序性），核心依据确定性判断对象能否构成集合，依据从属关系判断元素归属。 【步骤】①判断研究对象是否确定；②确定集合范围；③依据定义判断元素或集合。 【易错】模糊、不确定的对象误判为集合；混淆元素与集合、集合与集合的关系符号。 1．设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合中元素满足，且，求集合中的元素． 题型二、集合元素个数相关问题 【模型】基于集合元素互异性，统计有效元素数量，含参数题型需结合条件限定元素个数。 【步骤】①罗列集合所有元素；②剔除重复元素；③统计个数，含参题结合个数条件求参数。 【易错】忽略元素互异性，直接统计含重复的元素；未检验参数取值有效性。 5．若是由歌曲名《双双草鞋送红军》中的所有字组成的集合，则中元素的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 7．若集合中只含有一个元素，则a的值为______． 8．已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 题型三、集合的子集与真子集 【模型】利用公式求解子集、真子集个数，个元素集合有个子集、个真子集。 【步骤】①确定集合有效元素个数；②代入对应公式计算；③按需枚举写出所有子集、真子集。 【易错】混淆子集与真子集公式；遗漏空集和集合本身；非空子集计算出错。 9．若集合有且仅有三个真子集，则的取值范围是__________ 10．若集合，，则集合的所有子集的个数是______． 11．若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________ 12．已知集合，请写出集合的子集及其真子集. 题型四、集合交、并、补基础运算（重点） 【模型】依托集合运算定义，交集取公共元素、并集取全部元素、补集取全集剩余元素。 【步骤】①明确全集与已知集合范围；②找准对应元素区间；③按定义完成基础运算。 【易错】混淆交、并集运算逻辑；区间端点开闭判断错误；遗漏全集限定范围。 13．集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 15．已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 16．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 17．已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 题型五、Venn图的理解与运算 【模型】将图形区域转化为集合语言，通过Venn图区块对应交、并、补集合运算关系。 【步骤】①标注图中各区域对应集合；②转化为文字或区间集合；③结合集合运算法则求解。 【易错】看错区块对应运算关系；混淆重叠区域与独立区域的集合含义。 18．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（     ） A． B． C． D． 19．如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） (注：图中阴影部分为集合与的交集，但排除集合的部分) A． B． C． D． 20．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 21．已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个． 提升·进阶突破 题型六、集合元素互异性的应用求参数 【模型】集合内任意两个元素互不相等，结合等式条件列方程求参，最终必须验证取值。 【步骤】①根据题意列方程求解参数；②代入检验元素互不重复；③舍去不符合条件的参数值。 【易错】求出参数后不回代检验；忽略互异性导致集合元素重复，出现增根。 22．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 23．含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 24．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 25．由数集中的元素不能取的值所构成的集合是__________． 26．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 题型七、集合包含关系的判定与参数求解 【模型】依据定义，集合A所有元素均在集合B中，含参题型需分类讨论。 【步骤】①优先讨论空集情况；②非空集合对比元素/区间范围；③列不等式求解参数范围。 【易错】解题遗漏空集讨论；区间包含端点取值判断失误，范围扩大或缩小。 27．已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 28．设集合，，且，则实数的值组成的集合为_____________. 29．已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 30．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 31．设集合，，若，则（     ） A．2 B．1 C． D． 题型八、集合相等的判定与求参数 【模型】两个集合元素完全相同则集合相等，无序对应，通过元素对应相等列条件求参。 【步骤】①匹配两个集合元素对应关系；②列方程求解参数；③结合互异性检验取值合理性。 【易错】忽略集合无序性，固定元素对应位置；未检验互异性导致结果出错。 32．设，若，则=__________. 33．已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 34．已知集合，，且，则集合________． 35．设，集合，，若，则_____. 36．若集合，则实数a的取值范围为________________． 题型九、交并补混合运算 【模型】遵循集合运算优先级，先算补集，再算交集、并集，多层嵌套逐层化简。 【步骤】①优先计算括号内集合、补集运算；②依次进行交、并运算；③整理最终集合结果。 【易错】运算顺序混乱；多层运算混淆区间范围；重复、遗漏元素化简失误。 37．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 38．已知集合，，，则（     ） A． B． C． D． 39．已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 40．已知，，的子集个数为_______ 41．全集，，，，，则________，________ 42．已知全集，集合，． (1)求，； (2)求，． 题型十、根据集合的交并补运算求参数 【模型】结合交并补运算结果特征，反向推导集合范围，建立方程或不等式求解参数。 【步骤】①根据运算结果锁定集合关系；②列等式或不等式组；③求解并检验参数取值范围。 【易错】忽略空集特殊情况；区间端点取舍错误；未验证运算结果匹配题意。 43．已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（    ） A．或0 B．或1 C．0或2 D． 44．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 45．设全集，集合，若或，则实数a的取值范围为__________ 46．设全集，，； (1)求，. (2)设集合，且，求实数的取值范围. 47．已知、，集合，． (1)若，求、的值； (2)若，求、的值． 48．已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 拔高·压轴破难 题型十一、容斥原理实际应用 【模型】依托Venn图计数公式，两类集合计数：，解决重叠计数问题。 【步骤】①梳理两类集合数量与重叠数量；②代入容斥公式；③计算总数量或单独集合数量。 【易错】忘记减去重叠部分数量；重复计数或漏计，混淆并集与交集数量关系。 49．为提升学生的综合素养，某校开展了“阅读”“科创”“志愿服务”三大素养提升活动．高一某班学生中选择阅读的有26名，选择科创的有21名，选择志愿服务的有19名，同时选择阅读和科创的有6名，同时选择阅读和志愿服务的有4名，同时选择科创和志愿服务的有3名，三类都选择的有2名．若该班每人至少选择了一类活动，则该班的总人数是（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 50．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．只参加400米比赛的有3人 B．只参加100米比赛的有2人 C．三项比赛都参加的有2人 D．只参加1500米比赛的有3人 51．某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（     ） A．110人 B．108人 C．106人 D．104人 52．为了积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对学生假期玩游戏的时长进行了调查．某班共有人，其中人玩游戏，人玩游戏，人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，则班上这三种游戏都不玩的学生有_____人． 题型十二、集合新定义问题 【模型】依托题目自定义集合运算规则，迁移基础集合知识，套用新规则解题。 【步骤】①读懂并拆解新定义规则；②结合集合运算、元素性质套用规则；③化简得出结果。 【易错】曲解新定义运算逻辑；套用固有公式替代新规则，解题偏离题意。 53．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 54．对于任意的集合，，规定.若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 55．设集合，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的范围的“长度”是_____． 56．已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________. 57．设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 58．已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. $