专题03 函数（期中真题汇编，上海专用）高一数学上学期沪教版

**基本信息** 上海多所名校高一上期中函数专题汇编，覆盖定义域、单调性等8大高频考点，精选选择、填空、解答题，注重基础与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|多题|定义域、奇偶性判断、幂函数图像|结合名校期中真题，基础概念辨析| |填空|多题|函数值域、指数对数运算、二次函数零点|分层设计，从简单计算到参数讨论| |解答题|典型题|单调性证明、幂函数性质应用、实际问题建模|综合考查逻辑推理与数学应用，如函数应用结合进步率计算、围棋变化数估计|

专题03 函数 8大高频考点概览 考点01 函数定义域值域 考点02 单调性/奇偶性 考点03 幂函数 考点04 指数函数 考点05 对数函数 考点06 二次函数 考点07 函数图像 考点08 函数应用 地 城 考点01 函数定义域值域 一、单选题 1．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）下列选项中，是的函数的是（    ） A． B． C．   D． 1 2 1 3 1 2 3 4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数的意义逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，对于的每个值，都有唯一值与之对应， 因此是的函数，A是； 对于B，由，得，此不等式组无解，不是的函数，B不是； 对于C，由图象知，存在值（如），有两个值与之对应，不是的函数，C不是； 对于D，与对应的值有1和3两个，不是的函数，D不是. 故选：A 2．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 二、填空题 3．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由被开方数大于等于零和分母不为零解不等式组可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海育才中学·期中）函数的定义域是_____. 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由二次根式以及分式有意义的条件即可求解. 【详解】由题意自变量应满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海建平中学·期中）函数的定义域为_____. 【答案】 【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可. 【详解】由解析式得：， 解得且， 所以定义域为， 故答案为： 7．（25-26高一上·上海复旦大学附属中学徐汇分校·期中）函数的值域是________________． 【答案】． 【分析】先求出，再利用不等式的性质逐步求出函数的值域得解. 【详解】，且， ， ， ， ， 故函数的值域是． 故答案为： 地 城 考点02 单调性/奇偶性 一、单选题 1．（25-26高一上·上海中学·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 2．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】对于①：根据题意结合奇偶性的定义分析判断即可；对于②：根据奇偶性的性质分析判断即可. 【详解】对于①：设、是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数， 且，可得， 可得，， 因为，可知为奇函数， ，可知为偶函数，故①为真命题； 对于②：设，，， 可知、、均是定义域上的奇函数， 且，，， 所以、、均是定义域上的奇函数，故②是真命题； 故选：A. 二、填空题 3．（25-26高一上·上海中学·期中）已知是奇函数，则实数a的值为________． 【答案】1 【分析】主要依据奇函数的性质得到等式，然后通过对数运算性质化简等式，最后求解方程并检验得到符合条件的值. 【详解】不确定0是否在定义域内，故不能令， 由 得 ，即， 恒成立．故，解得． 4．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）设是定义在R上的偶函数，且当时，．若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】由偶函数的性质和二次函数的判别式以及对称轴可解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以的图象关于轴对称， 又函数恰有4个零点，所以当时，有两个零点， 所以，解得或， 又二次函数的对称轴，且， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海建平中学·期中）函数图象的对称中心为_____. 【答案】 【分析】利用函数对称性的定义可得出结果. 【详解】设，该函数的定义域为， 因为， 故函数图象的对称中心为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么__________． 【答案】 【分析】构造奇函数，根据其为奇函数，即可求得值. 【详解】根据题意函数的图象对称中心为， 设，则为奇函数， 则， 所以， 得， 即， 即，则有， 所以. 故答案为： 三、解答题 7．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）设，k为常数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，证明在上是严格减函数． 【答案】(1) 已知函数定义域为， 当时，由，所以函数是偶函数， 当时，由， ，所以函数是非奇非偶函数； (2) 证明：当时，， 任取，不妨设， 则， 因为，所以，，即， 又因为，所以，则，即 所以函数在上是严格减函数. 【分析】(1)利用奇偶性的定义来证明判断即可； (2)利用函数单调性的定义来进行证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 地 城 考点03 幂函数 一、单选题 1．（25-26高一上·上海建平中学·期中）如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的图象性质，观察得答案. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，在上递增，且在上越大，增长速度越快， 当时，在上递减，从而可知，曲线对应的， 曲线对应的依次为. 故选：A 2．（25-26高一上·上海知行中学·期中）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），若0<a<b<1，则下列各式正确的是 A．f（a）<f（b）<f（） B．<f（b）<f（a） C．f（a）<f（b） D． 【答案】A 【分析】先求得幂函数的解析式，由解析式得到该函数的单调性，根据及单调性得出正确选项. 【详解】设幂函数y=f（x）=xα， ∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α=2， 解得，∴f（x）=，∵0<a<b<1，∴， ∴f（a）<f（b）<f（）．故选A． 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，考查函数值比较大小，属于基础题. 二、填空题 3．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知幂函数过点，则__________． 【答案】 【分析】结合题意，根据指数幂的运算求解即可. 【详解】由题可得，解得. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，系数为，不过原点指数小于等于即可得 【详解】根据幂函数定义，系数，解得或， 为使图象不过原点，指数，即，所以. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________. 【答案】或 【分析】对进行讨论，通过函数的单调性进行求解即可. 【详解】①当时，单调递增，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ②当时，单调递减，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ③当时，差为（舍去）0. 故答案为：或 6．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】利用幂函数的定义确定的值，从而利用单调性解不等式即可求解. 【详解】因为是幂函数，则，得或， 又因为幂函数在上是严格减函数，所以，， 因为，则或或， 所以或. 所以解集为； 故答案为：. 三、解答题 7．（25-26高一上·上海格致中学·期中）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）依题意可得，求出的值，即可求出函数解析式及定义域； （2）首先判断函数的单调性，即可得到，解得即可. 【详解】（1）幂函数经过点， ，即，解得，； 因为，所以的定义域为. （2）由于函数在其定义域上单调递减， 又因为点，点在此幂函数的图象上，且满足， 可得，解得， 所以. 8．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可得出范围；（2）由于在区间，上都是减函数，且，分三种情况讨论，即可得出． 【详解】解：（1）因为是幂函数，所以，解得或， 又因为在上单调递增，所以，即， 所以. （2）由于在区间都是减函数，且 分三种情况讨论： ①当，即时，原不等式成立； ②当且时，有，即，解集为空集； ③当且时，有，即，∴ 综上所述：的取值范围是. 9．（25-26高一上·上海中学东校·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）由，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值. （2）由（1）求出，再利用单调性及偶函数性质求解不等式. 【详解】（1）由，得幂函数在区间上单调递减， 则，解得，又，则m的值为， 由的图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数， 所以. （2）由（1）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调递减， 不等式，则， 解得或，所以的取值范围是. 10．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知幂函数，其中， (1)若函数不经过原点，求函数的解析式； (2)若函数在上严格增函数， ①求不等式的解集，其中； ②若函数，当，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) ①（Ⅰ）当时，不等式的解集为或； （Ⅱ）当时，不等式的解集为； （Ⅲ）当时，不等式的解集为； （Ⅳ）当时， 不等式的解集为； （Ⅴ）当时，不等式的解集为； ②存在； 【分析】（1）直接由幂函数的定义、性质列出方程求解即可； （2）先确定函数的解析式，①根据二次不等式求解，分、、、、讨论写解集即可；②令，得，在讨论对称轴确定最小值得到的值即可． 【详解】（1）为幂函数， 则，解得或， 当时，，不过原点，符合题意； 当时，，过原点，不符合题意； 所以； （2）由（1）知，当时，在单调递减，不符合题意， 当时，在单调递增，符合题意； 所以， ①不等式为， 即， （Ⅰ）当时，不等式的解集为或； （Ⅱ）当时，不等式的解集为； （Ⅲ）当时，不等式的解集为； （Ⅳ）当时， 不等式的解集为； （Ⅴ）当时，不等式的解集为； ②，令， 则， 当，即，在单调递增， ，解得； 当，即，在单调递减， ，解得（舍去）； 当，即， ，解得（舍去）； 综上，存在，． 地 城 考点04 指数函数 一、单选题 1．（25-26高一上·上海中学东校·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】利用指数运算化简判断AC；利用根式运算化简判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 二、填空题 2．（25-26高一上·上海建平中学·期中）用分数指数幂表示：_____. 【答案】 【分析】根据分数指数幂运算法则求解即可． 【详解】原式． 故答案为：． 3．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）用有理数指数幂表示（其中）：__________. 【答案】 【分析】根据有理数指数幂，求出结果即可. 【详解】由题意得. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海延安中学·期中）若实数，且，，则_________． 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则即可得到答案. 【详解】，即，即， 则. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知，化简__________． 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海建平中学·期中）不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可． 【详解】在上单调递减，， ，解得， 所以不等式的解集是． 故答案为：． 7．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性转化为自变量的不等式，解之即可. 【详解】不等式，即， 因为在定义域上单调递增， 所以不等式等价于，即， 因为恒成立， 所以不等式的解集为，即不等式的解集为. 故答案为： 8．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）已知常数且，则函数必过定点__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，求出函数所过定点坐标即可. 【详解】当，即时，，所以函数必过定点. 故答案为：. 9．（25-26高一上·上海建平中学·期中）函数的图象恒过定点_____. 【答案】 【分析】由，将代入函数表达式，计算即可求解. 【详解】对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 三、解答题 10．（25-26高一上·上海行知中学·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；（2）7； 【分析】（1）直接由指数幂的运算可得；（2）先将等式完全平方求出，再平方可得，由立方差的公式可求. 【详解】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 11．（25-26高一上·上海华师大第三附属中学·期中）已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根题意设且，解出即可； （2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可. 【详解】（1）设且， 由，可得，又，， . （2）由（1）知， 又方程有两个不同的实数解， 有两个不同的实数解，设， 有两个不同的正实数解， ，解得， 实数的取值范围为. 地 城 考点05 对数函数 一、单选题 1．（25-26高一上·上海华师大松江实验高级中学·期中）若，下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【详解】由，，，，知： 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故错误． 故选：． 2．（25-26高一上·上海中学东校·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 【答案】B 【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 二、填空题 3．（25-26高一上·上海市西中学·期中）若，则_______． 【答案】15 【分析】利用对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意得，则，解得． 故答案为：15. 4．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）______. 【答案】3 【分析】利用换底公式及其对数运算法则求解即可. 【详解】 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）关于的不等式的解集为________ ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性求解． 【详解】由得，且，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 6．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知，用的代数式表示__________． 【答案】 【分析】由对数的运算性质和换底公式计算可得. 【详解】. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海格致中学·期中）若实数，满足，，则_______. 【答案】 【分析】通过对数的定义将、转化为对数形式，利用换底公式将分式转化为对数运算，再结合对数的运算法则求解. 【详解】由，得，故. 由，得，故. 因此，. 故答案为： 8．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）设，，用表示的结果为__________ 【答案】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】， 故答案为： 9．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知，用表示为__________． 【答案】 【解析】由指数与对数运算的关系可得，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解. 【详解】由题意，， 利用换底公式得：， ， 所以. 故答案为：. 10．（25-26高一上·上海中学·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 11．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）函数的定义域为________ 【答案】 【分析】根据对数型函数定义域的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】由函数可知， 解得， 故答案为：. 12．（25-26高一上·上海格致中学·期中）设正实数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解. 【详解】由，得． 所以． 故答案为： 13．（25-26高一上·上海曹杨第二中学·期中）已知函数，若，则的最小值为_____________. 【答案】4 【分析】根据题意结合图象可得，且，结合基本不等式运算求解. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 因为，且，所以， 所以，则，可得， 即，且， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 14．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】24 【分析】由题设结合对数运算法则可得，再根据基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意，，， 则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为24. 故答案为：24. 15．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）若实数、满足：，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用对数的运算法则得，再由基本不等式即可求解. 【详解】由有：，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 三、解答题 16．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知实数，，满足： (1)若满足方程：，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据一元二次方程求出，然后根据指数和对数的互换求出. （2）根据指数和对数的互换和对数的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为满足，所以， 解得或. 因为，所以. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以，所以. 17．（25-26高一上·上海育才中学·期中）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 【答案】（1），，均为不等于1的正数，令，则， 所以． （2）， 【分析】（1）设，然后对数式化指数式代入原式右边化简即可； （2）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，所以，又， 所以， . 地 城 考点06 二次函数 一、填空题 1．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，先验证符合题意，再验证，时符合题意，最后根据题意计算，且时，满足或，解出不等式，即可求解. 【详解】当时，有，解得，，符合题意； 当时，若，则有，解得， 此时方程为，即， 解得，，符合题意； 当，且时，即且时，令 若在区间上恰有一个x满足方程， ①，又，， 所以有：，解得或， ②当时，，符合题意； 当时，，，解得或，不合题意； 综上所述，的取值范围为：. 故答案为： 二、解答题 2．（25-26高一上·上海中学·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，；当且时，. 【分析】（1）根据函数定义域的要求，需保证二次函数在上恒非负，利用判别式，求解的取值范围； （2）通过作差法计算，化简后判断其符号，即可比较与的大小. 【详解】（1）由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． （2）由题意，当时，， 所以 ．           所以当时，；当且时，． 3．（25-26高一上·上海中学东校·期中）对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点． (1)已知函数，求该函数的不动点； (2)若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，3； (2). 【分析】（1）根据不动点的定义列出方程并求解即得. （2）根据不动点的定义，结合一元二次方程的判别式列式，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）设为函数的不动点，则，即， 解得或，所以所求不动点为，3. （2）由，二次函数恒有两个相异的不动点， 得，方程有两个不等实根， 则，，且， 由，得，则， 当且仅当，即时取等号，因此，且，即且， 所以实数的取值范围是. 4．（25-26高一上·上海市嘉定区第一中学·期中）二次函数满足对任意的，恒成立． (1)求证：为定值； (2)若，求二次函数的表达式； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明：对任意的，恒成立，则， 所以，为定值. (2)； (3). 【分析】（1）取，代入恒成立的不等式即可. （2）由已知求出，结合（1）及一元二次不等式恒成立求出，再验证即可得解. （3）由（1）求得，再利用恒成立的不等式，结合一元二次方程有等根求得即可求出范围. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，由，得，则， ，不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立，则， 解得，此时，恒成立， 所以. （3）由（1）知，，， 不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立， 则，且方程有相等的实数根，因此， 不等式， 同理，且方程有相等的实数根，因此， 从而，， 所以的取值范围是. 5．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知二次函数，其中， (1)若满足，求； (2)若，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围； (3)当，若对任意实数，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由是偶函数，问题转化为时，与有两个不同的交点，进而分析求解即可； （3）问题转化为，分情况讨论的最值求解. 【详解】（1）由已知， ， 所以，解得， 所以； （2）因为为偶函数，所以若关于的方程有四个不同的实根， 则时，方程有两个不同的实根， 即时，与有两个不同的交点， 当时，，， 而时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，开口向下，对称轴在轴右侧，且最大值大于. 所以，解得且， 所以实数的取值范围为； （3）由已知可知，对任意实数，在恒成立， 因为的对称轴为，， 若，则在单调递增， ， 所以在恒成立， 因为在单调递增，所以，解得； 若，即，则在单调递减， ， 所以在恒成立， 因为在单调递减， 所以，解得； 当，即， ， 所以在恒成立， 因为在单调递增， 所以，解得； 当，即时， ， 所以在恒成立， 因为在单调递减， 所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 地 城 考点07 函数图像 一、单选题 1．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）函数的大致图像如图，则其解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要解决这个问题，我们需要根据函数图像的特征，逐一分析每个选项中的函数，看是否符合图像特点. 【详解】由已知函数的图象知：函数的定义域为，且函数值恒大于等于零， 对于A选项，的图象是两条射线， 与已知图象不符，故不正确. 对于B选项,的定义域为，与已知图象不符，故不正确. 对于C选项,当时,是一个单调递增的曲线，当时,是一个单调递减的曲线，整体图象关于对称，且在处平滑连接,与已知图象相符，故正确. 对于D选项,当时，，增长速度较快，当时，，下降速度也较快，与已知图象不符，故不正确. 故选：C 2．（25-26高一上·上海曹杨第二中学·期中）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可． 【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C， 如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：， 所以B正确； 对称轴在x轴左侧，C不正确； 如果，二次函数有一个零点，所以D不正确． 故选：B． 3．（25-26高一上·上海华师大第三附属中学·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 4．（25-26高一上·上海格致中学·期中）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 地 城 考点08 函数应用 一、单选题 1．（25-26高一上·上海彭浦中学·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 2．（25-26高一上·上海育才中学·期中）标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对取对数，利用对数的运算求解即可得. 【详解】， 所以，分析选项知C中与其最接近． 故选：C． 3．（25-26高一上·上海南汇中学·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ）（） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 【答案】C 【分析】首先设，再通过对数运算公式，即可求解. 【详解】设，所以， 因为，所以，且 所以， 所以的位数是. 故选：C 4．（25-26高一上·上海延安中学·期中）香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义结合对数运算求解即可 【详解】由题意可知， 故选：C. 二、填空题 5．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【答案】23 【分析】由初始条件求得参数值，再代入计算可得． 【详解】由题意，所以，即， 所以时，， 故答案为：23. 三、解答题 6．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 【答案】(1)选③，函数解析式为. (2)20分钟到40分钟 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①②,代入数据③中求参数得函数解析式； （2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【详解】（1）模型①:假设；， 当时，不是，故①不符合题意； 模型②:假设；时， 当时，不是，故②不符合题意； 模型③:假设；时符合， 当时，得， 当时，，故③符合题意； 最符合上述规律的是模型③，. （2）由题意，所以分钟， 因为单调递增，故，当且仅当. 设曹同学小组使用篮球场的时长为，张同学小组使用篮球场的时长为， 则且，故分钟，又 所以曹同学小组使用篮球场的时长范围是分钟到分钟. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 8大高频考点概览 考点01 函数定义域值域 考点02 单调性/奇偶性 考点03 幂函数 考点04 指数函数 考点05 对数函数 考点06 二次函数 考点07 函数图像 考点08 函数应用 地 城 考点01 函数定义域值域 一、单选题 1．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）下列选项中，是的函数的是（    ） A． B． C．   D． 1 2 1 3 1 2 3 4 2．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）函数的定义域为______． 4．（25-26高一上·上海育才中学·期中）函数的定义域是_____. 5．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）函数的定义域为______． 6．（25-26高一上·上海建平中学·期中）函数的定义域为_____. 7．（25-26高一上·上海复旦大学附属中学徐汇分校·期中）函数的值域是________________． 地 城 考点02 单调性/奇偶性 一、单选题 1．（25-26高一上·上海中学·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 二、填空题 3．（25-26高一上·上海中学·期中）已知是奇函数，则实数a的值为________． 4．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）设是定义在R上的偶函数，且当时，．若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是______． 5．（25-26高一上·上海建平中学·期中）函数图象的对称中心为_____. 6．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么__________． 三、解答题 7．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）设，k为常数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，证明在上是严格减函数． 地 城 考点03 幂函数 一、单选题 1．（25-26高一上·上海建平中学·期中）如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海知行中学·期中）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），若0<a<b<1，则下列各式正确的是 A．f（a）<f（b）<f（） B．<f（b）<f（a） C．f（a）<f（b） D． 二、填空题 3．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知幂函数过点，则__________． 4．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________. 5．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________. 6．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 三、解答题 7．（25-26高一上·上海格致中学·期中）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 8．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 9．（25-26高一上·上海中学东校·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 10．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知幂函数，其中， (1)若函数不经过原点，求函数的解析式； (2)若函数在上严格增函数， ①求不等式的解集，其中； ②若函数，当，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 地 城 考点04 指数函数 一、单选题 1．（25-26高一上·上海中学东校·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 二、填空题 2．（25-26高一上·上海建平中学·期中）用分数指数幂表示：_____. 3．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）用有理数指数幂表示（其中）：__________. 4．（25-26高一上·上海延安中学·期中）若实数，且，，则_________． 5．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知，化简__________． 6．（25-26高一上·上海建平中学·期中）不等式的解集是_____． 7．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）不等式的解集为____________. 8．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）已知常数且，则函数必过定点__________. 9．（25-26高一上·上海建平中学·期中）函数的图象恒过定点_____. 三、解答题 10．（25-26高一上·上海行知中学·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 11．（25-26高一上·上海华师大第三附属中学·期中）已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 地 城 考点05 对数函数 一、单选题 1．（25-26高一上·上海华师大松江实验高级中学·期中）若，下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海中学东校·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 二、填空题 3．（25-26高一上·上海市西中学·期中）若，则_______． 4．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）______. 5．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）关于的不等式的解集为________ ． 6．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知，用的代数式表示__________． 7．（25-26高一上·上海格致中学·期中）若实数，满足，，则_______. 8．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）设，，用表示的结果为__________ 9．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知，用表示为__________． 10．（25-26高一上·上海中学·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 11．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）函数的定义域为________ 12．（25-26高一上·上海格致中学·期中）设正实数满足，则__________． 13．（25-26高一上·上海曹杨第二中学·期中）已知函数，若，则的最小值为_____________. 14．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知实数满足，则的最小值为__________． 15．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）若实数、满足：，则的最小值为__________. 三、解答题 16．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知实数，，满足： (1)若满足方程：，求的值； (2)若，求的值. 17．（25-26高一上·上海育才中学·期中）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 地 城 考点06 二次函数 一、填空题 1．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为______． 二、解答题 2．（25-26高一上·上海中学·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 3．（25-26高一上·上海中学东校·期中）对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点． (1)已知函数，求该函数的不动点； (2)若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·上海市嘉定区第一中学·期中）二次函数满足对任意的，恒成立． (1)求证：为定值； (2)若，求二次函数的表达式； (3)求的取值范围． 5．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知二次函数，其中， (1)若满足，求； (2)若，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围； (3)当，若对任意实数，总存在，使得，求实数的取值范围． 地 城 考点07 函数图像 一、单选题 1．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）函数的大致图像如图，则其解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海曹杨第二中学·期中）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海华师大第三附属中学·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．  B．  C．   D．   4．（25-26高一上·上海格致中学·期中）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点08 函数应用 一、单选题 1．（25-26高一上·上海彭浦中学·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 2．（25-26高一上·上海育才中学·期中）标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海南汇中学·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ）（） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 4．（25-26高一上·上海延安中学·期中）香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 三、解答题 6．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $