基本不等式易错难题同步培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

不等式易错难题（讲义） 适用范围：高中数学必修第一册《基本不等式》同步培优 题型导读 A 类 结构陷阱：取等取不到 式子形如能用均值，但取等点落在定义域外。必须先验算取等条件，再决定用均值还是转向单调性。 B 类 多元条件：换元与消元 带等式约束的双变量问题。核心是选对换元方向，把约束翻译成单一变量的取值范围。 C 类 含参恒成立与根的分布 参数、区间、根的分布交织在一起，核心是先分离参数或转图象，再逐类讨论边界。 D 类 证明与放缩 不等式证明的三大武器：作差配方、构造函数求最值、放缩裂项。思维量最大，无通法。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ A 类 结构陷阱：取等取不到 式子形如能用均值，但取等点落在定义域外。必须先验算取等条件，再决定用均值还是转向单调性。 【A1】已知 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A2】求 （）的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A3】已知 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A4】已知 且 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A5】已知 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A6】已知 且 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A7】已知 且 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A8】已知 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ B 类 多元条件：换元与消元 带等式约束的双变量问题。核心是选对换元方向，把约束翻译成单一变量的取值范围。 【B1】已知正数 满足 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B2】已知 且 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B3】已知 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B4】已知 且 ，求 的最大值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B5】已知 且 ，求 的最小值。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B6】已知 ，求 的值域。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B7】求 的值域（）。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B8】已知 且 ，求 的最小值；并问取等条件。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ C 类 含参恒成立与根的分布 参数、区间、根的分布交织在一起，核心是先分离参数或转图象，再逐类讨论边界。 【C1】若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C2】若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C3】已知方程 的两根为 ，若 ，求实数 的取值范围。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C4】若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C5】若方程 在区间 内有两个不等实根，求 的取值范围。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C6】已知对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C7】若关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C8】设 ，比较 与 的大小，并说明理由。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ D 类 证明与放缩 不等式证明的三大武器：作差配方、构造函数求最值、放缩裂项。思维量最大，无通法。 【D1】设 ，证明：。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D2】设 ，证明：。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D3】证明：当 时，。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D4】证明：对任意正整数 ，。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D5】证明：对任意正整数 ，。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D6】设 ，证明： 不一定成立，并举反例；再证明：若 ，则结论成立。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D7】设 ，证明：。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D8】设 且 ，证明：。 解： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式易错难题（讲义）——教师版 适用范围：高中数学必修第一册《基本不等式》同步培优 题型导读 A 类 结构陷阱：取等取不到 式子形如能用均值，但取等点落在定义域外。必须先验算取等条件，再决定用均值还是转向单调性。 B 类 多元条件：换元与消元 带等式约束的双变量问题。核心是选对换元方向，把约束翻译成单一变量的取值范围。 C 类 含参恒成立与根的分布 参数、区间、根的分布交织在一起，核心是先分离参数或转图象，再逐类讨论边界。 D 类 证明与放缩 不等式证明的三大武器：作差配方、构造函数求最值、放缩裂项。思维量最大，无通法。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ A 类 结构陷阱：取等取不到 式子形如能用均值，但取等点落在定义域外。必须先验算取等条件，再决定用均值还是转向单调性。 【A1】已知 ，求 的最小值。 答案：（当 ） 解析：令 ，则 ，。若直接对 用均值，得 ，取等条件是 ——但 ，取等点落在定义域之外，这个下界取不到。改用单调性：当 时 单调递增，故在 上最小值在 （即 ）处取得，。 易错点：用均值求出的下界，必须验算取等条件是否可达。取不到时改判单调性，端点才是最值——本题 就是典型的“取等取不到”陷阱。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A2】求 （）的最小值。 答案：（当 ） 解析：观察次数：分子比分母高两级。令 ，则 ，。由 ， 在 上递增，最小值在 （即 ）处取得，故 。 易错点：关键是换元后看取等点 是否可达。这里 对应 ，可达，所以能直接取到最小值；若定义域改成 ，取等点就取不到，须改判单调性。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A3】已知 ，求 的最小值。 答案：（当 ） 解析：先整式分离：，故 。令 ，则 ，取等条件 ，即 ，落在 内，可达。故 。 易错点：分式型先整式分离把分子降次，凑出“倒数结构”再用均值；取等点 必须验算是否落在 内——本题恰好可达。若定义域改为 ，取等点就失效，要改判单调性。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A4】已知 且 ，求 的最小值。 答案：最小值 （） 解析：由柯西不等式：，而 （因 ），故 。两次取等均在 同时成立，最小值为 8。 易错点：多次放缩时，要把每步的取等条件写出来，检查能否同时成立。本题两次都在 处取等，所以结论有效——这是能用的关键。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A5】已知 ，求 的最小值。 答案：（当 ） 解析：三项凑定值：把 拆成两半，，当且仅当 即 ， 时取等号，最小值 3。 易错点：均值不等式的拆项凑定值，项数要与目标次数匹配。这里是 3 项配 3 次根，拆 为两个 是唯一能消掉 的拆法。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A6】已知 且 ，求 的最小值。 答案：最小值 （） 解析：用三元均值：把 拆成 ，。当且仅当 时取等，代入约束 得 ，，此时 。 易错点：约束是乘积型时，目标式也要凑成乘积——三项均值正好消去次数。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A7】已知 且 ，求 的最小值。 答案：最小值 （） 解析：直接法：。由 知 ，且 得 。令 ，则 ，随 增大而减小，故 （即 ）时取最小值 。 易错点：平方和约束下的分式最值，标准套路是统一到 ，再用换元+单调性。直接套均值会因取等点冲突而失效。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【A8】已知 ，求 的最小值。 答案：（当 ） 解析：分离常数：。由 ，当且仅当 即 时取等，故 。 易错点：系数不为 1 时，配凑的目标是让积为定值： 是常数，取等点 也在定义域内。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ B 类 多元条件：换元与消元 带等式约束的双变量问题。核心是选对换元方向，把约束翻译成单一变量的取值范围。 【B1】已知正数 满足 ，求 的最小值。 答案：最小值 （） 解析：关键观察：把 视为整体。因 ，则 。由柯西（Titu 引理）：，当 时取等。 易错点：见到 与 之和为定值，立刻把 打包成一个变量。不要试图分别处理 和 ——它们只以和的形式出现。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B2】已知 且 ，求 的最小值。 答案：最小值 （，） 解析：补常数换元：令 ，，则 。用乘 1 法按约束系数配平：。取等条件 即 ，代入 得 ，。验算 ，，满足换元范围。对应 ，，均为正。 易错点：约束系数不对称（1 与 2）时，乘 1 法要乘约束式本身，展开后交叉项系数 2 正好被均值配平。换元后务必验算 、——若原题改成求最大值，答案取不到（端点 时趋于 ），这就是本题只求最小值的原因。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B3】已知 ，求 的最小值。 答案：最小值 （） 解析：整体换元：令 。由 得 。原式 ，在 上单调递增（ 时 递增），故最小值在 处取得：。 即 ，可达。 易错点：本题是取等校验的正面教材： 可达，且 在 上单调递增，不能想当然写 。必须先定 的范围再判单调性。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B4】已知 且 ，求 的最大值。 答案：最大值 （） 解析：由柯西不等式：，故 ，当 即 时取等号。 易错点：根式和的最值一律先平方，再用柯西 。取 即可把根号消掉。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B5】已知 且 ，求 的最小值。 答案：最小值 （，） 解析：乘 1 法：（因 ）。展开：，由 ，得 。取等： 即 ，代入 得 ，。 易错点：乘 1 法的标准动作：所求式×约束式（约束式恰为 1）。系数 2 会自动落到展开项里，无需额外配平。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B6】已知 ，求 的值域。 答案：值域 解析：观察：分子分母都是二次齐次式，可整体除以 。令 ，则 。由 得 （当 取等），且 。故值域为 。 易错点：齐次式的通法：除以一个变量的最高次，化成单变量比值。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B7】求 的值域（）。 答案： 解析：去分母整理成关于 的二次方程：，即 。① 当 时，方程变为 ，有解，故 合法。② 当 时，需 ：，即 ，解得 。该区间包含 ，综合得值域。 易错点：判别式法必须分两种情形：① 二次项系数为 0（此时要单独验证方程有解）；② 二次项系数不为 0。漏掉第一种是最常见的错误。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【B8】已知 且 ，求 的最小值；并问取等条件。 答案：最小值 （） 解析：由 得 ，即三个倒数之积为定值 1。由三元均值：，当且仅当 即 时取等号。 易错点：积为定值则有最小值，这是三元均值的直接应用。关键是识别出 的倒数也构成积为定值。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ C 类 含参恒成立与根的分布 参数、区间、根的分布交织在一起，核心是先分离参数或转图象，再逐类讨论边界。 【C1】若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围。 答案： 解析：分两类：① 时，化为 恒成立，符合；② 时，须开口向上且判别式为负： 且 ，解得 。综合得 。 易错点：含参二次不等式的第一刀永远是讨论 —— 时它根本不是二次不等式，不讨论直接套 必错。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C2】若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。 答案： 解析：因 时 ，可分离参数： ⟹ 对一切 恒成立，故 。由均值 ，取等点 在区间内，故最小值 ，得 。 易错点：区间恒成立优先分离参数、转最值。分离后一定要验证取等点是否落在区间内，否则最小值要取端点值。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C3】已知方程 的两根为 ，若 ，求实数 的取值范围。 答案： 解析：先看能否因式分解：，试根 与 ：，故两根为 和 （）。条件 即 ，解得 。 易错点：根的分布题先尝试因式分解——本题两根本可一眼看出，分解后条件变成简单不等式组，远比硬算 和对称轴快。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C4】若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围。 答案： 或 解析：由绝对值三角不等式：，当 介于 与 2 之间时取等。要使原式对一切 成立，只需最小值 ：，解得 或 ，即 或 。 易错点： 的最小值 ，这是绝对值恒成立的核武器。记住取等位置在 与 之间（含端点）。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C5】若方程 在区间 内有两个不等实根，求 的取值范围。 答案：不存在这样的 （四个必要条件联立为空集） 解析：设 ，开口向上。两根都在 内需同时满足四条：① 判别式 ，得 或 ；② 对称轴 ，得 ；③ 端点 ，得 ；④ 端点 ，得 。①与②联立即为空集（ 与 冲突），故不存在满足条件的 。 易错点：区间双根问题必须四条件齐全：、对称轴、两个端点，任一遗漏都可能给出错误范围。本题的陷阱就在于：漏掉对称轴条件、只看 ①③④ 的人会误以为有解，联立对称轴条件后才暴露空集。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C6】已知对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。 答案： 解析：分离参数：由 ， 对一切 恒成立，故 。而 ，当 时取到最大值 4。故 。 易错点：恒成立问题的标准转化： 含 的式子 ⟺ 该式的最大值。方向最容易搞反——先在题目里标出求的是 的上界还是下界。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C7】若关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 答案： 解析：由 ，两边乘 得 ，需有非零实根（ 显然不是根）。由 得 或 。另解：由 ， 时 ， 时 ，结论相同。 易错点：方程有解既可走判别式，也可走值域。两条路互为验证，可相互校验。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【C8】设 ，比较 与 的大小，并说明理由。 答案： 恒成立 解析：作差：，通分（分母均正）：分子 ，展开得 。故 恒成立，即 。 易错点：比较大小的通法：作差→通分→判断分子符号。本题分子恰好化为常数 1，是最干净的作差题。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ D 类 证明与放缩 不等式证明的三大武器：作差配方、构造函数求最值、放缩裂项。思维量最大，无通法。 【D1】设 ，证明：。 答案：作差配方：左边−右边 解析：作差并配方： 乘以 2 再除以 2：。故原不等式成立，当且仅当 时取等。 易错点：对称二次型配方：同次项各减一次交叉项，正好配成三个完全平方的一半。乘以 2 是配方的关键技巧。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D2】设 ，证明：。 答案：三个分式之积为 1，三元均值即证 解析：注意三个分式的积为定值：。由三元均值：，当且仅当 即 时取等号。 易错点：轮换型的核心观察：三个因式的乘积是否消干净（=1）。一旦积为定值，三元均值直接秒杀。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D3】证明：当 时，。 答案：分子有理化+分母放缩 解析：分子有理化：。由 ，得 ，分母放大则分式缩小：。证毕。 易错点：根式差一律先有理化转成倒数和，再通过放大分母缩小分式——放缩方向要与结论一致。同理可证下界 ，这是 D5 裂项放缩的基本功。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D4】证明：对任意正整数 ，。 答案：放缩：，裂项求和 解析：当 时，（因 ）。故 。 易错点：裂项放缩的经典模型。放缩方向必须是放大，且放大后的级数要能裂项求和。尺度太松（如放大成 ）会发散，得不到结论。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D5】证明：对任意正整数 ，。 答案：用 裂项 解析：上界：当 时，（分母缩小则分式放大）。累加裂项：各项相加后中间项全部抵消，得总和 。下界：首项 ，其余各项为正，故和 。 易错点：根式裂项的核心恒等式： 夹在 与 之间。有理化分母是找到这个放缩的钥匙。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D6】设 ，证明： 不一定成立，并举反例；再证明：若 ，则结论成立。 答案： 时两分式相等，各 解析：反例：取 ，则 ，说明无约束时只能小于 1，等号未必成立（ 时恰好取等）。当 时，，代入：，故原式 （因 即 ）。 易错点：举反例+加条件再证是常见的开放题结构。核心是发现 时两个分式恰好相等，从而把双变量问题压成单变量。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D7】设 ，证明：。 答案：展开配对用均值，或柯西一步证 解析：展开左边：。每一个括号由均值 ，三个括号共 ，故左边 ，当且仅当 时取等号。另法：直接用柯西，，一步到位。 易错点：展开后配对是最直观的证法。也可直接用柯西：，一步到位。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【D8】设 且 ，证明：。 答案：把 1 换成 化齐次，三元均值连乘 解析：由 得 。同理 ，。三式相乘：，当且仅当 时取等号。 易错点：见到 型先把常数 1 换成约束式（），化成齐次结构再用均值；三元连乘时注意每步取等条件必须一致（都在 处），否则结论失效。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 学科网（北京）股份有限公司 $