专题3.1幂与指数（高效培优讲义，知识点3重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“幂与指数”核心知识点，系统梳理n次方根的概念与性质、分数指数幂的意义及根式与指数幂的互化方法，进而掌握有理数指数幂的运算性质，最终拓展至无理数指数幂，构建从基础概念到运算应用的完整学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，包含典例、变式及综合练习，融入上海地区期中期末真题。通过辨析偶次方根非负条件、分数指数幂底数限制培养数学眼光，借助指数幂化简求值提升运算推理的数学思维，结合企业研发资金等实际问题强化数学语言表达。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

专题3.1幂与指数 教学目标 1. 理解 n 次方根的概念，掌握 n 次方根的性质，能正确求出给定实数的 n 次方根； 2. 理解分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化方法； 3. 掌握有理数指数幂的运算性质，能熟练进行指数幂的化简与求值； 4. 了解无理数指数幂的意义，知道实数指数幂的运算性质仍然成立。 教学重难点 教学重点 1. n 次方根的概念与性质； 2. 分数指数幂的意义及根式与分数指数幂的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质及其应用。 教学难点 1. 偶次方根的双重性与被开方数非负条件的理解； 2. 分数指数幂定义中底数限制条件（a > 0）的把握； 3. 指数幂运算性质在复杂代数式化简与条件求值中的灵活运用。 知识点 指数幂的拓展 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：=＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3.对任意给定的正数、及实数、，有，=， . 【即学即练】（25-26高一上·上海宝山·开学考试）如果为实数，且，那么一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 则，即， 即，故，故D符合题意； 对于A，若取，，则，故A不合题意； 对于B，若取，，则，故B不合题意； 对于C，若取，，则，故C不合题意. 故选：D. 题型01 指数幂的运算 【典例1-1】（25-26高一上·上海·期中）若为方程的两个根，则___________． 【答案】4 【详解】因为为方程的两个根， 则， 则. 故答案为：4. 【典例1-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 【答案】 【详解】，故， 所以. 故答案为：. 【典例1-3】（25-26高一上·上海·期末）已知，化简：______. 【答案】 【详解】原式. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，对任意给定的实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 由基本不等式得：， 又因为，所以，所以， 所以不等式取不到等号，故， 所以. 故选：A 【变式1-2】（25-26高一上·上海松江·期中）计算：__________. 【答案】8 【详解】. 故答案为：8 【变式1-3】（24-25高一下·上海·阶段检测）化简求值: _____. 【答案】2 【详解】. 故答案为：2 【变式1-4】（24-25高一下·上海静安·期末）某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是___________万元.（结果保留整数） 【答案】825 【详解】第一年投入研发资金50万元， 第二年投入研发资金万元， 第三年投入研发资金万元， 第四年投入研发资金万元 第五年投入研发资金万元 第六年投入研发资金万元 第七年投入研发资金万元 第八年投入研发资金万元 所以该企业连续8年投入研发的总资金是万元 故答案为：825 题型02 分数指数幂与根式的互化 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期中）用分数指数幂表示：_____. 【答案】 【详解】原式． 故答案为：． 【典例2-2】（25-26高一上·上海·期中）将下列式子化成幂的形式：_________ （）． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【典例2-3】（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为______． 【答案】 【详解】 故答案为：. 【典例2-4】（25-26高一上·上海·期中）将化成有理数指数幂的形式为___________． 【答案】 【详解】． 故答案为： 【变式2-1】（25-26高一上·上海松江·期中）将写成分数指数幂的形式为___________． 【答案】 【详解】由分数指数幂的运算公式，可得. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）用有理数指数幂表示（其中）：__________. 【答案】 【详解】由题意得. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 __________ 【答案】 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 【变式2-4】（25-26高一上·上海·阶段检测）将化简为指数幂的形式：___________． 【答案】. 【详解】根据指数幂的运算法则，可得. 故答案为：. 题型03 指数幂的化简、求值 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则___________． 【答案】 【详解】， 而，得． 故答案为： 【典例3-2】（25-26高一上·上海宝山·期中）化简__________. 【答案】 【详解】. 故答案为： 【典例3-3】（25-26高一上·上海·期中）已知，化简__________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【典例3-4】（25-26高一上·上海·期中）已知（且），则___________ 【答案】 【详解】； 故答案为： 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）化简：____________（用分数指数幂表示，其中） 【答案】 【详解】. 故答案为： 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）若实数，且，，则_________． 【答案】 【详解】，即，即， 则. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；（2）7； 【详解】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 1．（25-26高一上·上海·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：因为，故错误； 对B：因为无意义，故错误； 对C：因为，故错误； 对D：因为，故正确； 故选：D. 2．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 3．（25-26高一上·上海·单元测试）已知，化简______． 【答案】 【详解】. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：=_________. 【答案】1 【详解】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则________ 【答案】± 【详解】由，可得，即，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于______. 【答案】 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简______. 【答案】a 【详解】因为， 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用有理数指数幂的形式表示:________ 【答案】 【详解】由，则. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·期中）化简：_____. 【答案】 【详解】由题意可知：， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，，则_____ 【答案】 【详解】解：因为，，所以. 故答案为： 11．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知，化简：___________． 【答案】 【详解】由，可得. 故答案为： 12．（25-26高一上·上海·期中）设，，则___________ 【答案】3 【详解】因为，， 则，可得， 所以. 故答案为：3. 13．（25-26高一上·上海奉贤·期中）设，将改写成指数形式为__________ 【答案】 【详解】. 故答案为： 14．（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则________． 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 1．（25-26高一上·上海·期中）化简：___________ 【答案】 【详解】由题意可得，原式 . 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海·期中）化简__________． 【答案】 【详解】原式 ． 故答案为：． 3．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则______． 【答案】 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 4．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知是方程的两根. (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1）由是方程的两根，得， 所以. （2）由（1）知，， 所以 . 5．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知、为实数，，求的值； （2）已知一元二次方程的两根为与，求的值； （3）设为实数，解关于的不等式：． 【详解】（1）由可得，故， （2）一元二次方程的两根为与，故， 因此， （3）由可得， 若，则，解得，此时不等式的解为， 若，则，解得，此时不等式的解为， 若，若，此时不等式的解为,若，则不等式的解为. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1幂与指数 教学目标 1. 理解 n 次方根的概念，掌握 n 次方根的性质，能正确求出给定实数的 n 次方根； 2. 理解分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化方法； 3. 掌握有理数指数幂的运算性质，能熟练进行指数幂的化简与求值； 4. 了解无理数指数幂的意义，知道实数指数幂的运算性质仍然成立。 教学重难点 教学重点 1. n 次方根的概念与性质； 2. 分数指数幂的意义及根式与分数指数幂的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质及其应用。 教学难点 1. 偶次方根的双重性与被开方数非负条件的理解； 2. 分数指数幂定义中底数限制条件（a > 0）的把握； 3. 指数幂运算性质在复杂代数式化简与条件求值中的灵活运用。 知识点 指数幂的拓展 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：=＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3.对任意给定的正数、及实数、，有，=， . 【即学即练】（25-26高一上·上海宝山·开学考试）如果为实数，且，那么一定有（   ） A． B． C． D． 题型01 指数幂的运算 【典例1-1】（25-26高一上·上海·期中）若为方程的两个根，则___________． 【典例1-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 【典例1-3】（25-26高一上·上海·期末）已知，化简：______. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，对任意给定的实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·上海松江·期中）计算：__________. 【变式1-3】（24-25高一下·上海·阶段检测）化简求值: _____. 【变式1-4】（24-25高一下·上海静安·期末）某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是___________万元.（结果保留整数） 题型02 分数指数幂与根式的互化 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期中）用分数指数幂表示：_____. 【典例2-2】（25-26高一上·上海·期中）将下列式子化成幂的形式：_________ （）． 【典例2-3】（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为______． 【典例2-4】（25-26高一上·上海·期中）将化成有理数指数幂的形式为___________． 【变式2-1】（25-26高一上·上海松江·期中）将写成分数指数幂的形式为___________． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）用有理数指数幂表示（其中）：__________. 【变式2-3】（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 __________ 【变式2-4】（25-26高一上·上海·阶段检测）将化简为指数幂的形式：___________． 题型03 指数幂的化简、求值 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则___________． 【典例3-2】（25-26高一上·上海宝山·期中）化简__________. 【典例3-3】（25-26高一上·上海·期中）已知，化简__________． 【典例3-4】（25-26高一上·上海·期中）已知（且），则___________ 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）化简：____________（用分数指数幂表示，其中） 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）若实数，且，，则_________． 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2） 正实数满足，求和的值． 1．（25-26高一上·上海·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 3．（25-26高一上·上海·单元测试）已知，化简______． 4．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：=_________. 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则________ 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于______. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简______. 8．（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用有理数指数幂的形式表示:________ 9．（24-25高一上·上海·期中）化简：_____. 10．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，，则_____ 11．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知，化简：___________． 12．（25-26高一上·上海·期中）设，，则___________ 13．（25-26高一上·上海奉贤·期中）设，将改写成指数形式为__________ 14．（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则________． 1．（25-26高一上·上海·期中）化简：___________ 2．（25-26高一上·上海·期中）化简__________． 3．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则______． 4．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知是方程的两根. (1)求的值； (2)求的值. 5．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知、为实数，，求的值； （2）已知一元二次方程的两根为与，求的值； （3）设为实数，解关于的不等式：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $