第2章 等式与不等式（复习讲义）数学沪教版2020必修第一册

第2章 等式与不等式（复习讲义） 1、通过用不等式(组)表示实际问题,提升数学抽象与数学建模素养；通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养. 2、能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数图象求解一元二次不等式,能够熟练求解分式不等式和绝对值不等式，提升数学运算素养. 3、通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养；通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养；通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 1、一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程的解集为； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为； 2、根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 3、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 4、分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 5、简单的绝对值不等式 ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 6、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 7、几个重要不等式变形 ①()． ②(同号)； ③()． 8、三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 题型一 根与系数的关系 【例1】关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则 ． 【变式1-1】已知方程的两个根为和，则 . 【变式1-2】已知方程4的两根为，则 【变式1-3】设是关于的方程的实数根，若，则 . 题型二 比较两个实数（式子） 大小 【例2】，，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【变式2-1】已知，比较大小： ． 【变式2-2】，，则，的大小关系为 ． 【变式2-3】设，则与的大小关系是 ． 题型三 利用不等式性质判断正误 【例3】若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【变式3-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 题型四 利用不等式性质求取值范围 【例4】已知，，则的取值范围为 ． 【变式4-1】已知，则代数式的取值范围为 ． 【变式4-2】已知，，则的取值范围是 . 【变式4-3】已知实数，满足，，则范围是 题型五 解不含参数的一元二次不等式 【例5】不等式的解集为 . 【变式5-1】若，则的取值范围为 . 【变式5-2】不等式的解集为 ． 【变式5-3】已知，则的范围 ． 题型六 解含有参数的一元二次不等式 【例6】解关于的不等式. 【变式6-1】解关于的不等式； 【变式6-2】设，解关于的不等式. 【变式6-3】已知关于x的不等式.当时，求此不等式的解集. 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 【例7】已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【变式7-1】已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-2】若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 题型八 分式不等式 【例8】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 题型九 绝对值不等式 【例9】设，则不等式的解集为 . 【变式9-1】不等式的解集为 . 【变式9-2】不等式 的解集为 ． 【变式9-3】解关于的不等式. 题型十 利用基本不等式求最值 【例10】已知，则的最小值为 ． 【变式10-1】若正数满足，则的最大值为 ． 【变式10-2】已知，则的最大值为 ． 【变式10-3】已知，且，则的最小值为 . 题型十一 “1”的妙用 【例11】已知，，且，则的最小值是 . 【变式11-1】已知，且，则的最小值为 ． 【变式11-2】已知，且，则的最小值是 ． 【变式11-3】已知，，且，则的最小值是 . 题型十二 条件等式求最值 【例12】已知，且，则的最小值为 ． 【变式12-1】已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【变式12-2】若正实数满足，则的最小值是 . 【变式12-3】若，且，则的最小值为 . 题型十三 二次与二次（一次）的商式最值 【例13】函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【变式13-1】函数的值域是 ． 【变式13-2】（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【变式13-3】（1）求函数的最小值. （2）已知，，且，求的最小值. 题型十四 绝对值三角不等式 【例14】存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【变式14-1】对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 【变式14-2】已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式14-3】代数式的最小值是 ． 基础巩固通关测 1．不等式的解集是 ． 2．若，则的最大值为 ． 3． 恒成立，求 范围 4．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 5．若，且，则的最小值为 ． 6．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 7．（1）不等式的解集为 ；（2）不等式的解集为 ． 8．已知关于的不等式的解集为，则 . 9．若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 10．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 能力提升进阶练 1．设不等式的解集为，则 . 2．不等式的解集为 ． 3．已知，且，则的最大值为 ． 4．若，且满足，则的最小值为 ；的最小值为 ． 5．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 6．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 7．（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 8．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 9．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 12．已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 等式与不等式（复习讲义） 1、通过用不等式(组)表示实际问题,提升数学抽象与数学建模素养；通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养. 2、能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数图象求解一元二次不等式,能够熟练求解分式不等式和绝对值不等式，提升数学运算素养. 3、通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养；通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养；通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 1、一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程的解集为； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为； 2、根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 3、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 4、分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 5、简单的绝对值不等式 ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 6、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 7、几个重要不等式变形 ①()． ②(同号)； ③()． 8、三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 题型一 根与系数的关系 【例1】关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则 ． 【答案】 【分析】由一元二次方程有实数根可得，结合韦达定理可求答案. 【详解】设是一元二次方程的两个实数根， 则，解得，所以， 所以12，解得或， 又，所以． 故答案为： 【变式1-1】已知方程的两个根为和，则 . 【答案】 【分析】利用韦达定理，结合配方法来求解即可. 【详解】因的两个根为， 则， 所以. 故答案为： 【变式1-2】已知方程4的两根为，则 【答案】0 【分析】由根与系数关系及根的性质得，且，再由即可求值. 【详解】由题设，且，即， 由. 故答案为：0 【变式1-3】设是关于的方程的实数根，若，则 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列方程，即可求解的值. 【详解】由，得， 又是关于的方程的实数根， 所以由根与系数的关系可得，， 从而，解得. 故答案为：. 题型二 比较两个实数（式子） 大小 【例2】，，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为， 故. 故答案为：. 【变式2-1】已知，比较大小： ． 【答案】 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】我们有. 而，故，所以. 故答案为：. 【变式2-2】，，则，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】利用作差法比大小. 【详解】由已知，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即， 故答案为：. 【变式2-3】设，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】用作差法比较大小即可． 【详解】， 所以． 故答案为：． 题型三 利用不等式性质判断正误 【例3】若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 【变式3-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确． 故选：D 【变式3-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式性质即可分析判断AC；举反例即可判断BD. 【详解】因为，所以，则，A错误； 当，，时满足，此时，B错误； 由，，得，C正确； 当时，，此时，D错误． 故选：C 【变式3-3】已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 题型四 利用不等式性质求取值范围 【例4】已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先设出，求出，，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】令，则解得， 故，由，得， 又，故，即． 故答案为： 【变式4-1】已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 【变式4-2】已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据的取值范围求出夫人范围，再结合的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围. 【详解】已知，不等式两边同时乘以得， 再根据，得到. 故答案为： 【变式4-3】已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 题型五 解不含参数的一元二次不等式 【例5】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可； 【详解】不等式等价于，即， 解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 【变式5-1】若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求出即可； 【详解】，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【变式5-2】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】直接解一元二次不等式即可. 【详解】由，得，即， 所以不等式的解集为R. 故答案为：R. 【变式5-3】已知，则的范围 ． 【答案】 【分析】由一元二次不等式直接求解即可； 【详解】， 故答案为：. 题型六 解含有参数的一元二次不等式 【例6】解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】当时，不等式化为；当时，可化为 ，后讨论与4的大小可得答案. 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 【变式6-1】解关于的不等式； 【答案】答案见解析 【分析】把不等式化为，对与的大小关系分类讨论，即可得出不等式的解集． 【详解】，即， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【变式6-2】设，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】讨论、时，不等式的解集情况，再比较和的大小关系，从而再次细分讨论即可. 【详解】①当时，原不等式为，解得； ②当时，原不等式为，令，解得或， （i）当时，，解不等式可得或； （ii）当时，原不等式即为，解得； （iii）当时，，解不等式可得或； 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为， 当时，解集为或. 【变式6-3】已知关于x的不等式.当时，求此不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】先根据二次项系数进行分大类，再对时，根据方程的根的大小进行分小类，逐一求解不等式即得. 【详解】当时，即为，解得； 当时，由方程，解得或 当时，即为，解得 当时，即为， ① 若，即时，解得或； ② 若，即时，解得或； ③ 若，即时，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 【例7】已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式的解集，讨论参数结合对应二次函数性质求参数范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，满足题意； 当时，则，解得； 综上，的取值范围是． 【变式7-1】已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，据此可得答案. 【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 【变式7-2】若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 【变式7-3】已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式解集只含有三个整数解，缩小的讨论范围至，得出不等式的解集后，确定出三个整数解进而确定出的范围. 【详解】时，，此时不等式无解，时不成立； 时，不等式转化为，解集为，整数解不可能只有三个； 且时，不等式转化成 ， 由于解集中恰好有三个整数，必有，即 （否则时，二次不等式的解集是无穷区间，整数解无数个） 于是不等式的解集为，此解集中包含三个整数，注意到， 于是中恰好含有的整数是， 则，解得. 故答案为： 题型八 分式不等式 【例8】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式解集为. 故选：C 【变式8-1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式的求解方法求解即可. 【详解】不等式可化为，即，等价于， 解得，解集为. 故选：B. 【变式8-2】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解分式不等式的解集. 【详解】因为，所以. 即，可得，解得. 故选：D. 【变式8-3】不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】不等式可化为， ∴，解得. 所以不等式的解集为. 故选：D. 题型九 绝对值不等式 【例9】设，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】解含绝对值的不等式可得解集. 【详解】由. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 【变式9-1】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】不等式等价于，求解即可. 【详解】不等式， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式9-2】不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】去绝对值直接求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以原不等式的解集为：， 故答案为： 【变式9-3】解关于的不等式. 【答案】 【分析】分类讨论开绝对值即可求解. 【详解】当时，， 此时不等式无解； 当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：原不等式的解集为. 题型十 利用基本不等式求最值 【例10】已知，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】利用配凑法，结合基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：7. 【变式10-1】若正数满足，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】利用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的最大值为10． 故答案为：10 【变式10-2】已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的变形公式求解可得答案. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为． 故答案为：. 【变式10-3】已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式直接求解即可. 【详解】，当且仅当时取等号. 故答案为： 题型十一 “1”的妙用 【例11】已知，，且，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】由乘一法结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9. 【变式11-1】已知，且，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据“”的妙用，利用等量代换以及基本不等式，可得答案. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为7． 故答案为：. 【变式11-2】已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式的常数代换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 所以． 当且仅当时，即，即时，取等号． 故答案为： 【变式11-3】已知，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用“1”的代换化简式子中的3和1，进而利用基本不等式即可. 【详解】由题意可得，， 等号成立时，即. 故的最小值是. 故答案为： 题型十二 条件等式求最值 【例12】已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【变式12-1】已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件等式结合基本不等式求出即可； 【详解】因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，所以， 故答案为：. 【变式12-2】若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【详解】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 【变式12-3】若，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由，结合基本不等式得出最小值. 【详解】因为及x、y为正数， 所以，即， 当且仅当时，取等号. 故答案为： 题型十三 二次与二次（一次）的商式最值 【例13】函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 【变式13-1】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 【变式13-2】（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）7；（2）5． 【分析】（1）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值； （2）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）， 当且仅当时，等号成立，即． （2）， 当且仅当时，等号成立，即． 【变式13-3】（1）求函数的最小值. （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用配凑法再分离常数得到，利用基本不等式即可； （2）对条件变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值. 【详解】（1）解： ， ， ， 当且仅当时，即时，函数有最小值； （2）由题意， ，又，， ， 当且仅当，即是等号成立， 结合，知时，有最小值为. 题型十四 绝对值三角不等式 【例14】存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【变式14-1】对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件即可求解. 【详解】，即， 所以当，即或时等号成立. 故答案为：. 【变式14-2】已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据三角不等式得到，再由可求的取值范围. 【详解】因为，当且仅当时，取得等号， 即的最小值为， 所以或即或 故答案为：． 【变式14-3】代数式的最小值是 ． 【答案】60 【分析】利用绝对值三角不等式求出最小值. 【详解】. 故答案为：60 基础巩固通关测 1．不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】由分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解. 【详解】由等价于，解得或， 故解集为或. 故答案为：或 2．若，则的最大值为 ． 【答案】16 【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可.法二：利用均值不等式求解即可. 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 3． 恒成立，求 范围 【答案】 【分析】由绝对值不等式可求出绝对值之和函数的最小值，代入，得到关于的一元二次不等式，解之可得到答案. 【详解】由绝对值不等式可得到： ，当时取“=”； 所以, 不等式 对所有 恒成立， 等价于 ， 即：，解此不等式：. 故答案为： 4．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据集合之间的包含关系和充分必要条件的对应关系，列出不等式组，求出参数范围. 【详解】不等式的解为； 不等式的解为； 若“”是“”的充分不必要条件，有，可得． 经验证，符合题意， 故答案为：. 5．若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式进行求解即可． 【详解】因为， 设，则，整理得：， 解二次不等式得：，（舍负解），即， 即，当且仅当时，等号成立． 故答案为：. 6．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【分析】由基本不等式，要求积的最值，配凑和为定值即可. 【详解】时，和都为正值，，即和为定值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是1． 由于时，和都为正值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是． 【点睛】 7．（1）不等式的解集为 ；（2）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，得，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据条件，两边平方得，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 对于，对应方程的根的判别式， 对应函数的图象开口向上，所以解集为． 对于，因式分解得，解得． 综上可知，不等式的解集为． （2）由，得到，所以， 所以，即， 解得．即不等式的解集为, 故答案为：；. 8．已知关于的不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】结合一元二次不等式的解法以及韦达定理即可求出. 【详解】由题意可知，是一元二次方程的两根，且， 则由韦达定理可得，，得. 故答案为： 9．若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 10．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式性质可推断，再通过举反例即可得出结论. 【详解】因为，由，根据传递性可知， 因此“”能推出“”，因此充分性成立； 不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 能力提升进阶练 1．设不等式的解集为，则 . 【答案】1 【分析】根据分式不等式的解法求解不等式的解集即可. 【详解】原不等式可化为，即，所以且， 解得，所以，，. 故答案为：1. 2．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用零点分段法分解成三个不等式组，求解后再求并集． 【详解】∵， ∴不等式可化为： ①，或②，或③， ①无解，解②得，解③得， 所以， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 3．已知，且，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】方法1，由基本不等式可得最大值；方法2，由，可得，代入可得，然后由二次函数性质可得答案. 【详解】方法1，由，得，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为25； 方法2，因为，所以，则 ， 又因为，则结合二次函数图象可知当时，取到最大值25，即的最大值为25． 故答案为：25 4．若，且满足，则的最小值为 ；的最小值为 ． 【答案】 6 3 【分析】利用基本不等式得，解不等式即得的最小值；令，结合题设条件，通过换元将问题转化为：由，，求的最小值，再利用基本不等式即可得解. 【详解】∵， ∴，即， 故，解得或， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， 故的最小值为6． 令， 由，得， 即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为3． 故答案为：6；3. 5．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【答案】或 【分析】依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案． 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于的不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 6．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 【答案】． 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】因为，则， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以不等式有解，即，解得或， 故答案为：． 7．（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）二次项含参数，需对是否为0进行讨论．（2）方法一：由题意函数在时的最小值大于或等于0，对对称轴位置进行分类讨论即可求解；方法二：分离参数即可求解. 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 故答案为：（1），（2）. 8．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 9．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 10．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 11．（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【分析】（1）根据题意得，求解即可； （2）不等式等价于，对分类讨论求不等式解集. 【详解】（1）根据题意，恒成立， 显然当时，不成立， 则，解得； （2）， 当时，，则， 当时，令，则，或，此时，∴或， 当时，即时，， 当，即时，， 当时，即时，， 综上所述:当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，； 当时，解集为. 12．已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)（i）（ii）答案见解析 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$