精品解析：陕西渭南市临渭区前进路初级中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. 5 B. C. D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】直接开平方法计算得到方程的根． 【详解】解： ， ∴移项得 ， 对等式两边开平方，可得 ， 即原方程的根为 ． 2. 已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定它为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定平行四边形是矩形的定理：如果有一个内角是直角，那么该平行四边形是矩形；如果对角线相等，那么该平行四边形是矩形．逐一对应选项条件，结合平行四边形本身的性质，判断每个选项符合哪类图形的判定特征． 【详解】我们结合平行四边形的性质和矩形的判定规则逐一分析选项： 选项A：平行四边形中邻边相等，只能判定该四边形是菱形，不能判定为矩形． 选项B：平行四边形的对角线互相垂直，这是菱形的判定条件，无法得到矩形． 选项C：初中矩形判定定理明确规定：对角线相等的平行四边形是矩形，该条件可以直接判定平行四边形为矩形． 选项D：平行四边形本身就具备对角相等的固有性质，是所有平行四边形都满足的特点，不能额外推出它是矩形． 3. 用配方法解一元二次方程时，可化为的形式，则的值是（ ） A. 7 B. 13 C. 10 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将、均化为一般式，根据一次项系数、常数项相等列等式，即可作答． 【详解】解：化为一般式是：， 化为一般式是：， 根据题意：，， 解得：，， ∴． 4. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形、等边三角形的性质，得到，求出，再计算． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 为等边三角形， ，， ，， ． 5. 如图，在菱形中，两条对角线，，则该菱形的高为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】菱形的面积等于菱形的边乘以菱形的高，也等于菱形两对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】∵在菱形中，两条对角线，， ∴，，， ∴， 设菱形的高为h， 即：， 则：． 6. 如图，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可判断出k、b的符号；表示出一元二次方程的判别式，再根据k、b的符号判定判别式的符号，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 一元二次方程的判别式为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 7. 某企业年的利润为万元，计划到年利润达到万元．设这两年利润的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均增长率公式列式即可． 【详解】解：已知利润的年平均增长率为， 则年的利润为，年的利润为， 根据题意可得． 8. 如图，在矩形中，，，是边上的动点，于，于，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，勾股定理先求出，根据平行线的性质，可得同底等高的三角形面积相等，可得，，结合矩形的性质，可得，再用，表示出，问题随之得解． 【详解】解：连接，，如图， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到，，然后求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程 ∴， ∴， ∴． 10. 若关于的方程的一个根为1，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】把根代入方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，关于的方程的一个根为1， ， 解得． 11. 某商品原价每件100元，连续两次降价后每件81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据连续两次降价后每件81元列一元二次方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x 根据题意得， 解得，（舍去） 答：每次降价的百分率为． 12. 一元二次方程的两根为，则___________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，完全平方公式的变形计算，熟练掌握定理是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，． ∴． 故答案为：11 13. 如图，菱形的周长为20，面积为20，P是对角线BD上一点，过P作于，于，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】延长交于点G，先根据菱形的面积和周长，结合菱形的性质求出菱形的高，再证明，问题随之得解． 【详解】解：延长交于点G，如图， ∵菱形的周长为20， ∴菱形的边长为5， ∵菱形的面积为20， ∴菱形的高为4， 在菱形中，，， ∵， ∴，即为菱形的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质，可得到，则，将问题转化为“将军饮马”类型，作点关于的对称点，连接，用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵且四边形为正方形， ∴，即，， 在和中， ∴， ∴； ∴， 以为对称轴，作点关于的对应点连接，与交点即为点， ∵点和点关于对称， ∴， ， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等，最短路径问题，勾股定理．熟练地掌握正方形的性质得出判定三角形全等的条件，将最短路径问题转化为“将军饮马”类型的问题是解题的关键． 三、解答题（计78分） 15. 解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】x1=，x2=． 【解析】 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1=0， ∴2x2﹣4x=1， 则x2﹣2x=， ∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=， 则x﹣1=±， ∴x1=，x2=． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数. 16. 如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     【答案】 如图，点E，F即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线分别交，于点E，F，连接、，即可． 【详解】理由：设交于点O， 根据作法得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴． ∴无论k取何值，该方程总有实数根． （2）k的值为3，方程的另一个根为2 【解析】 【分析】（1）求出判别式的符号即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得或， ∴方程的另一个根为2. 18. 如图，正方形的边长为6，、分别在边、上．将、分别沿、折叠，使、都落在处（点、的对应点为，且恰好在上）． （1）求的度数； （2）求的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）首先利用正方形的性质得到，然后结合折叠的性质求解； （2）首先得到，然后结合折叠的性质求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形 ∴ 由折叠得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形的边长为6 ∴ 由折叠得，， ∴， ∴的周长． 19. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，点是边的中点，连接． （1）求菱形的周长； （2）求菱形一边上的高，并求线段的长． 【答案】（1）20 （2）菱形一边上的高为， 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质和勾股定理求出，然后求解即可； （2）设菱形一边上的高为h，利用菱形面积公式求出，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∴ ∴菱形的周长； 【小问2详解】 解：设菱形一边上的高为h ∴菱形的面积 ∴ ∴ ∴菱形一边上的高为； ∵，点是边的中点 ∴． 20. 某村大力发展特色种植，2023年底种植面积为100亩，到2025年底种植面积达到121亩． （1）求这两年种植面积的年平均增长率； （2）若保持相同的年平均增长率，求2026年底的种植面积． 【答案】（1） （2）亩 【解析】 【分析】（1）设这两年种植面积的年平均增长率为,列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）2025年底面积是121亩，继续按增长一年，直接列式计算即可． 【小问1详解】 解：设这两年种植面积的年平均增长率为, 根据题意有：， 解得：（负值舍去）， 答：这两年种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 2025年底面积是121亩，继续按增长一年：（亩）， 答：2026年底的种植面积为亩． 21. 某商店销售一种商品，每件盈利40元，平均每天可售出20件．经调查发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．在每件盈利不少于25元的前提下， （1）若每件降价5元，则平均每天可售出多少件？ （2）要使该商店每天的销售利润为1800元，每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）40件 （2）每件商品应降价10元 【解析】 【分析】（1）销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，即降低5元可多卖20件，再加上原销售量即可作答； （2）设每件商品降价x元，则销售数量为件，利润为：元，据此列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：（件） 答：平均每天可售出40件， 【小问2详解】 设每件商品降价x元， 根据题意有：， 解得：，， 当时，每件的利润为（元），不符合题意，舍去； 当时，每件的利润为（元），符合题意， 答：每件商品应降价10元． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作AFBC，交BE的延长线于点F，连接CF．试判断四边形ADCF的形状，并给予证明． 【答案】 解：四边形ADCF是矩形，理由如下： ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵， ∴∠EAF=∠EDB，∠EFA=∠EBD， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴BE=FE，即点E是BF的中点， 又∵点D是BC的中点， ∴DE是△BCF的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD⊥CD， ∴平行四边形ADCF是矩形． 【解析】 【分析】先根据三线合一定理证明AD⊥BC，再证明DE是△BCF的中位线推出结合即可证明四边形ADCF是平行四边形，由此即可证明四边形ADCF是矩形． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，三线合一定理，熟知相关知识是解题的关键． 23. 春节期间，某社区打造一个“便民生活服务展”．如图，若使用长的挡板，一面利用墙围成矩形展示区，其中墙长，并在边上留一个宽的入口方便居民出入．若围成展示区的面积为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，首先根据墙长得到，然后利用围成展示区的面积为列方程求解． 【详解】解：设，则 ∵墙长 ∴ ∴ 根据题意得， 解得（舍去）， ∴． 24. 如图，在矩形中，连接，将矩形沿直线折叠，使点A与点C重合，分别交、于点E、F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠得，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）5 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，推出，然后结合折叠的性质得到，得到，然后利用垂直平分线的性质得到，即可推出四边形为菱形； （2）由菱形得到，由矩形得到，然后利用勾股定理求出，然后利用菱形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 25. 如图，在中，，，．点P从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒． （1）当为何值时，的面积等于？ （2）连接，线段的长度能否等于？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当时，的面积等于 （2）线段的长度不能等于，理由如下： ∵，， ∴ 当时， 整理得， ∴ ∴方程无实数解， ∴线段的长度不能等于． 【解析】 【分析】（1）首先求出，根据题意得，，，则，然后利用的面积等于列方程求解； （2）当时，利用勾股定理列出方程，然后利用判别式判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，点P运动到点B的时间为，点Q运动到点C的时间为 ∵当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒 ∴ 根据题意得，，，则 ∵，的面积等于 ∴ ∴ 解得或（舍去） ∴当时，的面积等于； 【小问2详解】 略 26. 【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，点E、F分别在边、上，连接、、，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，求证：． 【问题解决】 （2）如图2，有一个正方形草地，，现计划将该草地扩建成四边形，，，连接，与边有交点，交点为，边与边有交点，交点为，连接． ①请求出需要围栏的总长（即的周长）； ②若已知，求的长． 【答案】（1）证明：由旋转得，，， ∵在菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①；②的长为或 【解析】 【分析】（1）由旋转得到，，然后结合菱形的性质得到，然后证明，即可得到； （2）①延长到点H，使，证明，得到，，然后证明四边形是正方形，得到，然后证明，得到，然后等量代换求解即可； ②设，则，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，延长到点H，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴需要围栏的总长为； ②设，则， 由①得，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. 5 B. C. D. 25 2. 已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定它为矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，可化为的形式，则的值是（ ） A. 7 B. 13 C. 10 D. 3 4. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，两条对角线，，则该菱形的高为（ ） A. B. C. 5 D. 4 6. 如图，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 7. 某企业年的利润为万元，计划到年利润达到万元．设这两年利润的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，是边上的动点，于，于，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 13 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 10. 若关于的方程的一个根为1，则的值是______． 11. 某商品原价每件100元，连续两次降价后每件81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______． 12. 一元二次方程的两根为，则___________． 13. 如图，菱形的周长为20，面积为20，P是对角线BD上一点，过P作于，于，则______． 14. 如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为________ 三、解答题（计78分） 15. 解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 16. 如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 18. 如图，正方形的边长为6，、分别在边、上．将、分别沿、折叠，使、都落在处（点、的对应点为，且恰好在上）． （1）求的度数； （2）求的周长． 19. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，点是边的中点，连接． （1）求菱形的周长； （2）求菱形一边上的高，并求线段的长． 20. 某村大力发展特色种植，2023年底种植面积为100亩，到2025年底种植面积达到121亩． （1）求这两年种植面积的年平均增长率； （2）若保持相同的年平均增长率，求2026年底的种植面积． 21. 某商店销售一种商品，每件盈利40元，平均每天可售出20件．经调查发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．在每件盈利不少于25元的前提下， （1）若每件降价5元，则平均每天可售出多少件？ （2）要使该商店每天的销售利润为1800元，每件商品应降价多少元？ 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作AFBC，交BE的延长线于点F，连接CF．试判断四边形ADCF的形状，并给予证明． 23. 春节期间，某社区打造一个“便民生活服务展”．如图，若使用长的挡板，一面利用墙围成矩形展示区，其中墙长，并在边上留一个宽的入口方便居民出入．若围成展示区的面积为，求的长． 24. 如图，在矩形中，连接，将矩形沿直线折叠，使点A与点C重合，分别交、于点E、F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 25. 如图，在中，，，．点P从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒． （1）当为何值时，的面积等于？ （2）连接，线段的长度能否等于？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，点E、F分别在边、上，连接、、，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，求证：． 【问题解决】 （2）如图2，有一个正方形草地，，现计划将该草地扩建成四边形，，，连接，与边有交点，交点为，边与边有交点，交点为，连接． ①请求出需要围栏的总长（即的周长）； ②若已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $