福建省厦门市集美区厦门集美中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

集美中学2026-2027学年第一学期高二年段十月质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：陈娟兰 审题人：方娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球（四棱锥各顶点都在球的表面上）的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下能确定空间中四点 共面的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知空间非零向量，，，则（ ） A. ，可以相互垂直 B. ，为平面的共面向量 C. 是平面的一个法向量 D. ，不能作为其确定平面内的一组基底 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点、，直线过点且一个方向向量为，则点到的距离为___________． 13. 在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 14. 棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. （1）求（用表示）； （2）求直线和夹角的正弦值. 16. 已知的顶点，，，为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； （3）设分别为的中点，求直线的斜率． 17. 已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. （1）求点坐标； （2）求直线与平面所成的角； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 19. 已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． （1）已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． （2）四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 集美中学2026-2027学年第一学期高二年段十月质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：陈娟兰 审题人：方娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）等腰直角三角形； （3）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）①因为四面体内接于球，所以， 因为，所以，所以 等式两边同时平方得，所以，即， 所以，且，，，在同一平面内． 如图所示，以为原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点，，所以，， 将其代入中，得， 所以 ， 由“向量”的定义，得，都是向量组，，的“向量”． ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $