3.2圆心角（分层作业，6大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 3.2 圆心角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆心角的概念辨析 题型02 利用弦、弧、圆心角的关系求解 题型03 利用弦、弧、圆心角的关系证明 题型04 求弧的度数 B组 能力进阶 题型 圆心角·综合应用 C组 思维拔高 题型 圆心角·创新性问题 圆心角的概念辨析题型01 1．下列图形中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆心角是角的顶点在圆心的角，由此进行判断即可． 【详解】解：图中的符合圆心角的特征． 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏·月考）下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系，等弧的定义一一判断即可． 【详解】解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 故选：A． 4．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 5．（24-25九年级上·辽宁鞍山·月考）如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”） 【答案】错误 【分析】顶点在圆心的角是圆心角，根据圆心角的定义即可求解. 【详解】∵顶点在圆心的角是圆心角， ∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误， 故答案为：错误. 【点睛】本题主要考查圆心角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角的定义. 7．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 8．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【答案】 【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 【点睛】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键． 利用弦、弧、圆心角的关系求解题型02 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键． 根据即可得出答案． 【详解】解：D为的中点， ， ， ， ， 故答案为：C． 2．（25-26九年级·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 3．如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据角平分线的性质得出，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解． 【详解】解：作的角平分线，交于E，连接、、、，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角平均分成份后每份的角度，即可得出的度数为． 【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分， ． 故答案为：． 6．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【答案】##30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 7．如图，内接于． (1)用尺规作图作出的平分线，交于点D，连接交与E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长度． 解：∵是的平分线， ∴______①______， ∴， ∴平分， ∴______②______， ∴， 在中，， ∴______③______， ∴______④______ 【答案】(1) 如图所示， (2)①，②，③5，④2 【分析】本题考查作图-基本作图、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）根据角平分线的定义、圆心角、弧、弦的关系以及勾股定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：①；②；③5；④2． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）小滨、小江在研究圆心角定理时发现，除了定理中提到的四对量以外，还有其它量，比如三角形的面积、弓形的周长、扇形的面积等．于是，就有了这样的思考：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距、两个三角形的面积、两个弓形的周长、两个扇形的面积中有一对量相等，那么其余的量是否也相等？因而，他们提出了如下猜想：点A，B，C，D均在⊙O上，其中，，均小于． 小滨：若，则和的面积相等． 小江：若和的面积相等，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】 小滨的结论正确． 理由：如图1中， ∵，， ∴， ∴的面积＝的面积； 小江的结论错误． 理由：如图2中， 当A，O，D共线时，的面积＝的面积， 但是不一定等于, 故小江的结论错误． 【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．小滨的结论正确．利用全等三角形的性质证明即可；小江的结论错误．画图举反例说明即可． 【详解】略 利用弦、弧、圆心角的关系证明题型03 1．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径， （1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD； （2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______； （3）如果=，那么____，_____，______． 【答案】（1）AB=CD，， ， = ；（2） ， ，∠AOB=∠COD；（3）AB＝CD，∠AOB＝∠COD， = 【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答． 【详解】（1）∵∠AOB=∠COD， ∴AB=CD，，∠AOC=∠BOD； （2）∵AB=CD， ∴，∠AOB=∠COD； （3）∵， ∴AB=CD，∠AOB=∠COD，． 故答案为：（1）AB=CD，，，=；（2），，∠AOB=∠COD；（3）AB=CD，∠AOB=∠COD，=． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 2．已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：， ， 即． ∴． (2) 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ． 3．已知：如图，，是的直径，C是上一点，且． 求证： ． 【答案】 证明：∵， ∴． 又∵（已知）， ∴， ∴． 【分析】先由得到，通过等量代换得到即可证明． 【详解】略． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 4．（25-26九年级上·河南漯河·月考）如图，，求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】本题考查圆的性质，根据弧、弦、圆心角的关系可得，进而可得，即可得证． 【详解】 略 5．如图，弧AC=弧CB，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证：CD=CE 【答案】 证明：连接OC． ∵， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点， ∴OD=OE， ∵OC=OC（公共边）， ∴△COD≌△COE， ∴CD=CE． 【分析】连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质，通过弧相等证明圆心角相等是解题关键． 6．如图，是的直径，若，求证：． 【答案】 证明：连接， ， ， ， ，， ， ． 【分析】连接，通过等边对等角得到，再根据平行线的性质结合等量代换得到，即可证明． 【详解】略 7．如图，C，D是以线段AB为直径的上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：． 【答案】 证明：如图，连接OC． 四边形OBCD是菱形， ． 又， 为等边三角形， ． 同理可证， ， ， ． 【分析】首先连接，由四边形是菱形，易得，则可证为等边三角形，接着证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系以及菱形的性质．解题的关键是正确的画出辅助线． 8．如图，是的两条弦． (1)若． ①连接，下列结论不一定成立的是（   ） A．         B． C．         D．到的距离相等 ②连接，求证：． (2)若，则弦与弦的大小关系是（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】(1)①A； ②如图所示，连接， ∵， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴． (2)C 【分析】（1）①根据圆心角、弧、弦的关系判断即可；②通过证明弧相等即可证明； （2）如图，取弧的中点，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】（1）解：①如图，连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴到、的距离相等， ∴B、C、D选项正确， 、不一定等于，故A不一定成立，符合题意， 故选：A． ②略 （2）解：如图，取弧的中点，连接，． ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∵，即 ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 求弧的度数题型04 1．若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【详解】试题分析：∵OA=OB=AB， ∴△OAB是等边三角形，   ∴∠AOB=60°．   故选B．   【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质． 2．如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧的度数求解，求出弧所对的圆心角度数是解题的关键，连接，根据结合即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故劣弧的度数为， 故选：D． 3．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 4．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可． 【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 5．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 6．在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数，再分劣弧和优弧两种情况计算弧的度数． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示， ，， ， ， 由勾股定理逆定理，可得是直角三角形，． 一条弦对应两条弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数， 当弦对劣弧时，劣弧的度数为；当弦对优弧时，优弧的度数为， 该弦所对的弧的度数为或． 7．按要求完成各题： (1)计算：． (2)将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为．求这三个扇形圆心角的度数． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）先计算括号内两个角度的和，按秒、分、度依次相加，满60进1，再用减去该和，若低位不够减则向上一位借1当60再计算； （2）利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘，从而可求得圆心角的度数． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， ． 故这三个扇形圆心角的度数分别为，，． 8．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 圆心角·综合应用题型 1．如图，在中，是直径，是的三等分点，求的度数． 【答案】 【分析】先求出，再根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵是的三等分点， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等弧对等角，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查等弧对等角．熟练掌握等弧等对角是解题的关键． 4．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据扇形面积与圆心角的关系来求解丁扇形的圆心角． 【详解】已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，那么整个圆的面积可看作份 丁扇形的面积占6份，所以丁扇形面积占整个圆面积的比例为 ∵整个圆的圆心角是 ∴丁扇形的圆心角为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积与圆心角的关系，掌握在同一个圆中，扇形的面积比等于圆心角的比，利用这一关系结合圆的圆心角为，计算扇形的圆心角是解题的关键． 5．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 6．下列命题中，正确的是（ ） ①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④ 【答案】C 【分析】本题考查了与圆有关的定理和推论，对于圆中的一些易混易错定理和推论应重点记忆和掌握． 根据圆心角的定义可判断①；根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可判断②③④． 【详解】解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确． ②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误． ③在同圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误． ④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等，故④正确． 故选：C． 7．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查圆中有关定义．利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故原说法错误； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误； ③同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故原说法错误； ④直径是圆中最长的弦，故原说法正确， 正确的只有1个， 故选：A． 8．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．同圆中，相等弦所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的真假，圆的基本性质，掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解题关键．根据圆心角和弦的关系需要在同圆或等圆的条件下成立，可判断A、B选项；根据同圆中，一条弦所对的弧有两条，可判断C选项；根据在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，可判断D选项． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原命题是假命题，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等弦所对的圆心角相等，原命题是假命题，不符合题意； C、同圆中，相等弦所对的优弧和劣弧分别相等，原命题是假命题，不符合题意； D、等弧所对的弦相等，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 圆心角·创新性问题题型 1．如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于(　　) A．18 B．16 C．10 D．8 【答案】B 【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3，再利用勾股定理，可求得BH的长，继而求得答案． 【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图， ∵∠BAC+∠EAD=180°， 而∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF， ∴弧长DE=弧长BF， ∴DE=BF=12， ∵AH⊥BC， ∴CH=BH， ∵CA=AF， ∴AH为△CBF的中位线， ∴AH=BF=6. ∴BH===8， ∴BC=2BH=16. 故选B. 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦、弦心距的关系和勾股定理，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系和勾股定理. 2．如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则____________．    【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可． 【详解】解：连接，，    由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角为， 设半圆的半径为r， ， ， 解得： 半径为2， 故答案为：． 3．（2026·江苏南京·二模）图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． 【答案】25 【分析】连接、、，先求出，设，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，，，结合，即可求解． 【详解】解：连接、、， ∵A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴， ∵P是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 4．（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 【答案】## 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 5．如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； (2) 证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系， 1.连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 2.先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 3.由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 6．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 【答案】##150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 7．（24-25九年级下·河北沧州·月考）已知中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线，分别与直线交于点M，N． (1)当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：； （思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．） (2)当扇形绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵将沿直线对折，得，连， ∴， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴． ∴，． ∴． ∴在中，由勾股定理 ∴，即． (2) 关系式仍然成立． 证明：∵将沿直线对折，得，连， ∴． ∴，，，， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴， ∴在中，由勾股定理， ∴，即． 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了； （2）还将沿直线对折，得，连，只需证，得出，再证明，然后由勾股定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 8．在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 【答案】(1) (2)存在，理由： ∵是等边三角形， ∴，． ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后利用等式的性质可得答案； （2）先证明，然后根据证明即可求解； （3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况求解即可． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略； （3）当顺时针旋转时，如图，作于H，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（2）得：， ∴； 当逆时针旋转时，如图，作于H，    同理可求． 综上可知，的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 圆心角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆心角的概念辨析 题型02 利用弦、弧、圆心角的关系求解 题型03 利用弦、弧、圆心角的关系证明 题型04 求弧的度数 B组 能力进阶 题型 圆心角·综合应用 C组 思维拔高 题型 圆心角·创新性问题 圆心角的概念辨析题型01 1．下列图形中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 3．（25-26九年级上·江苏·月考）下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（24-25九年级上·辽宁鞍山·月考）如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”） 7．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 8．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    利用弦、弧、圆心角的关系求解题型02 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 3．如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 5．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 6．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 7．如图，内接于． (1)用尺规作图作出的平分线，交于点D，连接交与E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长度． 解：∵是的平分线， ∴______①______， ∴， ∴平分， ∴______②______， ∴， 在中，， ∴______③______， ∴______④______ 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）小滨、小江在研究圆心角定理时发现，除了定理中提到的四对量以外，还有其它量，比如三角形的面积、弓形的周长、扇形的面积等．于是，就有了这样的思考：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距、两个三角形的面积、两个弓形的周长、两个扇形的面积中有一对量相等，那么其余的量是否也相等？因而，他们提出了如下猜想：点A，B，C，D均在⊙O上，其中，，均小于． 小滨：若，则和的面积相等． 小江：若和的面积相等，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 利用弦、弧、圆心角的关系证明题型03 1．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径， （1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD； （2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______； （3）如果=，那么____，_____，______． 2．已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 3．已知：如图，，是的直径，C是上一点，且． 求证： ． 4．（25-26九年级上·河南漯河·月考）如图，，求证． 5．如图，弧AC=弧CB，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证：CD=CE 6．如图，是的直径，若，求证：． 7．如图，C，D是以线段AB为直径的上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：． 8．如图，是的两条弦． (1)若． ①连接，下列结论不一定成立的是（   ） A．         B． C．         D．到的距离相等 ②连接，求证：． (2)若，则弦与弦的大小关系是（   ） A．    B．    C．    D． 求弧的度数题型04 1．若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 2．如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 6．在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 7．按要求完成各题： (1)计算：． (2)将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为．求这三个扇形圆心角的度数． 8．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 圆心角·综合应用题型 1．如图，在中，是直径，是的三等分点，求的度数． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 6．下列命题中，正确的是（ ） ①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④ 7．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．同圆中，相等弦所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 圆心角·创新性问题题型 1．如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于(　　) A．18 B．16 C．10 D．8 2．如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则____________．    3．（2026·江苏南京·二模）图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． 4．（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 5．如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 6．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 7．（24-25九年级下·河北沧州·月考）已知中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线，分别与直线交于点M，N． (1)当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：； （思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．） (2)当扇形绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 8．在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $