3.2 圆心角【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版数学九年级上册（温州地区）

3.2 圆心角【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节是“圆的基本性质”的核心内容之一，研究圆心角的定义，以及“在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中只要有一组量相等，其余各组量就分别相等”这一圆心角定理及其推论。课标要求理解圆心角的概念，探索并证明圆心角定理，发展几何直观与推理能力。它上承圆的概念与圆的对称性，下启圆周角、圆内接四边形以及直线与圆的位置关系，是把“圆的对称性”转化为“圆中相等关系”的关键一步，其中的“同圆（等圆）”前提更是后续所有圆中定理的共同语言。 本节常见考查方式有：圆心角的概念辨析；由圆心角的度数求所对弧的度数及其逆用；在同圆或等圆中用圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系作判断与证明；圆的等分与正多边形中心角的计算；圆中两条平行弦所夹弧相等的应用；弧与弦的大小比较；以及结合坐标系、动点与最值情境的综合运用。命题趋势上，多以小题考查概念与基本换算，以中档题考查“知一推三”的推理与规范书写，以压轴题考查不等关系与动点中的不变量，重视分类讨论与说理表达。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．如图，在 ⊙O 中，∠AOB＝112°，则弧 AB 的度数是（　　） A．56°　B．68°　C．112°　D．224° 2．如图，⊙O₁ 与 ⊙O₂ 是等圆，∠AOB 是 ⊙O₁ 的圆心角，∠CO′D 是 ⊙O₂ 的圆心角，且 ∠AOB＝∠CO′D。下列结论不一定成立的是（　　） A．AB＝CD　B．弧 AB 的度数＝弧 CD 的度数 C．AB∥CD　D．点 O 到 AB 的距离等于点 O′ 到 CD 的距离 3．如图，在 ⊙O 中，弦 AB，CD 的弦心距（圆心到弦的距离）分别是 OM，ON，且 OM＝ON。则下列结论正确的是（　　） A．AB＝CD　B．AB∥CD　C．∠AOB＝2∠COD　D．AB⊥CD 4．如图，点 A，B，C，D，E 把 ⊙O 五等分，则 ∠BOD 的度数是（　　） A．72°　B．108°　C．120°　D．144° 5．已知正 n 边形内接于 ⊙O，A，B 是它的两个相邻顶点，且 ∠AOB＝24°，则 n 的值是（　　） A．12　B．15　C．16　D．18 6．如图，在 ⊙O 中，∠AOB＝60°，∠BOC＝90°，则弧 AB 与弧 BC 的度数之比是（　　） A．2:3　B．3:2　C．1:2　D．2:1 7．如图，AB，CD 是 ⊙O 的两条弦，且 AB∥CD，两条弦在圆内不相交。则下列结论一定正确的是（　　） A．弧 AC 与弧 BD 的度数相等　B．AC＝BD C．AB＝CD　D．四边形 ABDC 是平行四边形 8．如图，在 ⊙O 中，OC⊥AB 于点 C，∠AOB＝120°，AB＝，则 ⊙O 的半径是（　　） A．3　B．　C．6　D． 9．如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心、5 为半径作 ⊙O，点 A 的坐标是 (5，0)。点 B 在 ⊙O 上，且 ∠AOB＝120°，则点 B 的坐标是（　　） A． 或 　B． C． 或 　D． 10．如图，在 ⊙O 中，弧 AB 与弧 CD 都是劣弧，且弧 AB 的度数是弧 CD 度数的 2 倍，则（　　） A．AB＝2CD　B．AB＞2CD　C．AB＜2CD　D．无法确定 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，在 ⊙O 中，弧 AB 与弧 CD 的度数相等，且 ∠AOB＝68°，则 ∠COD＝　　　°，弦 AB 与弦 CD 的大小关系是 AB　　　CD（填“＞”“＜”或“＝”）。 12．如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，O 是圆心。在 ∠AOB，∠OAB，∠ACB，∠OBA 这四个角中，是圆心角的是　　　。 13．如图，在 ⊙O 中，弧 AB 的度数是 90°，⊙O 的半径是 4，则弦 AB 的长是　　　。 14．如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，且 ∠AOC＝100°，则 ∠BOC＝　　　°。 15．在 ⊙O 中，弦 AB 把圆分成两条弧，其中劣弧 AB 与优弧 AB 的度数之比是 2:7，则 ∠AOB＝　　　°。 16．如图，在 ⊙O 中，∠AOB＝110°，则弦 AB 所对的弧中，优弧 AB 的度数是　　　°。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）如图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长等于 ⊙O 的半径。 (1) 求 ∠AOB 的度数； (2) 若 ⊙O 的半径是 6，求点 O 到弦 AB 的距离。 18．（7 分）如图，在 ⊙O 中，弦 AB＝CD，OE⊥AB 于点 E，OF⊥CD 于点 F。 (1) 求证：OE＝OF； (2) 若 ⊙O 的半径是 10，AB＝12，求 OE 的长。 19．（8 分）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的点，且按 A，B，C，D 的顺序依次排列，弧 AB 与弧 CD 的度数相等。 (1) 求证：AB＝CD； (2) 若 ⊙O 的半径是 5，∠AOB＝60°，求弦 AB 的长。 20．（8 分）如图，在 ⊙O 中，C 是弧 AB 的中点，CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E。 (1) 求证：CD＝CE； (2) 若 ∠AOB＝120°，OC＝6，求 CD 的长。 21．（8 分）如图，在 ⊙O 中，半径 OA＝6，∠AOB＝90°。点 C 是弧 AB 上的一动点（不与点 A，B 重合），过点 C 分别作 CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，连结 DE。 (1) 求证：DE 的长是定值，并求出这个定值； (2) 当 ∠AOC＝45° 时，求四边形 ODCE 的周长。 22．（8 分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在直径 AB 上方的圆上，点 D 在直径 AB 下方的圆上，弧 AC 的度数是 50°，弧 BD 的度数是 80°。 (1) 求弧 BC 的度数； (2) 求 ∠COD 的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 圆心角【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节是“圆的基本性质”的核心内容之一，研究圆心角的定义，以及“在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中只要有一组量相等，其余各组量就分别相等”这一圆心角定理及其推论。课标要求理解圆心角的概念，探索并证明圆心角定理，发展几何直观与推理能力。它上承圆的概念与圆的对称性，下启圆周角、圆内接四边形以及直线与圆的位置关系，是把“圆的对称性”转化为“圆中相等关系”的关键一步，其中的“同圆（等圆）”前提更是后续所有圆中定理的共同语言。 本节常见考查方式有：圆心角的概念辨析；由圆心角的度数求所对弧的度数及其逆用；在同圆或等圆中用圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系作判断与证明；圆的等分与正多边形中心角的计算；圆中两条平行弦所夹弧相等的应用；弧与弦的大小比较；以及结合坐标系、动点与最值情境的综合运用。命题趋势上，多以小题考查概念与基本换算，以中档题考查“知一推三”的推理与规范书写，以压轴题考查不等关系与动点中的不变量，重视分类讨论与说理表达。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．如图，在 ⊙O 中，∠AOB＝112°，则弧 AB 的度数是（　　） A．56°　B．68°　C．112°　D．224° 2．如图，⊙O₁ 与 ⊙O₂ 是等圆，∠AOB 是 ⊙O₁ 的圆心角，∠CO′D 是 ⊙O₂ 的圆心角，且 ∠AOB＝∠CO′D。下列结论不一定成立的是（　　） A．AB＝CD　B．弧 AB 的度数＝弧 CD 的度数 C．AB∥CD　D．点 O 到 AB 的距离等于点 O′ 到 CD 的距离 3．如图，在 ⊙O 中，弦 AB，CD 的弦心距（圆心到弦的距离）分别是 OM，ON，且 OM＝ON。则下列结论正确的是（　　） A．AB＝CD　B．AB∥CD　C．∠AOB＝2∠COD　D．AB⊥CD 4．如图，点 A，B，C，D，E 把 ⊙O 五等分，则 ∠BOD 的度数是（　　） A．72°　B．108°　C．120°　D．144° 5．已知正 n 边形内接于 ⊙O，A，B 是它的两个相邻顶点，且 ∠AOB＝24°，则 n 的值是（　　） A．12　B．15　C．16　D．18 6．如图，在 ⊙O 中，∠AOB＝60°，∠BOC＝90°，则弧 AB 与弧 BC 的度数之比是（　　） A．2:3　B．3:2　C．1:2　D．2:1 7．如图，AB，CD 是 ⊙O 的两条弦，且 AB∥CD，两条弦在圆内不相交。则下列结论一定正确的是（　　） A．弧 AC 与弧 BD 的度数相等　B．AC＝BD C．AB＝CD　D．四边形 ABDC 是平行四边形 8．如图，在 ⊙O 中，OC⊥AB 于点 C，∠AOB＝120°，AB＝，则 ⊙O 的半径是（　　） A．3　B．　C．6　D． 9．如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心、5 为半径作 ⊙O，点 A 的坐标是 (5，0)。点 B 在 ⊙O 上，且 ∠AOB＝120°，则点 B 的坐标是（　　） A． 或 　B． C． 或 　D． 10．如图，在 ⊙O 中，弧 AB 与弧 CD 都是劣弧，且弧 AB 的度数是弧 CD 度数的 2 倍，则（　　） A．AB＝2CD　B．AB＞2CD　C．AB＜2CD　D．无法确定 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，在 ⊙O 中，弧 AB 与弧 CD 的度数相等，且 ∠AOB＝68°，则 ∠COD＝　　　°，弦 AB 与弦 CD 的大小关系是 AB　　　CD（填“＞”“＜”或“＝”）。 12．如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，O 是圆心。在 ∠AOB，∠OAB，∠ACB，∠OBA 这四个角中，是圆心角的是　　　。 13．如图，在 ⊙O 中，弧 AB 的度数是 90°，⊙O 的半径是 4，则弦 AB 的长是　　　。 14．如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，且 ∠AOC＝100°，则 ∠BOC＝　　　°。 15．在 ⊙O 中，弦 AB 把圆分成两条弧，其中劣弧 AB 与优弧 AB 的度数之比是 2:7，则 ∠AOB＝　　　°。 16．如图，在 ⊙O 中，∠AOB＝110°，则弦 AB 所对的弧中，优弧 AB 的度数是　　　°。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）如图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长等于 ⊙O 的半径。 (1) 求 ∠AOB 的度数； (2) 若 ⊙O 的半径是 6，求点 O 到弦 AB 的距离。 18．（7 分）如图，在 ⊙O 中，弦 AB＝CD，OE⊥AB 于点 E，OF⊥CD 于点 F。 (1) 求证：OE＝OF； (2) 若 ⊙O 的半径是 10，AB＝12，求 OE 的长。 19．（8 分）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的点，且按 A，B，C，D 的顺序依次排列，弧 AB 与弧 CD 的度数相等。 (1) 求证：AB＝CD； (2) 若 ⊙O 的半径是 5，∠AOB＝60°，求弦 AB 的长。 20．（8 分）如图，在 ⊙O 中，C 是弧 AB 的中点，CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E。 (1) 求证：CD＝CE； (2) 若 ∠AOB＝120°，OC＝6，求 CD 的长。 21．（8 分）如图，在 ⊙O 中，半径 OA＝6，∠AOB＝90°。点 C 是弧 AB 上的一动点（不与点 A，B 重合），过点 C 分别作 CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，连结 DE。 (1) 求证：DE 的长是定值，并求出这个定值； (2) 当 ∠AOC＝45° 时，求四边形 ODCE 的周长。 22．（8 分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在直径 AB 上方的圆上，点 D 在直径 AB 下方的圆上，弧 AC 的度数是 50°，弧 BD 的度数是 80°。 (1) 求弧 BC 的度数； (2) 求 ∠COD 的度数。 答案与解析 一、选择题（每小题 3 分） 　　1．C　2．C　3．A　4．D　5．B　6．A　7．A　8．C　9．A　10．C 1．C 圆心角的度数等于它所对弧的度数。因为 ∠AOB＝112°，所以弧 AB 的度数是 112°。故选 C。 2．C 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。因为 ⊙O₁ 与 ⊙O₂ 是等圆且 ∠AOB＝∠CO′D，所以 AB＝CD、弧 AB 与弧 CD 的度数相等、两条弦的弦心距相等，A，B，D 都成立。两条弦相等并不能说明它们平行，把两条弦适当摆放即可使它们不平行（也可以相交），所以 C 不一定成立。故选 C。 3．A 在同圆中，弦心距相等，则它所对应的弦相等、所对的弧相等、所对的圆心角也相等，所以 A 正确。弦的长度相等与两条弦的位置关系无关，B，D 都无法由此确定，错误。由 AB＝CD 只能得到 ∠AOB＝∠COD，而不是 2 倍关系，C 错误。故选 A。 4．D 把圆五等分，每一份弧的度数是 360°÷5＝72°，它所对的圆心角也是 72°。 ∠BOD 所对的弧 BD 含有 2 份，所以 ∠BOD＝72°×2＝144°。故选 D。 5．B 正 n 边形的每一条边所对的圆心角都相等，它们的和是整个周角 360°，所以每一条边所对的圆心角是 。 由 得 。故选 B。 6．A 圆心角的度数等于它所对弧的度数，所以弧 AB 的度数是 60°，弧 BC 的度数是 90°，它们的度数之比是 60∶90＝2∶3。故选 A。 7．A 圆中两条平行弦所夹的两条弧相等，所以弧 AC 与弧 BD 的度数相等，A 正确。 AC 与 BD 是这个圆的两条弦，一般并不相等（只有当 AB＝CD 即四边形 ABDC 是等腰梯形时才有 AC＝BD），B 错误。 两条平行弦的长度没有必然的相等关系，C 错误。 AB∥CD 只能说明四边形 ABDC 是梯形，还需要另一组对边平行才是平行四边形，D 错误。故选 A。 8．C 因为 OA＝OB，OC⊥AB，所以 OC 平分 ∠AOB，，且 。 在 Rt△AOC 中，∠AOC＝60°，所以 ∠OAC＝30°，于是 ，即 OA＝2OC。 由勾股定理得 ，即 ，，，。 所以 ，即 ⊙O 的半径是 6。故选 C。 9．A 因为点 B 在 ⊙O 上，⊙O 的半径是 5，所以 OB＝5。 过点 B 作 BH⊥x 轴于点 H。由 ∠AOB＝120° 得 ∠BOH＝180°−120°＝60°，所以 ∠OBH＝30°，于是 。 在 Rt△OBH 中，由勾股定理得 ，所以 。 由于点 B 可以在 x 轴上方，也可以在 x 轴下方，两种情况都满足 ∠AOB＝120°，所以点 B 的坐标是 或 。故选 A。 10．C 取弧 AB 的中点 M，连结 AM，BM。 因为弧 AB 的度数是弧 CD 的 2 倍，所以弧 AM，弧 MB 的度数都等于弧 CD 的度数，于是 AM＝MB＝CD。 在 △AMB 中，由三角形两边之和大于第三边得 AM＋MB＞AB，即 CD＋CD＞AB，所以 AB＜2CD。故选 C。 二、填空题（每小题 4 分） 　　11．68；＝　12．∠AOB　13．　14．80　15．80　16．250 11．68；＝ 在同圆中，度数相等的弧所对的圆心角相等，所以 ∠COD＝∠AOB＝68°；度数相等的弧所对的弦也相等，所以 AB＝CD。 12．∠AOB 圆心角是顶点在圆心、两边都与圆相交（即两边都是半径）的角。 ∠AOB 的顶点是圆心 O，两边 OA，OB 都是 ⊙O 的半径，所以它是圆心角； ∠OAB，∠OBA 的顶点在圆上，∠ACB 的顶点也在圆上，它们的顶点都不在圆心，都不是圆心角。 13． 由弧 AB 的度数是 90° 得 ∠AOB＝90°。 因为 OA＝OB＝4，所以 △AOB 是等腰直角三角形。 由勾股定理得 ，所以 。 14．80 因为 AB 是 ⊙O 的直径，所以点 A，O，B 在同一条直线上，∠AOB 是平角，即 ∠AOB＝180°。 所以 ∠BOC＝∠AOB−∠AOC＝180°−100°＝80°。 15．80 劣弧 AB 与优弧 AB 合成的正是整个圆，所以它们的度数之和是 360°。 设劣弧 AB 与优弧 AB 的度数分别是 2x，7x，由 2x＋7x＝360° 解得 x＝40°。 所以劣弧 AB 的度数是 2×40°＝80°。 因为 ∠AOB 是小于 180° 的圆心角，它所对的是劣弧 AB，所以 ∠AOB＝80°。 16．250 因为 ∠AOB＝110°＜180°，所以它所对的是劣弧 AB，度数是 110°。 弦 AB 还把圆分成另一条弧（优弧 AB），两条弧的度数之和是 360°， 所以优弧 AB 的度数是 360°−110°＝250°。 三、解答题（共 46 分） 17．（7 分） (1) 因为 OA，OB 都是 ⊙O 的半径，所以 OA＝OB。 又 AB 的长等于 ⊙O 的半径，所以 AB＝OA＝OB，即 △AOB 的三边相等，△AOB 是等边三角形，所以 ∠AOB＝60°。 (2) 过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，则 C 是 AB 的中点，。 又 OA＝6，在 Rt△AOC 中，由勾股定理得 。 即点 O 到弦 AB 的距离是 。 18．（7 分） (1) 连结 OA，OC。 因为 OE⊥AB，OF⊥CD，所以 ∠AEO＝∠CFO＝90°，且 ，。 因为 AB＝CD，所以 AE＝CF。 在 Rt△AOE 与 Rt△COF 中，OA＝OC（同圆的半径），AE＝CF， 所以 Rt△AOE≌Rt△COF（斜边、直角边），所以 OE＝OF。 (2) 由 (1) 知 ，且 OE⊥AB，所以 △AOE 是直角三角形。 又 OA＝10，由勾股定理得 。 19．（8 分） (1) 因为弧 AB 与弧 CD 的度数相等，所以 ∠AOB＝∠COD。 在 △AOB 与 △COD 中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD， 所以 △AOB≌△COD（两边及其夹角），所以 AB＝CD。 (2) 因为 OA＝OB，所以 △AOB 是等腰三角形； 又 ∠AOB＝60°，所以 △AOB 是等边三角形，于是 AB＝OA＝5，即弦 AB 的长是 5。 20．（8 分） (1) 因为 C 是弧 AB 的中点，所以弧 AC 与弧 BC 的度数相等，于是 ∠AOC＝∠BOC，即射线 OC 平分 ∠AOB。 又 CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，即 CD，CE 分别是点 C 到 ∠AOB 两边的距离，所以 CD＝CE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 (2) 因为 OC 平分 ∠AOB，所以 。 在 Rt△ODC 中，∠ODC＝90°，∠DOC＝60°，所以 ∠OCD＝30°，于是 。 由勾股定理得 。 21．（8 分） (1) 因为 CD⊥OA，CE⊥OB，所以 ∠ODC＝90°，∠OEC＝90°。 又 ∠AOB＝90°，所以四边形 ODCE 的三个角都是直角，四边形 ODCE 是矩形，于是 DE＝OC（矩形的对角线相等）。 因为点 C 在 ⊙O 上，OC 是 ⊙O 的半径，OC＝6，所以 DE＝6。 即无论点 C 在弧 AB 上怎样运动，DE 的长始终是定值 6。 (2) 因为四边形 ODCE 是矩形，所以 OD＝CE，DC＝OE。 由 ∠AOB＝90°，∠AOC＝45° 得 ∠COE＝∠AOB−∠AOC＝45°。 在 Rt△ODC 中，∠ODC＝90°，∠DOC＝∠AOC＝45°，所以 ∠OCD＝45°，于是 OD＝DC。 由勾股定理得 ，即 ，所以 。 所以四边形 ODCE 的周长＝2(OD＋DC)＝。 22．（8 分） (1) 因为 AB 是 ⊙O 的直径，所以弧 AB 是半圆，度数是 180°。 又弧 AC 的度数是 50°，所以弧 BC 的度数是 180°−50°＝130°。 (2) 同 (1)，弧 AB 是半圆，度数是 180°，而弧 BD 的度数是 80°，所以弧 AD 的度数是 180°−80°＝100°。 从点 C 出发经过点 A 到达点 D 的这条弧，由弧 CA 与弧 AD 组成，所以它的度数是 50°＋100°＝150°。 这个度数正是 ∠COD 的度数（∠COD 所对的弧就是这条弧），所以 ∠COD＝150°。 学科网（北京）股份有限公司 $