3.4 圆周角和圆心角的关系(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

圆第三章 圆周角和圆心角的关系（第1课时) 自主导学Q典例精析 例题1如图，△ABC内接于⊙0，∠BAC=90°，点E在⊙0上，OE∥ AC,连接AE,若∠AE0=20°，求∠B的度数， 【分析】根据OE∥AC得内错角∠EAC=∠AE0,而同一条弧CE所对的 圆周角是∠EAC,圆心角是∠COE,所以有内错角∠EOC=∠OCA=2×20°= 例题1图 40°，结合已知∠BAC=90°，可得∠B的度数， 【解答】，OE∥AC,∴.∠EAC=∠AEO=20°..∠EAC和∠EOC是同弧所对圆周角和圆心 角，∴.∠E0C=2∠EAC=2×20°=40°.又.0E∥AC,∴.∠AC0=∠E0C=40°.又.∠BAC=90°， :.∠B=90°-∠AC0=90°-40°=50° 【点拨】本题主要考查圆周角定理的运用.灵活运用平行线的性质、三角形内角和定理以 及圆周角和圆心角之间关系的定理是将所求的角与已知角建立联系的关键 例题2如图，⊙O的半径是2，AB是⊙0的弦，点P是弦AB上的动 点，且1≤OP≤2，求弦AB所对的圆周角的度数. 【分析】已知图形中没有呈现弦AB所对的圆周角，所以解题时要先画出 圆周角，根据圆周角定理的推论，我们只需分别在弦AB所对的劣弧和优弧上 例题2图 任取点E和点F,则∠AEB和∠AFB的度数就是所求的弦AB所对的圆周角的度数.而已知 条件中没有相关角的度数，只给出⊙O的半径和弦AB上点P满足的条件，所以只能借助直 角三角形的边角关系求出相关角的度数，此时将圆的半径、线段OP转化到同一个直角三角 形中成为解题的关键，当点P运动到AB的中点D时恰好构成直角三角形.通过这个直角三 角形求出∠AOB的度数，进而求出∠AEB和∠AFB的度数. 【解答】如图，分别在AB所对的两条弧上任取点E,F,连接AE,BE, AF,BE,作OD⊥AB.点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，.由垂线段最 短得0D=1,0M-2在R△100中，n∠01B8册-分.∠01B=3001 0B,∠A0B=120.∠AEB=)∠A0B=60,∠AFB=)(360°-LA0B)=120° 例题2答图 ·.弦AB所对的圆周角的度数为60°或120° 【点拨拔】本题主要考查圆周角定理及其推论，解题的关键是利用垂线段最短的性质，将 求圆周角度数问题转化为运用直角三角形的边角关系求圆心角的问题.值得注意的是，一条 弦所对的弧有两条，即劣弧和优弧，一条弦所对的圆周角有无数个，但度数只有两个，其和 为180°. 65 口数学 九年级下册（北师大版） 基础巩固L达标闯关 1.在⊙0中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是 2.如图，在⊙0中，∠A=35°，∠E=40°，则∠B0D的度数是 0 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，AB,AC为⊙O的两条弦，延长CA到点D,使AD=AB,若∠ADB=30°，那么 ∠BOC为( A.60° B.120° C.135° D.150° 4.如图，在⊙O中，半径OA⊥OB,弦AC⊥BD于点E,则下列结论不成立的是() A.∠D=459 B.AC=BD C.AD∥BC D.∠CAO=∠CBO 5.如图，AB是半圆O的直径，D是AC的中点，∠B=40°，求∠A的度数. 第5题图 6.如图，AB为⊙0的直径，弦CD交AB于点P,且∠APD=60°，∠COB=30°，求 ∠ABD的度数. 第6题图 66 圆 第三章 能力提升坤综合拓展 7.如图，射线AM交⊙O于点B,C,射线AN交⊙O于点D,E,且BC=DE.判断AC 与AE的大小关系，并说明理由. ◆0 M/ 第7题图 8.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD平分∠BAC交BC边于点D,交⊙O于点 E,过点E作弦EF,使EF=AC,则EF与AB有怎样的位置关系？为什么？ 第8题图 9.如图，AB是半圆0的直径，AC=AD,OC=2,∠COD=60°，求点O到CD的距离OE 的长 第9题图 的 口数学 九年级下册（北师大版） 10.如图，C,D为⊙O上两点，且在直径AB的两侧，连接CD交AB于点E,G是AC 上一点，∠ADC=∠G (1)求证：∠1=∠2. (2)点C关于DG的对称点为F,连接CF当点F落在直径AB上时，CF=10,tan∠1= 号，求⊙0的半径 第10题图 11.如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E. (1)M是CD的中点，OM=3,CD=12,求⊙0的半径长. (2)点F在CD上，且CE=EF,连接AF,求证：AF⊥BD. 第11题图 中考链接©真题演练 -●多与多 12.(2025·扬州)如图，点A,B,C在⊙0上，∠BAC=50°，则∠OBC= 第12题图 第13题图 第14题图 13.(2024陕西)如图，BC是⊙0的弦，连接OB,OC,∠A是BC所对的圆周角，则 ∠A与∠OBC的度数和是 14.(2024·连云港)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的 圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4= 68 圆 第三章 15.(2025·重庆)如图，点A,B,C在⊙0上，∠A0B=100°，∠C的度数是() A.40° B.50° C.80° D.100° D 第15题图 第16题图 第17题图 16.(2025·新疆)如图，CD是⊙0的直径，AB是弦，AB⊥CD,∠ADC=30°，则 ∠BOC=() A.30° B.45° C.60° D.75 17.(2025·长沙)如图，AC,BC为⊙0的弦，连接OA,OB,0C.若∠A0B=40°， ∠OCA=30°，则∠BC0的度数为() A.40° B.45° C.50° D.55° 18.(2025山西)如图，AB为⊙0的直径，点C,D是⊙0上位于AB异侧的两点，连 接AD,CD.若AC=BC,则∠D的度数为() A.30° B.45° C.60° D.75° 第18题图 第19题图 19.(2025·南充)如图，AB是⊙0的直径，AD⊥AB于点A,OD交⊙0于点C,AE⊥ OD于点E,交⊙O于点F,F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE+PF 的最小值是() A.4 B.2V7 C.6 D.4V3 20.(2023·武汉)如图，OA,OB,OC都是⊙0的半径，∠ACB=2∠BAC. (1)求证：∠AOB=2∠BOC. (2)若AB=4,BC=V5,求⊙0的半径. 第20题图 69口数学 九年级下册（北师大版） 134n4D=3AC-24D=9 0 0 第8题答图 第9题答图 B 9.解：成立.理由：如图，连接OE,OF,.OE= 第9题答图 第10题答图 第11题答图 OB=OD=OF.又DF-BE,∴△BOE≌△DOE∴∠D=∠B. 10.解：如图，连接OC.DE分别为⊙0半径 11解：如图，过点O作OF⊥CD于点F,连接OC, OA,OB上的点，AD=BE,OA=OB,.OD=OE.C是 则CF=DFAE=1,EB=5,AO=3,EO=2.在Rt△EFO AB的中点，AC=BC.∠A0C=∠B0C.又OC=0C, 中，：∠DEB=60°，E0=2,F0=V3,0C=0A=3,由 .△DCO≌△ECO.:.CD=CE 勾股定理得CF2=C0-0F2,∴.CF=V6,∴.CD=2V6. 12.解：四边形OACB是菱形.理由：C是AB的 中点，OC是半径，.OC⊥AB,AC=BC,AP=BP MB=V50A,AP=号AB=Y号0A.在Rt△AOP 中.mLa0r8裙-Y,∠40m又0 第10题答图 第11题答图 OC,.△OAC为等边三角形..OA=AC=CB=OB.四边 形OACB为菱形 11.(1)证明：如图，连接OC.∠A0B=120°，C 13.解：（1)如图，连接 是AB的中点，.AC=BC,∠AOC=∠B0C=60°.0A= AO.C为AB的中点，CD经过 OC,△AC0是等边三角形..OA=AC,同理OB=BC, 圆心O,CDLAB,∴AC=CB=0.9m .0A=AC=BC=0B..四边形AOBC是菱形..AB⊥OC..0C=VAOP-AC=V1.5-0.9= 又0A=AC,.AB平分∠OAC.(2)解：由(1)知 1.2.∴.CD=0D+0C=1.5+1.2=2.7 △AC0是等边三角形，.0A=AC,∠A0C=∠OAC=60°. (m)..拱门最高点D到地面的距 .0A=AP,.AP=AC..∠0AC=2∠P∠APC=30°.. 离为2.7m.(2)如图，设MW 第13题答图 △OPC是直角三角形.又半径R=1,AC=1,OP=2 为桌子的宽度2m,EF为桌子抬高0.5m时桌底经过 ..PC=V3 的平面，MN,EF分别交CD于点P,Q,连接OM,则 12.C MN∥EF.由题意得MP=NP=1m,OM=1.5m,CQ= 13.证明：(1)AB=CD 0.5m,∴0Q=0C-CQ=1.2-0.5=0.7(m).在Rt△0MP .AB +BC =CD +BC,EAC=BD, 中，0P24PMr=0r,即0严+1=1.，解得OP=V5 2 AC=BD.(2)如图，连接BC, 1.118(负值已舍去)，.0P>OQ,.EF>MN=2m,且 AB=CD,AB=CD.由(1)知 PQ=0Q+0P=0.7+1.118≈1.82(m).1.82>1.2,.搬运 AC=BD,又BC=BC,∴.△ABC≌ 该桌子时能够通过拱门. △DCB.∴.∠A=∠D.又∠AEB= 第13题答图 14.615.A16.C ∠DEC,∴.△ABE∽△DCE. 4圆周角和圆心角的关系（第1课时） 3垂径定理 1.42°或138°2.150°3.B4.D 1.2V2I2.26寸3.25m4.7cm或3cm5. 5.解：如图，连接OD,OC B6.D7.B8.C D是AC的中点，∠AOD= 9.解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,则CE= ∠A0C.又∠B=号LA0C, DE=号CD=3cm,AE=BE=↓AB=5cm.AC=AE-CE= 2 2 2 cm. ÷∠A0D=号∠A0C=LB=40, 第5题答图 10.解：如图，过点O作OD⊥AC于点D,则 ·.OA=OD,.∠A=∠ADO.∠A+∠AD0+∠AOD=180°， AD=DC.∠AOB=90°，∠AD0=90°，∠A=∠A, ∴.∠A=70°. △40D△4B09治-8滑0=1B4n又MB 6.解：∠C0B=30°，∠C0B=2∠D,∴∠D=15°. 又∠APD=∠D+∠ABD,∠APD=60°，∴.∠ABD=45°. 13,0B=12,由勾股定理得0A2=AB2-0B=25.25= 7.解：AC=AE.理由：BC=DE,BC+BD=DE+ 参考答案与提示 BD..CD=BE..CD和BE所对的圆周角相等，即 ∠BOC,.BD=BC.AB=4,BC=V5,∴.BE=2,DB= ∠DEC=∠BCE.∴.AC=AE. V5.在Rt△BDE中，∠DEB=90°，DE=VBD2-BE= 8.解：EF∥AB.理由：AC=EF,AC=EF..EC 1.在Rt△BOE中，∠0EB=90°，OB=(OB-1)2+22,解 =AF.∠E=∠CAE.AD平分∠BAC,∠BAE= 得0B=子，O0的半径是号 ∠CAE.∠E=∠BAE..EF∥AB. 9.解：0A=0C,∠C0D=60°，∠C4B=1∠B0C, 4圆周角和圆心角的关系（第2课时） 2 1.75°2.60°2cm3.10cm4.30°≤x≤90° .∠OCA=∠0AC=-30°.AC=AD,∠ACD=∠ADC= 5.A6.C7.D8.C9.B 75°，∴.∠0CE=∠ACD-∠0CA=45°.在Rt△0CE中，： 10.解：相等.理由：如图，连接AC.,AD是⊙0 ∠C0E=∠0CE=45°，0C=2,∴.0E=V2. 的直径，∴.∠ACD=∠ACE=90°..∠EAC+∠E=∠DAC 10.(1)证明：∠ADC=∠G,.AC=AD.AB +∠D=90°.四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ABC+∠D= 为⊙0的直径，BC=BD.∠1=L2.(2)解：如 180°.：∠ABC+∠EBC=180°，.∠EBC=∠D.C是BD 图，连接DF,CB,由(1)知AC=AD,BC=BD, 的中点，.BC=DC..∠EAC=∠DAC..∠E=∠D. ∠ABC=∠ABD,BC=BD.∴BE⊥CD,CE=DE.AB是 ∠EBC=∠E,∴BC=EC. DC的垂直平分线.FD=FC=10.点C,F关于DG对 称，DC-Dr0:DE5.m∠上号，EB=DEan∠1 221-2m2-号A=2 ..AB= AE+EB=29.⊙0的半径长为29， 0 2 4 第10题答图 第11题答图 11.解：如图，连接AD,则∠ADB=90.AB=AC ∴.∠DAB=∠DAC..'∠BAC=50°，∴.∠DAB=∠DAC=25° BD,DE所对的圆心角度数都等于50°.AE=4EB- 第10题答图 第11题答图 BE,AE所对圆心角的度数等于180°-2x50°=80°. 12.(1)证明：：四边形ABCD内接于⊙0， 11.(1)解：如图，连接0D,0C,.0D=0C.M ∠A+∠DCB=180°..∠DCE+∠DCB=180°，·.∠A= 是CD的中点，CD=12,DM=号CD=6,OM1CD,即 ∠DCE.∠1=∠2，.AD=DC,AD=DC.AB=CE, ∠OMD=90°.在Rt△OMD中，·OM=3,DM=6,.OD= ∴.△ABD≌△CED(SAS).BD=ED.(2)解：如图， VOMP+DM证=V32+6=3V5.∴.⊙0的半径长为3V5. 过点D作DM⊥BE于点 (2)证明：如图，连接AC,延长AF交BD于点 M,.AB=4,BC=6,CE= G,AB⊥CD,CE=EF,AB是CF的垂直平分线. AB=4,.∴BE=BC+EC=10. .AF=AC,即△ACF是等腰三角形.∠FAE=∠CAE. .BD=ED,DM LBE,.BM= BC=BC,.∠CAE=∠CDB..∠FAE=LCDB.在Rt△BDE ME BE-5..CM-BC- 中，∠CDB+∠B=90°，∴.∠FAE+∠B=90°..∠AGB= BM=1.:∠ABC=60°，∠1= 第12题答图 90°.AG⊥BD,即AF⊥BD. 12.40°13.90°14.90°15.B16.C17.C ∠2，∠2=30.DM=BM-tanZ2=5xY3_5V3 3 18.B19.C ∴tan∠DcB=DM_5V3 20.(1)证明：LACB=2 ∠AOB,∠BAC= CM 3 13.(1)证明：：∠ADE= 号∠B0C,∠ACB=2∠BHC、∠A0B=2∠B0C ∠ACE,∠ADE=∠B,∴.∠B= ∠ACE.·CE∥AB,∴.∠BAC= (2)解：如图，过点O作半径 ∠ACE..∠B=∠BAC..AC=BC. OD⊥AB于点E,连接BD,∴AE (2)解：如图，连接AE, B BE.由(I)知∠BOC=) D ∠AOB AC为⊙O的直径，∴.∠ADB= 第13题答图 ∠DOB=2 ∠ADC=90°.在Rt△ADB中， ∠AOB,.∴.∠DOB= 第20题答图 ..tan B=AD=2,:AD=2BD..CD=3,:AC=BC=BD+ BD