5.3.2 函数的极值与最大(小)值 课时2(创新拔高)课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 课时2 1.已知函数，若恒成立，则的最大值为( ) A. B. C.e D. 2.已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.如图是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点重合于点P，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是( ) A. B. C. D. 4.已知函数，若对任意的，，则的最大值为( ) A. B. C. D. 5.已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为( ) A. B.1 C. D. 7.（多选）已知函数，则下列说法正确的是( ) A.若，则的最大值为 B.若，则有极大值，无极小值 C.若，则有极小值 D.若有两个极值点分别是，，则 8.（多选）我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和e一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是( ) A. B. C.，其中 D.函数的最小值为 9.已知函数，若在上存在零点，则实数的最大值是______. 10.已知，，是的导函数，若恒成立，则正实数a的最小值为__________． 11.已知函数的定义域为区间，值域为区间，若，则称是上的缩域函数.若函数是区间上的缩域函数，则实数a的取值范围__________. 12.定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”. （1）若函数和为“契合函数”，求a的取值范围. （2）已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”，. ①求b的取值范围； ②若，证明：. 答案以及解析 1.答案：A 解析：因为，又函数和都是增函数，所以若恒成立，则函数和的零点相同，即，所以. 设，则，则当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以. 所以的最大值为.故选A. 2.答案：D 解析：因为，所以. 由，得.当或时，，即在，上单调递增；当时，，即在上单调递减，所以的极小值点为，极大值点为.而，且，所以只需，即.解得，则a的取值范围是.故选D. 3.答案：B 解析：如图，连接，，与DE交于点M.设，则，，.设正六棱锥的高为h，则 ，所以正六棱锥的体积.令，求导得，由，得，当时，，当时，，则当时，取得极大值，也是最大值，此时V的最大值为. 4.答案：C 解析：由题知，当时，，所以在上单调递增.当时，，不符合题意；当时，令，得，当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减.所以当时，取得最大值.因为对任意的，，所以.即，即，所以.令，，则，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，所以，所以.即的最大值为.故选C. 5.答案：D 解析：根据题意可知，，当且仅当时取等号，则由对勾函数性质可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，有最小值.又，，所以在上的值域为.又函数，则，令，得，，当，，则在区间上单调递增，当，，则在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值为.又，，所以在上的值域为，由对于任意，都存在，使得，则得，即解得. 6.答案：C 解析：因为，不等式成立，即， 又，则恒成立， 令，可得， 当，，单调递增， 则不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立，即恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，则实数m的最小值为. 故选：C. 7.答案：ABD 解析：，对于选项A，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即有最大值.所以A正确.对于选项B，当时，对于，，此时方程有两个不等实根分别为和.又因为，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以在处取得极大值，无极小值.所以B正确.对于选项C，当时，若，则，此时恒成立，在上单调递增，无极值.所以C错误.对于选项D，由有两个极值点知且，即，此时两根满足又，，所以 .令，，则，所以在上单调递减.所以，即，则成立.所以D正确.综上，故选ABD. 8.答案：ABC 解析：A（√）令，则为的零点，，若，则，可知在内单调递减，当x趋近于时，，且，所以在内无零点；若，则，可知在内单调递增，又且，所以在内存在唯一零点，故A正确. B（√）因为，，所以，两边同时取对数，可得，得，则，故B正确. C（√）假设成立，则，得，得，得，则，得，得，则，得，得，假设成立，故C正确. 错误项分析：D（×）令，则1，令，解得；令，解得.故在内单调递减，在内单调递增，则，可得，当且仅当时，等号成立.则，当且仅当，即时，等号成立.令，，因为，在内单调递减，所以在内单调递减，又，，所以在内存在唯一零点，即，所以的最小值为，不为，故D错误.故选ABC. 9.答案：-1 解析：由，在上存在零点，即在上有解.令，，则恒成立，所以在上单调递增，故，即. 令，，则， 则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 故，当时，，即有，故，即实数a的最大值是-1. 10.答案： 解析：由题意，则，定义域为，故恒成立， 即， 令，，则， 其中， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故恒成立， 所以在上单调递增， 由，可得，即，即． 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且，故， 则正实数a的最小值为． 11.答案： 解析：方法一：因为函数是区间上的缩域函数，所以在上恒成立. ①不等式左边：在上恒成立，则，令函数，，则，令，解得，即，所以当，即时，，单调递增；当，即时，，单调递减，所以，所以. ②不等式右边：在上恒成立，则，令函数，，则，则在上单调递减，所以，所以.综上，实数a的取值范围为. 方法二：因为是区间上的缩域函数，所以，，即，，解得.又，在定义域内为增函数，令，解得，因为，，所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以，解得，现需比较与的大小.设，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因此可得，所以，即.综上，实数a的取值范围为. 12.答案：（1） （2）① ②证明见解析 解析：（1）因为函数与为“契合函数”， 所以存在，使，即有解. 令，则直线与函数的图象有交点. 因为的定义域为R，， 所以为偶函数. 因为，所以. 令，则. 当时，，，所以， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递增. 又因为为偶函数，所以在上单调递减， 所以.所以，即. （2）①因为和为“契合函数”， 所以存在，使， 所以在上有解，即在上有解. 令，则. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即. 令，，则， 所以在上单调递增，所以最多只有一个解. 要使方程有两个不同的解，则有两个不同的解， 所以，所以，故. ②证明：设.因为，是关于x的方程1的两个不同的解， 所以， 得，，则. 令，则. 令，，则， 所以在上单调递增，， 所以，所以在上单调递增， 所以，即成立. 学科网（北京）股份有限公司 $