精品解析：山东日照市东港区金海岸中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027学年度上学期 九年级数学学科练习（一） （卷面分值：120分 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 2. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用对称轴是x轴两交点横坐标的中点来计算另一个交点坐标． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为． 3. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 4. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】先通过配方得到抛物线的顶点式，可确定抛物线对称轴、开口方向和增减性，从而判断A、B、D选项，再求得抛物线与y轴的交点坐标即可判断C选项． 【详解】解：先对抛物线配方得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为且在轴左侧，即选项A错误，选项B正确； ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，即选项D错误； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，即抛物线与轴的负半轴可以相交，故选项C错误。 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】观察图象得：函数的最大值为4，可得函数的图象与直线有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】解：观察图象得：函数的最大值为4， ∴函数的图象与直线有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根． 9. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据三个点的横坐标分别计算出它们所对应的纵坐标，根据计算结果比较大小． 【详解】解： 抛物线， 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； ， ， 即 ． 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 第Ⅱ卷（主观题 共90分） 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 把一元二次方程化成一般形式是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：， ， ， ， 即一元二次方程的一般形式是， 故答案为：． 12. 已知二次函数，当时，二次函数最大值是___________，最小值是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】把解析式配成顶点式，确定对称轴位置；对称轴在自变量取值范围内时，最小值在顶点处取得，最大值在离对称轴较远的端点处取得． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵，在此范围内， ∴当时，取最小值，最小值为． ∵与中，，即离对称轴较远， ∴当时，取最大值，最大值为． ∴二次函数的最大值是，最小值是． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 14. 二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1） 【答案】0.2． 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1， ∵方程的一个根为x=-2.2， ∴另一个根为：-1×2-（-2.2）=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键． 15. 设是一元二次方程的两个实数根，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，一元二次方程的解，得到，，整体代入法计算求值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：． 16. c如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D， 当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ∵点A在抛物线上， ， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问4详解】 解：， 整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 18. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 19. 为进一步推广全民健身理念、丰富市民文体生活，2025年春季，某市重磅推出万人马拉松赛事，以下为本次活动的详细相关信息： 项目 距离 报名费 马拉松 42千米 150元/人 半程马拉松 21千米 100元/人 健康跑 3千米 50元/人 （1）若某校选派选手参加了本次活动，参赛选手只完成半程马拉松或健康跑中的一个项目，学校共花费了报名费650元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为69千米．请求出该校报名半程马拉松和健康跑各几人？ （2）该校一直以来重视学生的体育锻炼，组建了长跑兴趣小组，已知2023年该校参加健康跑仅有4人，且2023年年参赛人数的增长率相同，在（1）的条件下，求该校参加健康跑人数的增长率？ 【答案】（1）有2名选手报名了半程马拉松，有9名选手报名了健康跑 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的增长率问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设有名选手报名了半程马拉松，有名选手报名了健康跑，根据共花费了报名费650元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为69千米．列出方程组，即可作答． （2）理解题意，设该校参加健康跑人数的增长率为，结合2023年该校参加健康跑仅有4人，且2023年年参赛人数的增长率相同，列方程，再解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：设该校有名选手报名了半程马拉松，有名选手报名了健康跑， 由题意得：， 解得：， 答：该校有2名选手报名了半程马拉松，有9名选手报名了健康跑； 【小问2详解】 解：设该校参加健康跑人数的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该校参加健康跑人数的增长率为． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴k无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）10 【解析】 【分析】（1）求得一元二次方程的判别式，根据一元二次方程的根与判别式的关系即可得出结论； （2）根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，，再利用勾股定理求得，再利用完全平方公式可得，求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时， ∴，， ∴， 在中，，即， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 当时，，不符合题意；故舍去． 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理及完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及与系数的关系是解题的关键． 21. 苹果园有苹果树60棵，现准备多种一些苹果树提高苹果产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵苹果树时，果园内的每棵苹果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树（且为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系为一次函数，且满足如图所示的图象． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当增种多少棵果树时，果树的总产量是？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大总产量是多少？ 【答案】（1），； （2）增种棵果树时，果树的总产量是； （3）当增种果树棵时，果园的总产量最大，最大总产量是． 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法求解即可，并求出时的值，即可得自变量的取值范围； （2）由题意得，解这个一元二次方程，并选择满足题意的解即可； （3）根据题意列出与的函数关系式，并转化为顶点式，再根据二次函数的增减性，结合的取值范围即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：设，由题知时；时， ∴， 解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，， 解得， ∴自变量的取值范围为． 【小问2详解】 解：由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：增种棵果树时，果树的总产量是． 【小问3详解】 解：由题意得 ， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴当增种果树棵时，果园的总产量最大，最大总产量是． 【点睛】本题考查了利用一次函数、一元二次方程以及二次函数解决实际问题，根据题意正确地列出函数关系式和方程是解题的关键．在解决实际问题时要注意结合自变量的取值范围． 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点B以的速度移动，同时点从点B出发，沿边向终点C以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：___________，___________；（用含的代数式表示） （2）当为何值时，？ （3）在动点运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，． （3）存在，此时或3 【解析】 【分析】（1）利用“路程=速度×时间”，把各自的速度与时间t相乘，分别求出和，然后根据求出． （2）是的边，而矩形中，所以是直角三角形，为斜边．结合（1）中求出的两直角边、，用勾股定理建立关于t的方程即可求解． （3）观察图形，五边形恰好是矩形去掉左下角的后剩下的部分，因此“五边形面积=矩形面积面积”，先根据矩形面积与目标五边形面积关系，反推出应有的面积，再用三角形面积公式列方程求解，最后检验t是否在运动时间范围内． 【小问1详解】 解：运动时间为，根据路程公式： 点P的速度为，所以（），所以（）； 点Q的速度为，所以（）． 【小问2详解】 解：点P从A到B需（s），点Q从B到C需（s），先到终点者停止，故运动时间满足． 在矩形中，，所以是直角三角形， 其中，，斜边， 所以， 代入得， ， ， ， 解得，， 因为，舍去；满足条件， 所以当时，． 【小问3详解】 解：令五边形的面积为矩形面积的，则的面积为矩形面积的， 则， 又因为， 所以，即， ， 解得或3． 与均满足，符合运动过程， 所以，当或3时，五边形的面积为矩形面积的． 23. 已知二次函数． （1）当时，求该二次函数顶点坐标和对称轴 （2）当时，的最小值为，求的值； （3）若都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，再将解析式化为顶点式，然后得出答案即可； （2）由于对称轴是直线，对和两种情况讨论求解； （3）由于，两点关于对称轴对称可知，再对点，都在对称轴左侧，点，在对称轴两侧进行讨论，列不等式求解． 【小问1详解】 解：时，二次函数解析式为：， ∴二次函数顶点坐标为，对称轴为：直线； 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为， 若，当时，函数值最小， ∴， 解得，， ∵， ∴； 若，当时，函数值最小， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵关于对称轴对称， ∴， ∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， ∴此交点关于对称轴的对称点为， ∵且， ∴，解得， 当都在对称轴左侧时， ∵， ∴，解得， 当分别在对称轴两侧时， ∵，到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 解得，， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期 九年级数学学科练习（一） （卷面分值：120分 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 2. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 9. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第Ⅱ卷（主观题 共90分） 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 把一元二次方程化成一般形式是________ 12. 已知二次函数，当时，二次函数最大值是___________，最小值是___________． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________________________． 14. 二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1） 15. 设是一元二次方程的两个实数根，______． 16. c如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则___________． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 19. 为进一步推广全民健身理念、丰富市民文体生活，2025年春季，某市重磅推出万人马拉松赛事，以下为本次活动的详细相关信息： 项目 距离 报名费 马拉松 42千米 150元/人 半程马拉松 21千米 100元/人 健康跑 3千米 50元/人 （1）若某校选派选手参加了本次活动，参赛选手只完成半程马拉松或健康跑中的一个项目，学校共花费了报名费650元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为69千米．请求出该校报名半程马拉松和健康跑各几人？ （2）该校一直以来重视学生的体育锻炼，组建了长跑兴趣小组，已知2023年该校参加健康跑仅有4人，且2023年年参赛人数的增长率相同，在（1）的条件下，求该校参加健康跑人数的增长率？ 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 21. 苹果园有苹果树60棵，现准备多种一些苹果树提高苹果产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵苹果树时，果园内的每棵苹果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树（且为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系为一次函数，且满足如图所示的图象． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当增种多少棵果树时，果树的总产量是？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大总产量是多少？ 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点B以的速度移动，同时点从点B出发，沿边向终点C以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：___________，___________；（用含的代数式表示） （2）当为何值时，？ （3）在动点运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 23. 已知二次函数． （1）当时，求该二次函数顶点坐标和对称轴 （2）当时，的最小值为，求的值； （3）若都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $