32.1.1正弦函数（课件）2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 人教版数学九年级 32.1.1 正弦函数 专项练习（约1500字） ## 知识要点速记 ### 1. 正弦的定义 在**\(Rt\triangle ABC\)**中，$\angle C=90^\circ$，锐角$A$的对边与斜边的比叫做$\angle A$的正弦，记作$\boldsymbol{\\(\sin\) A}$。 公式： $$\boldsymbol{\\(\sin\) A=\frac{\angle A的对边}{斜边}}$$ 注意： 1.$\\(\sin\) A$是一个比值，**没有单位**，只与锐角$A$的大小有关，和直角三角形边长无关；角度确定，$\\(\sin\) A$的值就固定。 2.$\\(\sin\) A$不是$\\(\sin\)$乘以$A$，是一个整体符号。 3. 取值范围：当$\angle A$为锐角时，$\boldsymbol{0<\\(\sin\) A<1}$。 ### 2. 特殊角正弦值 $\\(\sin\)30^\circ=\dfrac12$；$\\(\sin\)45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$；$\\(\sin\)60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 规律：锐角越大，正弦值越大。 ### 3. 解题思路 ① 找到直角三角形，认准直角； ② 分清锐角的**对边、斜边**；（对边：角对面的那条边，不挨着这个锐角） ③ 代入正弦公式计算； ④ 已知正弦值和一条边长，列方程求未知边长。 ## 一、选择题 1. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A$的对边是$a$，邻边$b$，斜边$c$，则$\\(\sin\) A=$（） A.$\dfrac{a}{b}$　B.$\dfrac{a}{c}$　C.$\dfrac{b}{c}$　D.$\dfrac{b}{a}$ >答案：B >解析：$\\(\sin\) A=\dfrac{\angle A的对边}{斜边}=\dfrac{a}{c}$。 2. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(AB=10\)$，$\(BC=6\)$，则$\\(\sin\) A$的值为（） A.$\dfrac35$　B.$\dfrac45$　C.$\dfrac34$　D.$\dfrac43$ >答案：A >解析：$\angle A$对边是$\(BC=6\)$，斜边$\(AB=10\)$，$\\(\sin\) A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35$。 3. 已知$\angle A$是锐角，若$\\(\sin\) A=\dfrac{\sqrt3}{2}$，则$\angle A$的度数为（） A.$30^\circ$　B.$45^\circ$　C.$60^\circ$　D.$90^\circ$ >答案：C >解析：特殊角三角函数，$\\(\sin\)60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$。 ## 二、填空题 4. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(AC=8\)$，$\(BC=6\)$，则$\\(\sin\) B=$______。 >答案：$\dfrac45$ >解析：斜边$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$；$\angle B$对边是$\(AC=8\)$，$\\(\sin\) B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{10}=\dfrac45$。 5. $\\(\sin\)30^\circ+\\(\sin\)60^\circ=$________。 >答案：$\dfrac{1+\sqrt3}{2}$ >解析：原式$=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{1+\sqrt3}{2}$。 6. 若锐角$\alpha$增大，则$\\(\sin\)\alpha$的值会______（填增大、减小、不变）。 >答案：增大 ## 三、解答题 7. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(AC=12\)$，$\(AB=13\)$，求$\\(\sin\) A$和$\\(\sin\) B$。 >解： 由勾股定理：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。 $\angle A$的对边是$\(BC=5\)$，斜边$\(AB=13\)$，$\\(\sin\) A=\dfrac{BC}{AB}=\boldsymbol{\dfrac{5}{13}}$。 $\angle B$的对边是$\(AC=12\)$，斜边$\(AB=13\)$，$\\(\sin\) B=\dfrac{AC}{AB}=\boldsymbol{\dfrac{12}{13}}$。 答：$\\(\sin\) A=\dfrac{5}{13}$，$\\(\sin\) B=\dfrac{12}{13}$。 8. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，已知$\\(\sin\) A=\dfrac{2}{3}$，$\(BC=4\)$，求斜边$AB$的长。 >解： $\\(\sin\) A=\dfrac{\angle A的对边BC}{斜边AB}=\dfrac{2}{3}$ 代入$\(BC=4\)$，得$\dfrac{4}{AB}=\dfrac{2}{3}$ 交叉相乘：$\(2AB=12\)$，解得$\(AB=6\)$。 答：斜边$AB$长为6。 9. 如图，△ABC中，$CD\perp AB$于D，$\(AC=5\)$，$\(CD=3\)$，$BC=2\sqrt{13}$，求$\\(\sin\) A$和$\\(\sin\) B$。 >解： ∵$CD\perp AB$，∴$\triangle ACD$、$\triangle BCD$都是直角三角形。 在$Rt\triangle ACD$中，$\\(\sin\) A=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{3}{5}$。 在$Rt\triangle BCD$中，$\\(\sin\) B=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{3}{2\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{26}$。 答：$\\(\sin\) A=\dfrac35$，$\\(\sin\) B=\dfrac{3\sqrt{13}}{26}$。 10. 综合题：在$Rt\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，若$\\(\sin\) A=\dfrac{4}{5}$。 （1）求$\\(\sin\) B$； （2）若$\(AB=10\)$，求△ABC的周长。 >解： （1）设$\(BC=4\)k$，$\(AB=5k\)$。 由勾股定理，$AC=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$。 $\\(\sin\) B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3k}{5k}=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}}$。 （2）$\(AB=10\)$，即$\(5k=10\)$，$\(k=2\)$。 $\(BC=4\)k=8$，$\(AC=3k=6\)$。 周长$\(=6+8+10=24\)$。 答：$\\(\sin\) B=\dfrac35$，三角形周长为24。 ## 易错点总结 1. **混淆对边、邻边**：求$\\(\sin\) A$，一定找**角A对面的边**，不是挨着角A的直角边，是最常见错误。 2. $\\(\sin\) A$是比值，**不带单位**，不要写成小数时乱加单位； 3. 看清三角形是否为直角三角形，**非直角三角形不能直接套用正弦定义**，需要作高构造直角三角形； 4. 比例设$k$法很实用：已知三角函数值，可以设一份为$k$，用勾股定理表示三边； 5. 特殊角三角函数值不要记混：$\\(\sin\)30^\circ=\dfrac12$，$\\(\sin\)60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$，不要写反。 全文约1490字，格式和前面章节保持一致。下一节是32.1.2余弦、正切，需要继续写同类型专项练习吗？ 人教版（新教材）数学九年级下册 32.1.1正弦函数 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/12 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十二章 锐角三角函数 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实. 理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长. 学习目标 问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ 新课导入 将这个问题转化为数学语言怎么说呢？ 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，BC=35 m，求AB. 你准备怎样解决这个问题呢？ 若要使出水口的高度为a m，又需要准备多长的水管呢？ C B A 正弦的定义 知识点1 已知：∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m. 根据：在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜边的一半. 故：AB= 2BC=70 (m). 推进新课 　　在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ C＇ 50 m B＇ a m D E 35 m A B C 思考 为a m 时呢？ 通过上述计算，你发现了什么规律？ 　 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 ． 30°角的对边 斜边 　　 即 　　　　　　= ． 思考 　　 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比. Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 因此 提问 该比值与三角形的大小有关吗？若该三角形边长变为原来的2倍，该比值有变化吗？ 无关；没有变化，该比值仍为 . 思考 当∠A为任意一个确定锐角时，它的对边与斜边的比仍为固定值吗？ 探究 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C =∠C'=90°．∠A=∠A'，那么 与 有什 么关系．你能解释一下吗？ A' B' C' 因为∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A ′ ＝α， A B C 所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C'， 　　 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值． 小结 　　在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A. ∠A 的 对 边 A B C c a b 斜边 即sin A= 　　　　　 = ． ∠A 的对边 斜边 　　sin 30°=　； 　　sin 45°=　 ； 　　sin 60°=　 ． ∠A 的 对 边 A B C a b 斜边c 提问 你发现了什么？ 　　 ∠A 的正弦 sinA 随着∠A的变化而变化. “sinA”是一个完整的符号，单独写符号sin是没有意义的，表达时有时要省去角的符号“∠” . 正弦的表示 sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号） 注意 sinA 、 sin39 ° 、 sinβ （省去角的符号） 1 2 返回 C 举一反三 15 返回 A 举一反三 16 返回 3．2025年4月11日0时47分，通信技术试验卫星十七号搭乘长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心成功发射．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为 ____________． asinθ km 举一反三 17 练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求sinA的值. 　　sin 60°=　 ． 运用正弦定义求正弦值的方法 知识点2 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． A B C 3 4 (1) A B C 13 5 (2) 解：如图（1），在Rt△ABC中， 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 如图（2），在 Rt△ABC 中， 因此 sin A= 　　sin B= A B C 13 5 (2) 返回 4．平面直角坐标系xOy内一点A(6，－8)，连接OA，则线段OA与y轴夹角的正弦值为________． 举一反三 21 返回 15 举一反三 22 80 举一反三 23 返回 举一反三 24 6．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求sin∠ECM的值． 【解】设AE＝x，则BE＝3x， ∴AB＝4x．∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°， AD＝CD＝BC＝AB＝4x． ∵M为AD的中点，∴AM＝MD＝2x． 举一反三 25 返回 举一反三 B 举一反三 27 返回 举一反三 B 举一反三 29 9．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C 的对边，若a2＝bc，则sin B＝________． 举一反三 30 10．如图，将Rt△ABC绕着直角顶点C旋转一定的角度，得到△ECD，点B正好落在DE边上，连接AE，若S△CAE＝ 4S△BCD，则sin∠ABC＝________． 举一反三 31 回顾上面的解答过程，你发现了什么？ 小结 求 sin A 就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求 sin B 就是要确定∠B 的对边与斜边的比． 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，则下列比值中不等于sin A的是(　　) A． B． C． D． 2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠BAC的值是(　　) A． B． C． D． 【点拨】如图①，∵sin A＝， ∴＝． 又∵BC＝12，∴＝，解得AB＝15． 5．(1)在△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝12，sin A＝，那么AB＝________； (2)如果α是边长为10的菱形的一个锐角，sin α＝，那么这个菱形的面积是________． 【点拨】如图②，菱形ABCD的边长为10，sin B＝，作AE⊥BC交BC于点E， 在Rt△ABE中，sin B＝＝， ∴AE＝AB＝×10＝8． ∴菱形ABCD的面积＝BC·AE＝10×8＝80． ∴EC＝＝5x， EM＝＝x， CM＝＝2x． ∴EM2＋CM2＝CE2． ∴△CEM是直角三角形，且∠CME＝90°． ∴sin∠ECM＝＝． 7．如图，A，B，C，D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上，则sin B＋sin D的值为(　　) A．＋ B．＋ C． D． 【点拨】如图，连接AC，作AE⊥BC，CF⊥AD，由勾股定理，得BC＝＝5，AB＝＝．∵BC·AE＝×5×3，∴AE＝3．∴sin B＝＝＝．同理可得sin D＝． ∴sin B＋sin D＝＋．故选B． 8．[2025无锡一模]如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF＝，则BC的长为(　　) A．6 B．4 C．2 D．10 $