精品解析：吉林长春北湖学校2026-2027学年度九年级上学期10月学情自测数学学科试卷

长春北湖学校2026-2027学年度九年级上学期 数学学科试卷 满分：120分 时长：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的一个实数根为0，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 8. 如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为（ ）． A. 10 B. 12 C. 13 D. 24 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 10. 若，则的值是________ ． 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________． 12. 关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 13. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为，则的值为__________． 14. 如图，是平行四边形边中点，与交于点，连接，已知，．下列命题：①是的重心；②与相似；③；④平行四边形的面积为72．其中正确的序号为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程． （1） （2） 17. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 18. 已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （3）在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 20. 松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 21. 我们有时会碰上形如的式子，其实我们可以将其进一步分母有理化．形如的式子还可以用以下方法化简：．参照式的化简方法解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）连接，求证：； （2）若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材中的部分内容． 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，相交于点G，求证：， 证明：连接． 23. 1. 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线、交于点O，E为边的中点，、交于点F． 24. 2. 如图②，若为正方形，且，则的长为______． 25. 3. 如图③，连接交于点G，若四边形的面积为2，则的面积为______． 26. 如图，在四边形中，．点从点出发，沿向点匀速运动，同时点从点出发，沿向点匀速运动，运动速度均为，当其中一点到达终点时，两点都停止运动、设运动时间为． （1）与是___________（“相似”或“不相似”）图形，___________； （2）为何值时，以为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春北湖学校2026-2027学年度九年级上学期 数学学科试卷 满分：120分 时长：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须非负，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数， 得． 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和二次根式的性质．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并．根据二次根式的加减运算法则和二次根式性质进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，的被开方数不一样，不能合并，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 3. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程的一个实数根为0，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得到关于的方程，再解关于的方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 故选：B． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D． 6. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 7. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定． 【详解】解：①中的三角形的三边分别是：2，，， ②中的三角形的三边分别是：3，，， ③中的三角形的三边分别是：，2，， ④中的三角形的三边分别是：3，，， ①与③中的三角形的三边的比为：， ①与③相似． 故选：C． 【点睛】此题主要考查勾股定理，相似三角形的判定方法，利用勾股定理求出三角形三边长是解题的关键． 8. 如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为（ ）． A. 10 B. 12 C. 13 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，可证明，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 设，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得，即， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 10. 若，则的值是________ ． 【答案】4 【解析】 【详解】解：设， ∴， ∴． 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可． 【详解】解：， 又最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3 ． 12. 关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，可得根的判别式小于0，据此列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得． 13. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30-2x）（20-x）=6×78，解之即可． 【详解】解：设道路的宽为xm，由题意得： （30-2x）（20-x）=6×78， 整理得：（x-2）（x-33）=0， 解得x=2或x=33（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 14. 如图，是平行四边形边中点，与交于点，连接，已知，．下列命题：①是的重心；②与相似；③；④平行四边形的面积为72．其中正确的序号为___________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】①设与交于点，可得到在中，为边上的中线，为边上的中线； ②在上取一点，使，连接，，，可求得，，进而可求得，，证得为直角三角形，证明可得； ③可证得； ④先求得，结合，可求得结论． 【详解】解：①设与交于点，如图1所示． ∵四边形为平行四边形， ∴，． 在中，为边上的中线， ∵点是的中点， ∴为边上的中线． ∴点是的重心． 故命题①正确． ②在上取一点，使，连接，，，如图2所示． ∵四边形为平行四边形，，，，点是的中点， ∴，，，． ∴四边形为平行四边形． ∴，， 即． ∴，即， ∴为的中位线． ∴． ∴，． ∴，． ∴． 在中，，， ∴． ∴为直角三角形，即． 在中，由勾股定理得：． 在中，，． ∵， ∴不是直角三角形． ∴与不相似． 故命题②不正确． ③在中，，， 由勾股定理得：， ∴． 故命题③不正确． ④∵，，， ∴． ∴． 故命题④正确． 综上所述：正确的命题是①④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质、二次根式的除法进行计算，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式乘除法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 16. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接开平方，注意正、负两个平方根； （2）用因式分解法（十字相乘）． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 17. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 18. 已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （3）在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 20. 松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】（1）； （2）万人次． 【解析】 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． 【小问2详解】 解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 21. 我们有时会碰上形如的式子，其实我们可以将其进一步分母有理化．形如的式子还可以用以下方法化简：．参照式的化简方法解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】 【分析】（1）参照题干所给方法进行化简即可得； （2）先参照题干所给方法进行化简各式子，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题关键． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）连接，求证：； （2）若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用两边对应成比例及其夹角相等证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材中的部分内容． 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，相交于点G，求证：， 证明：连接． 23. 1. 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线、交于点O，E为边的中点，、交于点F． 24. 2. 如图②，若为正方形，且，则的长为______． 25. 3. 如图③，连接交于点G，若四边形的面积为2，则的面积为______． 【答案】23. 证明：连接，如图①， ∵在中，D，E分别是边，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 24. 25. 【解析】 【分析】（1）证明为的中位线，得出，，从而可得，由相似三角形的性质即可得出结果 （2）由正方形的性质可得，，，证明，由相似三角形的性质得出，从而得出，求出的长即可得出结果； （3）连接，由平行四边形的性质可得，由中位线的性质可得，，证明，得出，同理可得，由和的高相同，和的高相同，得出，，结合图形求出，即可得出结果 【23题详解】 略； 【24题详解】 解：∵四边形为正方形，对角线、交于点O，E为边的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴； 【25题详解】 解：如图，连接， ∵在中，对角线、交于点O，E为边的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， 同理可得为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵和的高相同，和的高相同， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 26. 如图，在四边形中，．点从点出发，沿向点匀速运动，同时点从点出发，沿向点匀速运动，运动速度均为，当其中一点到达终点时，两点都停止运动、设运动时间为． （1）与是___________（“相似”或“不相似”）图形，___________； （2）为何值时，以为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由 【答案】（1）相似；25 （2）或 （3）存在， （4）存在， 【解析】 【分析】（1）根据两角相等证明相似即可，再由相似三角形的对应边成比例以及勾股定理求解； （2）分或△两种情况讨论求解； （3）作于H，根据四边形的面积，列出方程解方程即可； （4）利用，得，化简得一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵ ∴， 当时， ，即， 解得； 当时， ，即， 解得； 综上，或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 解：存在， ∵ ∴， 过点Q作于点H， 则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积， 整理得， 解得 (舍去)， ∴当时，四边形的面积等于； 【小问4详解】 解：存在， 过点Q作于点H，由（3）知，， 则， 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即， 解得， 存在，使． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $