第1讲 集合·培优讲义（知识梳理+典例+练习）-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

第1讲·集合·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解集合与元素的概念，掌握元素与集合的关系及常见数集符号 · 掌握列举法、描述法表示集合，能判断元素是否属于集合 · 理解子集、真子集、集合相等的概念，会求有限集的子集个数 · 掌握交集、并集、补集的运算，能借助Venn图与数轴解决集合运算问题 · 理解充分条件、必要条件与充要条件，能根据集合间关系求参数的取值范围 📚 知识梳理 ☆ 1.集合的概念与表示 集合：把一些能够确定的、不同的对象组成的整体称为集合，组成集合的对象称为元素，元素与集合的关系是「属于∈」或「不属于∉」 常用数集：自然数集N、正整数集N*（或N+）、整数集Z、有理数集Q、实数集R 表示方法：列举法（把元素一一列举）、描述法（用集合中元素的共同特征描述），还有区间、图示法等 集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，互异性是解题的常见隐含条件 概念辨析例题：下列各组对象能否组成集合？①接近0的数；②方程x2-1=0的实数根；③某班身高较高的同学。 答案：①不能；②能（{-1，1}）；③不能 解析：「接近0」和「身高较高」没有明确界限，不满足确定性；「方程x2-1=0的实数根」是确定的{-1，1}，满足集合三要素。 ☆ 2.集合间的基本关系 子集：若集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则A⊆B；真子集：A⊆B且A≠B，记作A⊂B 集合相等：A⊆B且B⊆A，则A=B；与两个集合相等等价的常见结论是元素完全对应相同 空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；含n个元素的集合有2n个子集、2n-1个真子集、2n-2个非空真子集 包含关系与元素关系不同：元素用「∈」，集合与集合之间用「⊆」「⊂」「=」 概念辨析例题：已知集合A={1，2}，B={x|x⊆A}，则集合B中有几个元素？A与B是什么关系？ 答案：B={∅，{1}，{2}，{1，2}}，有4个元素；A∈B（A是B的一个元素） 解析：x⊆A表示x是A的子集，A的子集共有22=4个，故B是A的全部子集组成的集合，A本身是B的元素。 ☆ 3.集合的基本运算 交集A∩B={x|x∈A且x∈B}：两个集合公共元素组成的集合 并集A∪B={x|x∈A或x∈B}：两个集合所有元素组成的集合，重复元素只取一次 补集：设全集为U，集合A⊆U，则∁UA={x|x∈U且x∉A}；补集的补集是原集合 运算性质：A∩A=A，A∪∅=A，A∩∁UA=∅，A∪∁UA=U；借助Venn图与数轴可直观求解含不等式的集合运算 概念辨析例题：已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3}，求A∩B、A∪B、∁U(A∪B)。 答案：A∩B={3}，A∪B={1，2，3}，∁U(A∪B)={4，5} 解析：先按定义求交集与并集，再在全集U中去掉A∪B的元素即得补集；注意补集的运算对象是并集整体。 ☆ 4.充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充要条件 用集合理解：设p对应的集合为A，q对应的集合为B，A⊆B时p是q的充分条件，B⊆A时p是q的必要条件 A⊂B（真包含）时p是q的充分不必要条件；A=B时互为充要条件 求参数范围问题常转化为集合的包含关系，注意端点值能否取等需单独检验 概念辨析例题：已知p：x∈A，A={x|1≤x≤3}，q：x∈B，B={x|x≥a}。若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围。 答案：a≤1 解析：p是q的充分不必要条件等价于A⊂B，即[1，3]是[a，+∞)的真子集，只需a≤1；a=1时A⊆B且A≠B，仍为充分不必要，故a=1可取。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 集合 确定的、不同的对象组成的整体 元素具有确定性、互异性、无序性 元素与集合 a∈A或a∉A 元素与集合用∈/∉，集合与集合用⊆/⊂ 子集/真子集 A⊆B；A⊂B（A⊆B且A≠B） 空集是任何集合的子集 交集 A∩B={x|x∈A且x∈B} 公共元素，注意是否含端点 并集 A∪B={x|x∈A或x∈B} 重复元素只取一次 补集 ∁UA={x|x∈U且x∉A} 必须在全集U内讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】集合的概念与元素性质（第1-8题） · 判断元素与集合的关系用符号「∈」「∉」，注意元素与集合不能混淆 · 集合三要素中互异性最易被忽略：解出参数后必须代回集合检验元素是否重复 · 描述法表示集合要写清代表元素与共同特征，列举法注意元素之间用逗号分隔 · 含参元素问题：利用元素特征列方程或不等式后，逐一回代检验 1．（19-20高一上·北京海淀·阶段检测）已知集合，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】设，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】设，，， A选项，， 显然，故，A正确； B选项，， 显然，所以，B正确； C选项，， 显然，所以，C正确； D选项，， 显然，所以，D错误. 故选：D 2．（2025·四川广安·模拟预测）设集合，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算 【分析】根据和两种情况判断得出. 【详解】分两种情况： 当时，；当时， 故或 故选：B 3．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的性质，以及一元二次方程的性质逐一判断即可. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的非零数，且是“完美集”， 设， 根据一元二次方程根与系数的关系可知， 和可以看成一元二次方程的两个不相等实数根， 由，解得或， 当时，，所以均为正数， 所以、至少有一个大于2， 当时，，所以一个正数，一个负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值，因此、至少有一个大于2不一定成立，所以②不正确； 对于③中，由②知，一元二次方程， 当满足或时，当t取不同的值时，对应的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，当时，不妨设A中， 当时，由， 当时，由，显然符合， 因此“完美集”A不只一个，所以④不正确. 因此结论中是真命题的个数为,所以选项B是正确的. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为___________ 【答案】4 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个. 故答案为：4 5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 【答案】3 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】利用定义作集合运算，注意元素的互异性即可. 【详解】因为集合，， 根据定义可得， 所以集合中包含3个元素， 故答案为：3 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 【答案】0或1或2 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】分类讨论求得集合，利用集合所有元素之和为3，可求得的值. 【详解】由，可得， 当且时，方程的根为，，， 根据题意可得，解得， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 综上所述：实数或1或2. 故答案为：0或1或2. 7．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知集合，若，则______ 【答案】2 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】根据条件先判断出，然后再对进行分类讨论，结合集合中元素的互异性求解出结果. 【详解】由，得，则或， 当时，得，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 当时，解得或， 若，则，，合题意； 若，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 综上，. 故答案为：2. 8．（24-25高一上·湖北·阶段检测）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为________． 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】对的非空子集进行分类讨论，即分满足和满足讨论即可得解. 【详解】可设的非空子集为， 又把这样的子集分为两类： （1）一类满足，这样的非空子集的“均值”的算术平均数为； （2）另一类满足，此时可把两个非空集合与 配对， 易知这是两个不同的集合，且都是的非空子集， 它们的最大数与最小数之和是， 所以此时非空子集的“均值”的算术平均数为. 综上，的所有非空子集的“均值”的算术平均数为， 故答案为： 【考点2】集合间的关系·子集与集合相等（第9-16题） · 判断集合关系先化简集合，再看元素包含情况，常用列举法或数轴比较 · 求子集个数：含n个元素的集合有2n个子集、2n-1个真子集 · 集合相等：两集合元素完全相同；含参时列方程组解参数后检验互异性 · A⊆B问题的通法：先讨论A=∅，再讨论A≠∅（空集优先原则） 9．（24-25高三下·江苏南通·阶段检测）设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由，可得，即可得答案. 【详解】因，，由集合互异性可得. 则. 故选：A 10．（23-24高一上·湖南株洲·阶段检测）下列表示正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则．（5） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算 【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、交集、子集等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】空集没有元素，所以正确，也即（1）正确； 空集是任何集合的子集，所以正确，也即（2）正确； 由解得，所以，所以（3）错误； 若，即是的子集，所以，所以（4）正确； 根据元素与集合的关系可知正确，也即（5）正确. 所以正确的个数是. 故选：A 11．（23-24高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 12．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）对集合的每一个非空子集定义“交替和”如下：把子集中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是等等．则的所有非空子集的“交替和”的总和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】将的所有子集分为两类，含2026和不含2026的，根据子集的个数公式，先设不含2026的所有子集的交替和之和，进而求解含2026的所有子集交替和之和，即可求解. 【详解】的非空子集分为两类：一类是含2026的子集，一类是不含2026的子集， 若集合是不含2026的子集，其元素从中任意选取，则共有个这样的子集， 对于中的一个子集，的交替和记为,（规定空集的交替和为0）， 则设的交替和之和记为， 若集合是含2026的子集，则，则的子集共有个， 对应于中的一个子集，由于中最大的元素是2026， 则的交替和,因此的交替和之和为， 因此的交替和之和为. 13．（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）集合有________个子集. 【答案】4 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据子集的定义计算即可. 【详解】集合有四个子集. 故答案为：4 14．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则______． 【答案】或或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、求集合的子集（真子集） 【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可 【详解】由于，所以或， 解得：或； 当时，不满足元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意. 又因为集合是集合的子集且有两个元素， 所以或或. 故答案为：或或. 15．（24-25高一上·上海·期中）已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是________ 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据条件得，再利用子集的个数得，即可求解. 【详解】因为，又有且仅有个子集， 所以有两个元素，则， 若时，，此时满足题意， 若，则，此时违反互异性， 所以， 故答案为： 16．（23-24高一上·山东青岛·期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的非空子集个数为________； 【答案】31 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、分式不等式 【详解】， 时，，， 时，不等式化为，或，∴， 所以或， 又， 所以，它的子集有32个，非空子集有31个， 故答案为：31. 【考点3】集合的基本运算·交并补（第17-24题） · 交并补按定义运算，先化简（解不等式、求定义域）再求交并补 · 含不等式（一元二次、分式、绝对值、指数）的集合用数轴直观求解 · 注意端点：不等式取到等号时数轴上用实心点，边界需反复检验 · 分式不等式先移项通分化为整式不等式，注意分母不为0 17．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】通过一元二次不等式确定集合，再结合交集运算即可求解. 【详解】由 ，解得 ，即 ， 又， 因此 . 18．（23-24高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据二次不等式的解法与交集的定义求解即可. 【详解】，. 故 . 故选：A 19．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】化简集合，根据并集的定义求解. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 20．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】求出集合，利用交集的运算使用数轴法求出. 【详解】，， ，， 即. 故选：D. 21．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求函数定义域得集合，再求的补集，最后求的补集与的交集得结果. 【详解】因为， 所以, 因此图中阴影部分表示的集合为. 故选：C 22．（23-24高一上·新疆·阶段检测），，则______. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 则. 故答案为： 23．（25-26高一上·上海·阶段检测）全集，集合或，则 _____ 【答案】或 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】利用集合的交并补运算的定义求解即得. 【详解】因或， 则，或. 故答案为：或. 24．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，集合，则__________. 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据集合补集的概念，求出结果即可. 【详解】由题意知. 故答案为：. 【考点4】交并补混合运算·Venn图与容斥原理（第25-31题） · 混合运算按括号顺序进行，先算括号内再算括号外 · Venn图：把全集划分为互不相交的几块区域，逐块标注元素个数 · 容斥原理：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合推广到|A∪B∪C| · 已知部分运算结果反求集合时，用Venn图或分类讨论还原各区域 25．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】结合图形可得阴影部分表示的集合，然后结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得，所以， 阴影部分表示的集合为， 且或，， 则. 故选：C 26．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）学校统计某班55名学生参加科学、艺术和体育三个兴趣小组的情况，其中有25名学生参加了科学小组，有24名学生参加了艺术小组，有23名学生参加了体育小组，有28名学生只参加了1个兴趣小组，有16名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没有参加的学生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】画出韦恩图，根据题意列出方程，求出三个小组都参加的人数即可得解. 【详解】设三个小组都参加的人数为，只参加科学、艺术的人数为，只参加艺术、体育的人数 为，只参加体育、科学的人数为，作出韦恩图，如图，    依题意，， 则，由于有16名学生只参加了2个兴趣小组，得， 于是，即三个兴趣小组都参加的有4人，因此参加兴趣小组的一共有人， 所以不参加所有兴趣小组的有人. 故选：C 27．（2024·上海宝山·一模）集合，则__________. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，则 . 故答案为：. 28．（25-26高三上·重庆·期中）已知全集，集合，，则__________. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据集合的补集、交集运算，即可求解. 【详解】由题意得全集，集合，则， 又集合，故. 故答案为： 29．（24-25高一上·重庆·期中）国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有_______人． 【答案】 【知识点】容斥原理的应用 【分析】设只想报名物理选修课的同学有人，求得同时想报名语文和物理选修课的有人，只想报名语文选修课的同学有人，只想报名数学选修课的同学有人，由题意画出Venn图，再由该班共有人数，列出方程，即可求解. 【详解】设只想报名物理选修课的同学有人， 因为有人想报名物理类选修课， 所以同时想报名语文和物理选修课的有人， 因为有21人想报名语文类选修课， 则只想报名语文选修课的同学有人， 因为有29人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人， 同时想报名数学和物理选修课的有15人，则只想报名数学选修课的同学有人， 又没有三类选修课都想报名的同学， 由题意画出Venn图，如图所示：    因为该班共45名同学， 所以，解得， 所以只想报名物理选修课的同学有人. 故答案为：. 30．（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）根据补集、并集的定义求解即可； （2）根据推出，再求的范围即可. 【详解】（1）因为集合 ，由 ，解得 ， 所以集合 ， 可得当时，集合 ， 又因为全集 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以. （2）因为 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以 ， 即实数的取值范围为 ． 31．（24-25高一上·广东汕头·阶段检测）已知集合 (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围， 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）代入化简集合B，再利用集合的交并补运算即可得解； （2）分类讨论与两种情况，利用集合交集的结果得到关于的不等式（组）解之即可得解. 【详解】（1）当时，， 又，， 所以或； （2）因为，， 当时，则，得； 当时，则或，无解， 综上，. 【考点5】根据集合关系与运算求参数（第32-43题） · A⊆B求参：先A=∅后A≠∅分类，注意端点等号能否取到 · A∩B=∅或A∩B≠∅：转化为不等式组的解集关系，数轴辅助 · 充分/必要条件求参：把条件集合化，转化为包含关系求范围 · 求出参数后务必代回检验是否满足原集合的互异性与题意 32．（24-25高二下·重庆·阶段检测）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】由得或．又，所以，故． 33．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件， 设集合 或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为： 34．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集________；设，若，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、分式不等式 【分析】由集合的运算得到，再分、、三种情况讨论即可. 【详解】，解得或， 所以． 因为，所以 若，，符合题意； 若，，则，，所以； 若，，则，，所以； 综上，． 35．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，函数，若对任意的实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【详解】由函数， 当时，，即， 当时，，即，所以可知的值域为， ， 由题意可知，函数在的值域应是函数值域的子集， 故当时，解得， 当时，，此时无解， 当时，，此时无解， 综上综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 36．（23-24高一上·江苏连云港·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、补集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）利用集合交、补运算求集合即可； （2）由充分不必要关系得，讨论、分别求参数范围，即可得结果. 【详解】（1）由题设，或， 所以. （2）由题设， 若，则，满足题设； 若，则，满足题设； 综上，. 37．（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再根据交集、并集的定义计算可得； （2）依题意可得真包含于，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 当时，， 所以，； （2）因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 则，解得， 即的取值范围为. 38．（24-25高一上·河北廊坊·阶段检测）（1）已知集合，求实数a的值． （2）已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）4；（2） 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由题意可得且，则且，且，解方程即可得到所求值； （2）由，得，由此列出不等式组，能求出实数的取值范围． 【详解】（1），， 可得且，则且，且， 解得，即实数的值为4． （2）集合，，， ， ，解得． 实数的取值范围． 39．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知非空集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）根据集合的补集与交集运算即可求解； （2）将转化为是的子集即可求解. 【详解】（1）当时，，或，或， 则或. （2）若，则集合是集合的子集，且，则有， 解得，故实数的取值范围为． 40．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再由并集的定义计算即得； （2）根据条件推得，列出不等式组，求解即得实数m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 故； （2）由， 因为，所以不能为， 则有，解得. 故实数m的取值范围为. 41．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，二次函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)设不等式的解集为A，又知集合．若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、利用函数单调性求最值或值域、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）分和两种情况，结合二次函数性质求最值即可； （2）由题意，求出方程的两根，讨论的正负，确定二次不等式的解集A的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案. 【详解】（1）因为，可知二次函数的图象开口向上，且对称轴为， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述：. （2）对于二次方程， 因为，且， 可知方程有两根为，且， 当时，解集，且， 可知等价于，即，解得； 当时，解集，且， 可知等价于，即，解得； 综上，实数的取值范围为. 42．（24-25高二下·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 【答案】(1) 集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． (2) 集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义 【分析】（1）根据可“可分集合”的定义，当去掉2时，即可判断； （2）根据可“可分集合”的定义，即可逐一论证去掉任何一个元素均满足 “可分集合”的定义求解. 【详解】（1）略 （2）略 43．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）确定集合，求得集合及其补集，根据交集运算即可求得答案； （2）根据“”是“”的充分不必要条件，可得，从而可得关于m的不等式，求得答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以， 若，，， 所以． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 【考点6】新定义集合与综合应用（第44-49题） · 先读懂新定义：明确新运算、新关系的规则与适用范围 · 把新定义转化为已知的集合运算或性质，寻找等价转化途径 · 抽象问题先取特例（小集合）实验，归纳规律后再推广证明 · 综合题注意分段讨论、分类计数，答案要完整不重不漏 44．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设集合，，，求： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据并集的定义，即可求得答案. （2）先求得，根据并集的定义，即可求得答案. （3）先求得，根据交集的定义，即可求得答案. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，所以， 所以. （3）因为，所以或， 所以. 45．（22-23高一上·河南郑州·阶段检测）已知集合 (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）求出，根据并集概念求出答案； （2）分和两种情况，得到答案. 【详解】（1）时，， 因为，所以方程无实数根， 所以． 故． （2）当时，，得，此时； 当时，，得，此时． 故的取值集合为． 46．（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解. （2）由得列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 47．（23-24高一上·四川成都·期中）已知命题满足，命题满足． (1)若存在，p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、已知命题的真假求参数、根据必要不充分条件求参数、利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）根据题意，解不等式，结合不等式性质，可得答案； （2）根据必要不充分条件，将题意写成集合，利用分类讨论思想，可得答案. 【详解】（1）当时，由，得，所以． 而，，∴， 故实数a的取值范围是． （2）设集合，． 若p是q的必要不充分条件，则真包含于． 当时，，满足题意； 当时，，且，解得； 当时，，且，解得． 综上所述，实数a的取值范围是． 48．（23-24高一上·河南开封·期末）对于集合，定义且.例如:，则有.已知集合，，其中. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式、集合新定义 【分析】（1）根据新定义集合求得. （2）由列不等式来求得的取值范围，进而求得时的取值范围. 【详解】（1）若，则， 而，所以. （2）由，由于， 所以解得，所以， 若，则，所以，解得， 所以时，的取值范围是. 49．（25-26高二下·北京朝阳·期末）设定义在上的函数，对于正整数，令，（），记集合．对于正整数，若存在正整数，使得，则称是“可达数”． (1)写出集合； (2)若为正奇数，求证：是“可达数”； (3)证明：对任意，不是“可达数”，是“可达数”． 【答案】(1) (2)若是正奇数， 因为 所以是3的倍数． 又因为是偶数，是奇数，所以是奇数． 又，令， 则． 于是，即是“可达数”． (3)首先证明对任意，不是“可达数”． 假设存在，使得是“可达数”， 则存在正整数，使得， 即数列中出现3的倍数，其中，． ①当是奇数时，． 因为是3的倍数，所以不是3的倍数． ②当是偶数时，． 若是3的倍数，则也是3的倍数． 若不是3的倍数，则也不是3的倍数． 所以，若是奇数，则当时，不是3的倍数． 因此若存在使得是3的倍数，则都是偶数． 故． 因此，与矛盾． 所以，对任意，不是“可达数”． 接着证明对任意，是“可达数”． 若， 令，则是偶数， 所以． 所以，对任意，是“可达数”． 【知识点】集合新定义、函数新定义 【分析】（1）根据定义直接计算即可； （2）首先计算得是3的倍数，再计算即可； （3）分是奇数和是偶数讨论即可. 【详解】（1）当时，， 当时，．所以． （2） 略 （3） 略 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记集合三要素（确定性、互异性、无序性），含参问题解后必须回代检验 · 区分元素与集合的关系「∈」和集合间的关系「⊆」「⊂」「=」，符号不混用 · 求子集个数直接用公式2n，空集优先讨论是解决A⊆B类问题的关键 · 交并补运算先化简集合再运算，含不等式用数轴，抽象集合用Venn图 · 充分必要条件的参数问题转化为集合包含关系，端点等号单独检验 【作业1】．（23-24高一上·贵州遵义·阶段检测）已知全集R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】先化简集合M，N，再根据集合的运算得解. 【详解】由，即，解得，即集合，或， 又等价于，解得，即集合， . 故选：C. 【作业2】．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用并集的定义直接求解即可. 【详解】集合，，所以. 故选：C 【作业3】．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，先求得集合，结合集合并集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据并集的定义及运算，可得或. 故选：C. 【作业4】．（2026·浙江金华·二模）已知集合， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【详解】因为，， 所以 . 【作业5】．（22-23高一上·河北保定·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】根据交集的概念可知 。 故选：C 【作业6】．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则______． 【答案】3 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 【作业7】．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】结合充分条件性质，分与进行讨论即可得. 【详解】若，即时，， 此时是的充分条件； 若，即时， 由是的充分条件，则或， 分别解得或，故，又，无解； 综上所述：. 故答案为：. 【作业8】．（23-24高二下·安徽合肥·期末）全集，则__________. 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据补集运算先求，然后再求交集可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【作业9】．（23-24高一上·上海闵行·期中）集合，集合，则______ 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故答案为： 【作业10】．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）已知集合，，则_______. 【答案】/ 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】化简集合，根据集合交集运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 【作业11】．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有______人. 【答案】 【知识点】容斥原理的应用 【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加游泳和球类比赛的有人. 故答案为：. 【作业12】．（25-26高一上·山东菏泽·期中）集合，且，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】解一元二次不等式得集合A，通过分类讨论解含参不等式得集合B，根据可求得的取值范围. 【详解】由得，解得， 由得 当时，，符合题意； 当时，或， 若，∴ 解得， 所以，由，得 当时，或， 若，∴ ，解得， 所以，由，得 综上，实数的取值范围是 故答案为：. 【作业13】．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为______． 【答案】17 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得 ， 即， 解得． 故答案为：17 【作业14】．（23-24高一上·山东日照·阶段检测）已知集合，. (1)命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. (2)命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式 【分析】（1）先解分式不等式化简集合A，再由条件得到，利用数轴法即可得解； （2）先由条件得到B为非空集合且，列不等式组求解即可. 【详解】（1）由得：，且，即 因为是的必要不充分条件，，则不为空集， ，解得：.综上，的取值范围为. （2），使得，为非空集合且， 当时，，所以，的取值范围为. 【作业15】．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知全集，集合或，，. (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）求出的补集，根据必要条件转化为集合包含关系；再利用区间包含列不等式组，求出范围； （2）根据，分空集、非空集两类讨论，最后合并两种情况得到的取值范围. 【详解】（1）已知集合或，因此. 由“是的必要条件”，可得：若则必有，即. 集合， 则满足， 解得. （2）当，即，解得， 当,此时，要让中没有小于或大于的元素， 需满足：,解得，结合，得， 综上可得. 【作业16】．（25-26高一上·河南·期中）已知集合 (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、补集、交集的定义求解即可； （2）由，得，进而结合包含关系分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由， 当时，，则或， 则，. （2）由，得， 当时，，即； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为或． 【作业17】．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合 (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在， 若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、根据充要条件求参数 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲·集合·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解集合与元素的概念，掌握元素与集合的关系及常见数集符号 · 掌握列举法、描述法表示集合，能判断元素是否属于集合 · 理解子集、真子集、集合相等的概念，会求有限集的子集个数 · 掌握交集、并集、补集的运算，能借助Venn图与数轴解决集合运算问题 · 理解充分条件、必要条件与充要条件，能根据集合间关系求参数的取值范围 📚 知识梳理 ☆ 1.集合的概念与表示 集合：把一些能够确定的、不同的对象组成的整体称为集合，组成集合的对象称为元素，元素与集合的关系是「属于∈」或「不属于∉」 常用数集：自然数集N、正整数集N*（或N+）、整数集Z、有理数集Q、实数集R 表示方法：列举法（把元素一一列举）、描述法（用集合中元素的共同特征描述），还有区间、图示法等 集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，互异性是解题的常见隐含条件 概念辨析例题：下列各组对象能否组成集合？①接近0的数；②方程x2-1=0的实数根；③某班身高较高的同学。 答案：①不能；②能（{-1，1}）；③不能 解析：「接近0」和「身高较高」没有明确界限，不满足确定性；「方程x2-1=0的实数根」是确定的{-1，1}，满足集合三要素。 ☆ 2.集合间的基本关系 子集：若集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则A⊆B；真子集：A⊆B且A≠B，记作A⊂B 集合相等：A⊆B且B⊆A，则A=B；与两个集合相等等价的常见结论是元素完全对应相同 空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；含n个元素的集合有2n个子集、2n-1个真子集、2n-2个非空真子集 包含关系与元素关系不同：元素用「∈」，集合与集合之间用「⊆」「⊂」「=」 概念辨析例题：已知集合A={1，2}，B={x|x⊆A}，则集合B中有几个元素？A与B是什么关系？ 答案：B={∅，{1}，{2}，{1，2}}，有4个元素；A∈B（A是B的一个元素） 解析：x⊆A表示x是A的子集，A的子集共有22=4个，故B是A的全部子集组成的集合，A本身是B的元素。 ☆ 3.集合的基本运算 交集A∩B={x|x∈A且x∈B}：两个集合公共元素组成的集合 并集A∪B={x|x∈A或x∈B}：两个集合所有元素组成的集合，重复元素只取一次 补集：设全集为U，集合A⊆U，则∁UA={x|x∈U且x∉A}；补集的补集是原集合 运算性质：A∩A=A，A∪∅=A，A∩∁UA=∅，A∪∁UA=U；借助Venn图与数轴可直观求解含不等式的集合运算 概念辨析例题：已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3}，求A∩B、A∪B、∁U(A∪B)。 答案：A∩B={3}，A∪B={1，2，3}，∁U(A∪B)={4，5} 解析：先按定义求交集与并集，再在全集U中去掉A∪B的元素即得补集；注意补集的运算对象是并集整体。 ☆ 4.充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充要条件 用集合理解：设p对应的集合为A，q对应的集合为B，A⊆B时p是q的充分条件，B⊆A时p是q的必要条件 A⊂B（真包含）时p是q的充分不必要条件；A=B时互为充要条件 求参数范围问题常转化为集合的包含关系，注意端点值能否取等需单独检验 概念辨析例题：已知p：x∈A，A={x|1≤x≤3}，q：x∈B，B={x|x≥a}。若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围。 答案：a≤1 解析：p是q的充分不必要条件等价于A⊂B，即[1，3]是[a，+∞)的真子集，只需a≤1；a=1时A⊆B且A≠B，仍为充分不必要，故a=1可取。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 集合 确定的、不同的对象组成的整体 元素具有确定性、互异性、无序性 元素与集合 a∈A或a∉A 元素与集合用∈/∉，集合与集合用⊆/⊂ 子集/真子集 A⊆B；A⊂B（A⊆B且A≠B） 空集是任何集合的子集 交集 A∩B={x|x∈A且x∈B} 公共元素，注意是否含端点 并集 A∪B={x|x∈A或x∈B} 重复元素只取一次 补集 ∁UA={x|x∈U且x∉A} 必须在全集U内讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】集合的概念与元素性质（第1-8题） · 判断元素与集合的关系用符号「∈」「∉」，注意元素与集合不能混淆 · 集合三要素中互异性最易被忽略：解出参数后必须代回集合检验元素是否重复 · 描述法表示集合要写清代表元素与共同特征，列举法注意元素之间用逗号分隔 · 含参元素问题：利用元素特征列方程或不等式后，逐一回代检验 1．（19-20高一上·北京海淀·阶段检测）已知集合，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安·模拟预测）设集合，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 3．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为___________ 5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 7．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知集合，若，则______ 8．（24-25高一上·湖北·阶段检测）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为________． 【考点2】集合间的关系·子集与集合相等（第9-16题） · 判断集合关系先化简集合，再看元素包含情况，常用列举法或数轴比较 · 求子集个数：含n个元素的集合有2n个子集、2n-1个真子集 · 集合相等：两集合元素完全相同；含参时列方程组解参数后检验互异性 · A⊆B问题的通法：先讨论A=∅，再讨论A≠∅（空集优先原则） 9．（24-25高三下·江苏南通·阶段检测）设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 10．（23-24高一上·湖南株洲·阶段检测）下列表示正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则．（5） A．4 B．3 C．2 D．1 11．（23-24高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 12．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）对集合的每一个非空子集定义“交替和”如下：把子集中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是等等．则的所有非空子集的“交替和”的总和是（     ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）集合有________个子集. 14．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则______． 15．（24-25高一上·上海·期中）已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是________ 16．（23-24高一上·山东青岛·期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的非空子集个数为________； 【考点3】集合的基本运算·交并补（第17-24题） · 交并补按定义运算，先化简（解不等式、求定义域）再求交并补 · 含不等式（一元二次、分式、绝对值、指数）的集合用数轴直观求解 · 注意端点：不等式取到等号时数轴上用实心点，边界需反复检验 · 分式不等式先移项通分化为整式不等式，注意分母不为0 17．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·新疆·阶段检测），，则______. 23．（25-26高一上·上海·阶段检测）全集，集合或，则 _____ 24．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，集合，则__________. 【考点4】交并补混合运算·Venn图与容斥原理（第25-31题） · 混合运算按括号顺序进行，先算括号内再算括号外 · Venn图：把全集划分为互不相交的几块区域，逐块标注元素个数 · 容斥原理：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合推广到|A∪B∪C| · 已知部分运算结果反求集合时，用Venn图或分类讨论还原各区域 25．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）学校统计某班55名学生参加科学、艺术和体育三个兴趣小组的情况，其中有25名学生参加了科学小组，有24名学生参加了艺术小组，有23名学生参加了体育小组，有28名学生只参加了1个兴趣小组，有16名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没有参加的学生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 27．（2024·上海宝山·一模）集合，则__________. 28．（25-26高三上·重庆·期中）已知全集，集合，，则__________. 29．（24-25高一上·重庆·期中）国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有_______人． 30．（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 31．（24-25高一上·广东汕头·阶段检测）已知集合 (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围， 【考点5】根据集合关系与运算求参数（第32-43题） · A⊆B求参：先A=∅后A≠∅分类，注意端点等号能否取到 · A∩B=∅或A∩B≠∅：转化为不等式组的解集关系，数轴辅助 · 充分/必要条件求参：把条件集合化，转化为包含关系求范围 · 求出参数后务必代回检验是否满足原集合的互异性与题意 32．（24-25高二下·重庆·阶段检测）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是______. 34．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集________；设，若，则实数a的取值范围为________． 35．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，函数，若对任意的实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 36．（23-24高一上·江苏连云港·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 37．（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 38．（24-25高一上·河北廊坊·阶段检测）（1）已知集合，求实数a的值． （2）已知集合，，若，求实数m的取值范围． 39．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知非空集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 40．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 41．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，二次函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)设不等式的解集为A，又知集合．若，求a的取值范围． 42．（24-25高二下·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 43．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【考点6】新定义集合与综合应用（第44-49题） · 先读懂新定义：明确新运算、新关系的规则与适用范围 · 把新定义转化为已知的集合运算或性质，寻找等价转化途径 · 抽象问题先取特例（小集合）实验，归纳规律后再推广证明 · 综合题注意分段讨论、分类计数，答案要完整不重不漏 44．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设集合，，，求： (1)； (2)； (3) 45．（22-23高一上·河南郑州·阶段检测）已知集合 (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 46．（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 47．（23-24高一上·四川成都·期中）已知命题满足，命题满足． (1)若存在，p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 48．（23-24高一上·河南开封·期末）对于集合，定义且.例如:，则有.已知集合，，其中. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 49．（25-26高二下·北京朝阳·期末）设定义在上的函数，对于正整数，令，（），记集合．对于正整数，若存在正整数，使得，则称是“可达数”． (1)写出集合； (2)若为正奇数，求证：是“可达数”； (3)证明：对任意，不是“可达数”，是“可达数”． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记集合三要素（确定性、互异性、无序性），含参问题解后必须回代检验 · 区分元素与集合的关系「∈」和集合间的关系「⊆」「⊂」「=」，符号不混用 · 求子集个数直接用公式2n，空集优先讨论是解决A⊆B类问题的关键 · 交并补运算先化简集合再运算，含不等式用数轴，抽象集合用Venn图 · 充分必要条件的参数问题转化为集合包含关系，端点等号单独检验 【作业1】．（23-24高一上·贵州遵义·阶段检测）已知全集R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【作业4】．（2026·浙江金华·二模）已知集合， ，则（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（22-23高一上·河北保定·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则______． 【作业7】．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. 【作业8】．（23-24高二下·安徽合肥·期末）全集，则__________. 【作业9】．（23-24高一上·上海闵行·期中）集合，集合，则______ 【作业10】．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）已知集合，，则_______. 【作业11】．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有______人. 【作业12】．（25-26高一上·山东菏泽·期中）集合，且，则实数的取值范围是___________． 【作业13】．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为______． 【作业14】．（23-24高一上·山东日照·阶段检测）已知集合，. (1)命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. (2)命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【作业15】．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知全集，集合或，，. (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【作业16】．（25-26高一上·河南·期中）已知集合 (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【作业17】．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合 (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $