重难点04：集合与逻辑的七类综合题型讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高一数学集合与逻辑核心知识点，通过元素与集合关系、集合间关系、集合运算、Venn图应用、命题真假判断、充分必要条件分析及新定义综合七大题型，构建从基础理解到综合应用的递进式学习支架。 资料精选上海多所名校期中及阶段检测真题，题型分层设计，新定义题型（如“包容”性集合）培养数学眼光，命题与条件题提升数学思维逻辑性，配套图示辅助数学语言表达。课中助力教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺，强化综合解题能力。

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点04 集合与逻辑的七类综合题型 题型一、元素与集合的关系 1.（25-26上海市南洋模范中学高一上期中）由正数组成的集合具有如下性质:若且，则. （1）若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由； （2）试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由. 2.（25-26复旦大学附属中学高一上期中）已知集合． （1）求的值； （2）若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 3．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 4.（25-26上海市金山中学高一上期中）现有集合，集合 （1）判断中哪些元素属于集合B； （2）求证：若，则； （3）求证：若，则有且为奇数. 题型二、集合之间关系 5. （25-26上海市七宝中学高一上期中）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 6. 已知集合. (1)若，求实数的取值集合； (2)若的子集有两个，求实数的取值集合； (3)若且，求实数的取值集合. 7.（25-26上海市顾村中学高一上期中）设全集为，集合 （1）求集合和； （2）若，求实数的取值范围． 8. 已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型三、集合的运算 9.设全集，集合，， (1)求； (2)求． 10．设集合，，，，若，试求实数与集合． 11. 已知集合， (1)若，求，； (2)若，则实数a的取值范围. 12.已知全集为，集合，集合，，． （1）求； （2）若，且，求实数的取值范围． 题型四、利用Venn图求集合 13.已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 14.已知集合，，，    (1)若，求m的取值范围； (2)当时，求图示阴影部分对应的集合. 15. 设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 题型五、命题真假求参数 16.已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 17.设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 18.已知命题，，命题方程有两个不相等的正根． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 题型六、充分必要条件求参数 19.已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 20.已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 21.已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 22.已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 23.已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 题型七、新定义综合压轴 24. （25-26同济大学二附中高一上期中）已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性；（不需写出判断过程） （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合. 25.（25-26上海市 位育中学高一上期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质并说明理由； （2）若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 26. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. （1）判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； （2）题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； （3）若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. 1．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 2.已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 3．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 4.（25-26上海市金山中学高一上期中）已知集合，全集为. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 5.已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 6.设，，，. (1)求a、b的值及A、B； (2)求. 7.设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 8. 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 9. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 10. 设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 11．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证：． 12．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点04 集合与逻辑的七类综合题型 题型一、元素与集合的关系 1.（25-26上海市南洋模范中学高一上期中）由正数组成的集合具有如下性质:若且，则. （1）若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由； （2）试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由. 【答案】（1） （2）能，所有满足条件的集合为： 【解析】 【分析】（1）从已知元素和出发，利用集合性质逐步推导即可求解； （2）设，则由性质有，分和两种情况讨论，又由，进而求解. 【小问1详解】 由题意有：，且，所以， 又，所以， 由，所以， 由，所以， 所以； 【小问2详解】 设，由性质有， 所以或， 当时，所以， 因为，若，则，即， 若时，解得，与矛盾，不满足题意， 当时，则，由， 若时，所以，即，解得（舍去负根）， 即； 若时，，即, 综上所述，集合能有两个元素且， 所有满足条件的集合为：. 2.（25-26复旦大学附属中学高一上期中）已知集合． （1）求的值； （2）若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系来求解系数即可； （2）利用分类讨论，结合一元一次方程和一元二次方程思想来得出参数范围. 【小问1详解】 由可得：方程的两根为， 根据韦达定理有：所以有； 【小问2详解】 当时，，该集合满足至多只有一个元素， 当时，若A中至多只有一个元素，则满足， 因为所以， 综上可得取值范围是. 3．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 4.（25-26上海市金山中学高一上期中）现有集合，集合 （1）判断中哪些元素属于集合B； （2）求证：若，则； （3）求证：若，则有且为奇数. 【答案】（1）， （2） 当时，令，为整数， 则， 显然都是整数，因此， 当时，，则，所以. （3） 由， 得， 则都是整数，为整数， 因此，即， 由是整数，得是偶数，或都是奇数，则是奇数，是奇数， 所以且是奇数. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可. （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证. （3）根据给定条件可得，进而求出，再推理说明是奇数即可. 【小问1详解】 由，得； 由，得； 由没有倒数，得； 由，得， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 题型二、集合之间关系 5. （25-26上海市七宝中学高一上期中）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据，代入中方程求解即可； （2）分与两种情况讨论，根据包含关系求参数的解； （3）结合，及解得个数，分类讨论求解. 【解答过程】（1）时，， 由可得，解得. （2）当时，方程至少有一解. 当时，为空集，要使，则也为空集，即方程无解， 则，与矛盾，舍去； 当时，，若，则方程有且仅有一解为， 则，且，整理得方程， 解得，故，. （3）当时，为空集，必有； 当时，，若，若方程有且仅有一解为， 由上知，则，. 若方程有两解，则且， 解得且，且. 综上，当时，可以为任意实数；当时，. 6. 已知集合. (1)若，求实数的取值集合； (2)若的子集有两个，求实数的取值集合； (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 7.（25-26上海市顾村中学高一上期中）设全集为，集合 （1）求集合和； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒为正得出判别式小于0计算求解A，再应用绝对值不等式计算求解集合B； （2）应用集合间关系列式计算求解参数. 【小问1详解】 ，所以， 所以，所以， 所以； 集合； 【小问2详解】 因为， 所以或， 所以或， 所以实数的取值范围为或． 8. 已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】 （1）根据子集之间的关系列出不等式即可求解.（2）将转化成子集关系即可求解. (1) 因为，所以. 因为，且 所以 解得.   ； (2) 因为，，所以    解得.故的取值范围为. 题型三、集合的运算 9.设全集，集合，， (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）集合. 因为，所以. （2）因为集合，，所以, 所以或. 10．设集合，，，，若，试求实数与集合． 【分析】根据已知条件，结合交集、并集的定义，即可求解． 【解答】解：集合，，， 则，解得， 故，， ，， 故，3，． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 11. 已知集合， (1)若，求，； (2)若，则实数a的取值范围. 【答案】(1)A∩B＝； AB＝；(2) 【分析】（1）先化简集合，，再利用集合的交集和并集运算求解； （2）由，得到，分和求解. 【解析】（1）因为集合， 当时，集合， 所以，. （2），，分和两种情况； ①当时，则，解得： ，此时满足； ②当时，则，要使 成立， 则有，解得，所以， 综上可知，，所以实数a的取值范围为 12.已知全集为，集合，集合，，． （1）求； （2）若，且，求实数的取值范围． 【分析】（1）先求出，集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可． 【解答】解：（1），或， 所以或， 即，，； （2）因为，所以， ①若，此时； ②若，此时需满足，不等式无解， 综上可知． 【点评】本题考查了集合的运算以及不等式问题，是基础题． 题型四、利用Venn图求集合 13.已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解； （2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可. 【解答过程】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 14.已知集合，，，    (1)若，求m的取值范围； (2)当时，求图示阴影部分对应的集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出并集，再根据集合的包含关系求参； （2）先根据阴影部分确定对应集合关系,再应用交集补集定义求解. 【解答过程】（1）， 由，有：， 故m的取值范围为. （2）阴影部分即：， ， 故：. 15. 设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【解题思路】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【解答过程】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 题型五、命题真假求参数 16.已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 17.设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）根据题意得到判别式大于0，解之即可得解； （2）先求得命题为真时的取值范围，再结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 18.已知命题，，命题方程有两个不相等的正根． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数值域列出判别式计算求解； （2）分真假及假真分别列式计算求解. 【小问1详解】 若为真命题，有，解得或． 【小问2详解】 若为真命题，则或， 若为真，则，解得， 若，中有且仅有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，则，解得或， 若假真，则，解得， 综上，实数的取值范围是或． 题型六、充分必要条件求参数 19.已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，由BA求解; （2）根据是的充分条件，由AB求解. 【详解】（1）解：因为，，且 ， 所以BA，则， 解得， 所以实数的取值范围是； （2）因为是的充分条件， 所以AB， 则， 解得， 所以的取值范围是 . 20.已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【详解】（1）由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得． 由实数的取值范围为． 21.已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【解析】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 22.已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 23.已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在. 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【详解】（1）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； （2）若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； （3）若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 题型七、新定义综合压轴 24. （25-26同济大学二附中高一上期中）已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性；（不需写出判断过程） （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合. 【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 （2）1 （3），，，或. 【解析】 【分析】（1）由“包容”性的定义判断即可； （2），从而可得，分、可求得，即可得答案； （3）由题意可得集合C中共有6个元素，且，设，其中，，，从而可得或，分、分别求解即可. 【小问1详解】 集合中的，， 所以集合不具有“包容”性. 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 得到的两数中至少有一个属于集合， 所以集合具有“包容”性. 【小问2详解】 已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去； 若，无解； ②当时，则， 由且，可知b无解， 故 综上，. 【小问3详解】 因为集合C子集有64个， 所以集合C中共有6个元素，且， 又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或. ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得. 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，，或. 25.（25-26上海市 位育中学高一上期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质并说明理由； （2）若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 【答案】（1）集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③， （ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时. 由于，中小于2的数只有1个，所以不能取2. 当时，，则，，所以，所以，不满足条件②； 当时，，因为中大于2的元素都是奇数，所以，所以，即，不满足③. 综上所述，可得集合不具有性质. （2） 集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质，证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，则且，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 由知. 令，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【解析】 【分析】（1）从集合中任取三个元素，分情况讨论是否满足性质的三个条件； （2）根据“期待子集”的定义构造元素，证明满足性质的条件. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. （1）判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； （2）题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； （3）若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据集合是“好集”的定义对集合和中的元素一一验证数或中至少有一个属于是否成立，即可得解； （2）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为，则，，由，，得到，，则有限集合是“坏集”； （3）由且时，，则为“超级好集”；由（2）的结论证明集合中不可能存在其它元素，从而得到满足题意的“超级好集”且. 【小问1详解】 ，当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. 【小问2详解】 假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，，， ，，有限集合是“坏集”. 【小问3详解】 当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 由（2）知：集合不可能同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. 1．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【解题思路】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【解答过程】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又 ，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 2.已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2)或 (3)或． 【解题思路】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． （3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决． 【解答过程】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 3．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 4.（25-26上海市金山中学高一上期中）已知集合，全集为. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由交集，并集定义结合题意可得答案； （2）分，两种情况，结合题意可得答案. 【小问1详解】 此时，则，； 【小问2详解】 当时显然满足要求，故，即 当时，则有，即 综上得. 5.已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【知识点】补集的概念及运算、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 6.设，，，. (1)求a、b的值及A、B； (2)求. 【答案】(1)，，，； (2). 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据得到，将代入方程，求出，，从而求出A、B； （2）求出，从而得到. 【详解】（1）因为，故， 所以，， 解得：，， 故，； （2），. 7.设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且且且 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解； （2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，且， 则是方程的根， 所以，，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）对于方程，， 因为全集为，，则，分以下几种情况讨论： 当时，则，可得，此时，，合乎题意； 当时，则，可得， 因为，则、都不是方程的根， 所以，， 解得且且且， 此时，或或或. 综上所述，实数的取值范围是且且且. 8. 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 9. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【解析】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 10. 设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【解析】（1）由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时，. 11．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证：． 【答案】(1) (2)或或 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【解答过程】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 12．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 【答案】(1)是； (2)，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）根据“和积平衡集”的定义，进行判断即可； （2）根据“和积平衡集”的定义，结合一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设A中的 ，进行分类讨论求解. 【解答过程】（1）， 又， 满足 集合是“和积平衡集”； （2）以为根的一个一元二次方程可为， 是两个不同的正数，且是“和积平衡集”， ， 又和为的两个不同的正根， ， 又，则， 若都小于等于2，则，矛盾， 所以至少有一个大于2； （3）设中的，且， 由， 当时，由， 而且都为正整数，明显等式不可能成立， 所以，故， 所以， 当时，，所以只能有， 由，得，此时的“和积平衡集”为， 当时， 又，即， 即，与矛盾，所以不满足条件， 所以符合条件的“和积平衡集”有且只有，此时的“和积平衡集”为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $